Lektsii_TFKP
.pdfТочки z = r , z = r1 – простые полюсы подынтегральной функции, причем
только один лежит в круге z <1. Если r <1, то в круге z <1 лежит
полюс z = r и
|
|
|
|
2p |
dx |
|
|
i |
|
|
|
2p |
|
||||
|
|
|
|
|
= 2p i × res |
|
|
= |
|
. |
|||||||
|
|
|
|
ò0 1 - 2r cos x + r 2 |
r z2 - (1 |
+ r 2 )z + r |
|
- r 2 |
|||||||||
|
|
|
|
z = r |
1 |
|
|||||||||||
Если |
|
r |
|
>1, то в круге |
|
z |
|
<1 лежит полюс z = |
1 |
и |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2p |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
2p |
|
||
|
|
= 2p i × res |
|
|
|
= |
|
. |
||||||||
ò0 1 - 2r cos x + r 2 |
|
r z2 - (1 + r 2 )z + r |
|
|
||||||||||||
|
z = |
|
1 |
|
|
|
r 2 -1 |
|||||||||
|
|
r |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b) Заменой переменных |
x = cosj |
|
|
|
сведем |
исходный |
интеграл к |
|||||||||
следующему виду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
dj |
1 |
|
|
2p |
dj |
|
|
|
|
|
|||
|
|
ò |
|
|
|
ò |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
= |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
a - cosj |
2 |
|
a - cosj |
|
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Выполнив замену переменной z = eij и воспользовавшись формулой
(5.20), находим:
1 |
dx |
|
1 |
2p |
dj |
1 |
|
|
dz |
|
p |
|
|
|
|
|
|
||||||
-ò1 (a - x) 1 - x2 |
= |
2 |
ò0 a - cosj |
= - i |
|
z ò=1 z2 - 2a z + 1 |
= |
a2 -1 . |
|||
|
|
|
ІІІ. Теорию вычетов можно использовать при вычислении несобственных интегралов по вещественной оси, если методы действительного анализа оказываются неэффективными.
1)Если функция f (z) – аналитическая в верхней полуплоскости за
исключением конечного числа особых точек zk , Im zk > 0 , k = 1, 2,..., n , непрерывная в замкнутой полуплоскости за исключением тех же точек, и
lim zf (z) = 0 , Im z ³ 0 , то
z®¥
¥ |
n |
ò |
f (x)dx = 2ip å res f (z) . |
-¥ |
k=1 z=zk |
Для нижней полуплоскости правую часть последней формулы нужно брать с минусом.
2)Если функция f (z) – аналитическая в верхней полуплоскости за
исключением конечного числа особых точек zk , Im zk > 0 , k = 1, 2,..., n , непрерывная в замкнутой полуплоскости за исключением тех же точек, и
lim f (z) = 0, |
Im z ³ 0 , то |
|
|
|
|
|
|
||||
z®¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò eimx f (x)dx = 2ip å res f (z)eimz , m |
> 0. |
|||||
|
|
|
|
-¥ |
k=1 z=zk |
|
|
|
|
|
|
Если, кроме того, функция |
f (z) вещественна на действительной оси, |
||||||||||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
n |
f (z)eimz , |
|
||||
|
|
|
|
ò f (x) cos mxdx = -2p Im å res |
m > 0, |
||||||
|
|
|
|
-¥ |
k=1 z=zk |
|
|
|
|||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
n |
f (z)eimz , |
|
|
|||
|
|
|
|
|
ò f (x)sin mxdx = 2p Re å res |
m > 0. |
|||||
|
|
|
|
-¥ |
k=1 z=zk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
dx |
|
|
Пример 5.10. Вычислить интегралы: a) I = ò |
|
|
; b) |
||||||||
|
|
||||||||||
|
n |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
-¥ (x2 |
+1) |
|
|
|
¥ |
cos |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = ò |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
x |
+ a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение.
a)В верхней полуплоскости находится единственный полюс
подынтегральной функции z = i порядка n . Найдем res f (z) по формуле
z=i
(5.17):
res f (z)= |
|
1 |
æ |
æ |
z - i ön ö(n-1) |
|||||||||
|
|
|
ç |
ç |
|
|
|
|
÷ |
÷ |
||||
(n |
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
z =i |
|
- |
ç |
è z |
+ 1ø |
÷ |
||||||||
|
|
|
1)!è |
|
ø |
|||||||||
= |
- n(n + 1)? |
(2n - 2)i |
. Поэтому |
|||||||||||
|
|
(n -1)!×22n-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
¥ |
|
|
cos |
x |
|
|
|
||
|
|
b) I = |
ò |
|
|
dx = -p |
||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
-¥ x |
|
+ a |
|
|
|
= |
1 |
((z + i)-n )(n-1) |
|
|
|
= |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
z =i |
(n -1)! |
z =i |
|
||||||||||
|
|
|
|
(2n - 2)!p |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
I = |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
((n -1)!)2 22n-2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Im res |
eiz |
= -p Im |
e-a |
= |
p |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
2aea |
|||||||||
|
z=ai z2 + a2 |
|
|
2ai |
|
|
Глава 6. Преобразование Лапласа
§6.1. Функция-оригинал, изображение. Аналитичность изображения
Функцией-оригиналом называют любую комплекснозначную функцию действительного аргумента t f : R ® C , удовлетворяющую условиям:
1) f (t) непрерывна вместе со своими производными, кроме отдельных
точек разрыва первого рода, причем на каждом конечном интервале таких разрывов конечное число;
|
|
|
2) для t < 0 f (t) º 0; |
|
|
|
|
3) существуют положительные константы M |
и s такие, что |
|
f (t) |
|
< Mest , при этом число a , являющееся нижней |
гранью таких s , |
|
|
|||
называют показателем роста функции f (t) . |
|
Вприложениях t , как правило, это время, f (t) - функция,
описывающая физический процесс. С этой точки зрения безразлично, как протекал этот процесс до момента наблюдения (при t < 0), поэтому второе условие не ограничивает области приложения метода, рассматриваемого в этой главе.
