Матричное представление трёхмерных преобразований.

Точка представляется тремя координатами P(x,y,z). В однородных координатах:

Соответственно матрица преобразования будет иметь вид:

Поворот выполняют на основе некоторых принятых соглашений:

1. Ось вращения – OX. Положительное направление от оси OY к OZ.

2. Ось вращения – OY. Положительное направление от оси OZ к OX.

3. Ось вращения – OZ. Положительное направление от оси OX к OY.

И всегда оговаривается, что OZ перпендикулярна плоскости экрана/бумаги. Поворот в трёхмерном пространстве состоит как бы из трёх ступеней:

1. Поворот вокруг оси OZ (угол поворота обозначается )

2. Поворот вокруг оси OX (угол поворота обозначается )

3. Поворот вокруг оси OY (угол поворота обозначается )

Поворот в трёхмерном пространстве описывается матрицей поворота R, где

, где матрица отдельных поворотов имеет вид:

Когда не успевают по быстродействию, то можно выполнить с помощью следующей матрицы:

, где _ – частные произведения.

Имеет смысл использовать в тех случаях, когда это необходимо для обеспечения в режиме отображения. Это всё справедливо относительно начала координат. Относительно произвольной точки, формула будет иметь вид:

Реально при использовании таких формул мы получаем абсолютно корректные преобразования. Ошибки чаще всего связаны с неправильным определением знаков и величин углов , , .

Изображение трёхмерных объектов.

Реально трёхмерный объект мы проецируем на двухмерную картинную плоскость. Определена последовательность действий на трёхмерным объектом, которая позволяет минимизировать количество ошибок.

1. Объект описывается в трёхмерных мировых координатах.

2. Выполняется усечение по видимому объёму, координаты при этом трёхмерные мировые, но усечённые. В таком виде хранится образ объекта для выполнения любых преобразований.

3. Строится проекция на трёхмерную картинную плоскость (то есть приходим к двухмерным усечённым мировым координатам).

4. Выполняется нормирование координат.

Это описание подвергается преобразованиям (если требуется получить одну проекцию объекта).

5. Выполняется преобразование в поле вывода.

6. Пересчитываются физические координаты устройства вывода.

7. Вывод.

В лабораторной работе от одного и того же объекта требуется построить три ортогональные проекции и изометрию, поэтому проще сделать так: после получения усечённых мировых координат произвести нормирование, затем над полученным образом выполнить все заданные действия (сдвиг, поворот, масштаб). После выполнения каждого действия с помощью четырёх независимых процедур. Строят четыре проекции объекта на разные плоскости. Затем над каждой из проекций отдельно выполнить пересчёт в поле вывода и далее.

Построение проекций.

Виды:

• центральные

• параллельные

1. П ри центральной проекции основными элементами являются проекционная плоскость и центр проекции.

Отображаются объекты, которые расположены между центром проекции и проекционной плоскостью. Нужно провести луч через центр проекции и точку до пересечения с плоскостью. Получим проекцию точки на плоскость.

Центральная проекция близка к модели зрения человека. Естественно происходит искажение размеров объекта.

2. При параллельной проекции можно считать, что центр проекции расположен в бесконечности, при

этом проекционные лучи параллельны друг другу (смотри рисунок на следующей странице). При параллельной проекции соотношение размеров отдельных частей объекта сохраняется. Параллельность линий также сохраняется. Параллельная проекция, как правило, не даёт представления об объёмности изображения. Кроме того, при появлении множества прикладных пакетов архитектурного направления стали использоваться двух и трёх точечные проекции. Раньше это использовалось только в архитектуре.

П ример. То есть мы получаем вид предмета из двух положений:

Различают два подтипа проекции:

• ортографические

• косоугольные

1. Ортографические – проекции на плоскости ZOX, ZOY, XOY или на параллельные им плоскости.

2. Косоугольные – остальные, у которых плоскости проекции не параллельны осям координат.

Ортографические проекции, совпадающие с координатными, то есть ZOX, ZOY, XOY, соответствуют чертёжным. Они приняты во всех системах автоматизированного проектирования, где используются вид сверху, сбоку, спереди.

спереди сбоку (получается слева от вида спереди)

сверху

По трём таким видам довольно легко представить объёмный вид детали. Для деталей сложной формы строят дополнительную проекцию, используется аксонометрия. Это частный случай изометрической проекции, при которой линия, соединяющая центр проекции и начало координат образует равные углы со всеми плоскостями. Для любой детали формально можно построить четыре различные проекции. Если разделить пространство плоскостями, то получится четыре зоны.

z

Центр проекции

x

y

Чаще строят аксонометрию, когда центр проекции лежит в положительной четверти пространства (то есть x, y, z > 0).

Пример. OZ – направлена перпендикулярно OX, OY; OX, OY совпадают с плоскостью экрана. Удобно считать плоскость экрана (бумаги), имеющую координату z = 0 (смотри случай б).

а)

б)

Для случая а) матрица полученных проекций имеет вид:

– здесь z = 0

Эта проекция со сдвигом получится следующим образом:

Для получения проекций на оси OX и OY можно таким же образом:

Домножая на такую матрицу изображение объекта можно получить проекции на ортогональные плоскости.