Лекция № 5. Свойства преобразований Лапласа

1. постоянный коэффициент можно вынести за знак преобразователя

2. операция дифференцирования в реальных координатах соответствует умножению изображения функции на комплексный аргумент

3. операция интегрирования соответствует делению изображения функции на комплексный аргумент

операция

В реальных координатах	В комплексных координатах

Таким образом, использование операционного исчисления позволяет существенно упростить решения дифференциальных и интегральных уравнений.

Пример. Решить дифференциальное уравнение.

,т.к.– общее решение.

Для получения частного решения необходимо задать вид х(р). Пользуясь таблицами преобразований Лапласа для интересующих нас видов входного воздействия х можем определить х(р).

Перейти обратно к реальным координатам (по времени) можно, пользуясь таблицей преобразований Лапласа.

Передаточная функция.

Передаточной функциейназывается отношение выходной величины к входной, преобразованной по Лапласу при нулевых начальных условиях.

Все рассмотренные способы взаимоконвертируемы.

Показатели динамических функций.

Постоянная времени

Т – постоянная времени (имеет размерность времени).

к – коэффициент усиления.

Показатели частотных характеристик.

0

Типовые динамические звенья.

При анализе и синтезе систем уравнений необходимо знать поведение отдельных элементов, а также систем в целом в динамическом (т.е. переходном режиме). С этой целью создается структурная схема, в которой разделение на отдельные элементы осуществляется по виду их динамических свойств.

Звенья, различные по своей физической природе и конструктивному оформлению, могут обладать одинаковыми свойствами в переходных режимах.

Систему управления можно разделить на такие элементы, которые по своим свойствам уже не могут быть разделены на более простые. Такие простейшие элементы, имеющие одну степень свободы, называются элементарными звеньями.

Независимо от физической природы, назначения и устройств звеньев, с точки зрения динамики их число ограничено, поэтому они называются типовыми динамическими звеньями.

В большинстве случаев системы управления можно представить комбинацией типовых динамических звеньев, процесс которой описывается дифференциальными уравнениями не выше второго порядка.

Лекция №6

1. безинерционное или усилительное звено.

2. инерционное звено первого порядка (апериодическое звено)

- Дифференциальное уравнение.

- передаточная функция.

Т – постоянная времени (имеет размерность времени).

Апериодическое звено первого порядка во многих случаях лежит в основе приближенного описания объектов.

Частотная характеристика представляет собой полуокружность с диаметром 2К.

3. интегрирующее звено

Частотная характеристика представляет собой часть отрицательной мнимой оси.

Переходная функция представляет собой прямую линию с углом наклона arctg.

В качестве примера может служить емкость с жидкостью с принудительной откачкой, т.е. Q_стока=const.

Интегрирующие звенья опасны, т.к. возможен перелив.

T_и - время интегрирования.

4. дифференцирующее звено

Реальные дифференцирующие звенья содержат интегрирующие составляющие, поэтому в реальности наблюдается смазанность импульса. В идеальности характеристика переходной функции представляет собой импульс.

Т_д– время дифференцирования или предварения.

Частотная характеристика представляет собой положительную мнимую полуось, начало координат соответствует нулевой частоте.

5. инерционное звено второго порядка (колебательное звено)

Т₂,Т₁и К_К– определяют динамику звена.

Примеромможет служить односторонний пневматический клапан с возвратной пружиной.

1 – корпус клапана

2 – клапан

3 – седло

4 – шток

5 – сальник

6 – настроечная чайка

7 – пружина

8 – жесткий центр

9 – мембрана (обычно резиново-тканевая)

P_k - командное давление

В зависимости от коэффициентов корни характеристического уравнения могут быть мнимыми. В этом случае переходная функция будет колебательной. Если корни характеристического уравнения вещественны, то переходная функция будет апериодической.

Характеристическим называется уравнение, образованное из левой части дифференциального уравнения путем замены производных неизвестным и приравниванием к нулю.

, гдеZ_1,2– корни характеристического уравнения.

Чем тяжелее клапан и шток, тем меньше колебания.

6. звено чистого запаздывания

Частотная характеристика является окружностью, с радиусом равным единице, причем годограф вращается по часовой стрелке.

Примеромможет быть ленточный транспортер с базойLи линейной скоростьюV, тогда воздействие на входе с той же абсолютной величиной достигнет выхода через времясекунд.