Простейшей функцией-оригиналом является «единичная функция» (или функция Хевисайда):
ì |
t ³ 0, |
1, |
|
h(t) = í |
t < 0. |
î0, |
|
Функции h(t)sinwt , h(t)coswt , h(t)ewt |
также являются оригиналами. В |
дальнейшем множитель h(t) будем опускать и всегда под функциейоригиналом понимать функцию, домноженную на h(t) .
Изображением функции f (t) (по Лапласу) будем называть функцию
|
¥ |
|
|
F(z) = ò f (t)e-tz dt , z ÎC . |
|
|
|
|
0 |
|
|
Соответствие f (t) ® F(z) |
называется преобразованием |
Лапласа |
|
(функция f (t) преобразуется по Лапласу в функцию |
F(z) ) и обозначается |
||
F(z) =? f (t) либо f (t) =? F(z) , либо |
F[ f ] (оригинал, |
как правило, |
строчной |
буквой, изображение – соответствующей прописной). |
|
|
Теорема (об аналитичности изображения).
Для |
оригинала f (t) с |
показателем роста s изображение F(z) – |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
аналитическая функция, определенная в полуплоскости Re z > s . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Доказательство. |
Так |
как z = x + iy , то |
|
e-zt |
|
|
= |
|
e-xt |
|
× |
|
e-iyt |
|
|
= e-xt , |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
¥ |
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
¥ |
|
|
|
M |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
поэтому |
|
ò f (t)e-tz dt |
£ ò Mest |
e-tz |
dt = M òet(s-x)dt = |
|
|
|
et(s-x) |
|
= |
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
s |
- x |
x - s |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Следовательно, интеграл сходится при x > s , т.е функция F(z) |
определена в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
полуплоскости Re z > s . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
¥ |
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
ò[f |
(t)e-tz ]z¢dt |
|
= |
|
ò f (t)te-tz dt |
|
£ M òest |
|
te-tz |
|
dt = M òtet(s- x)dt = |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
é |
te |
t(s-x) |
|
¥ |
¥ |
e |
t(s-x) |
|
|
||||||||
= M ê |
|
|
|
|
- ò |
|
||
s - x |
|
|
|
s - x |
||||
ê |
|
|
|
|
||||
ë |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
ù |
|
M |
|
|
|
dtú |
= |
, следовательно, |
F ¢(z)существует. ■ |
||
|
|||||
(s - x)2 |
|||||
ú |
|
|
|
||
û |
|
|
|
|
§6.2. Формула обращения преобразования Лапласа. Единственность обращения
|
|
|
Теорема (формула обращения). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
Если |
f (t) – оригинал с показателем роста s , |
F(z) – его изображение, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
a+i¥ |
|
|
|
|
|
||
то в точках непрерывности f (t) = |
|
ò F(z)etz dz , |
где a Î R, a > s , интеграл |
|||||||||||||||||||
2ip |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
-i¥ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
понимается в смысле Коши. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
a+ib |
|
|
|
|
Доказательство. |
|
|
|
Рассмотрим |
|
fb (t) = |
ò |
F(z)etz dz = |
|||||||||||
|
|
|
|
2ip |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
a+ib é¥ |
ù |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
éa+ib |
ù |
|
a-ib |
|||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
¥ |
|
|
|
|
||||||||||
= |
ò êò |
f (x )e- zx dx úetz dz |
= |
|
|
ò f (x )ê òetz -xz dzúdx = |
|
|
|
|||||||||||||
2ip |
2ip |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
ê |
ú |
|
|
|
0 |
|
ê |
ú |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
a-ib ë0 |
û |
|
|
|
|
|
|
|
ëa-ib |
û |
|
|
|
||||||
|
1 |
|
¥ f (x ) |
ez(t -x ) |
|
a+ib |
|
1 |
|
¥ f (x ) |
[ea(t -x )eib(t -x ) - ea(t -x )e-ib(t -x ) ]dx = |
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= |
|
|
ò |
|
|
|
dx = |
|
|
|
ò |
|
||||||||||
2ip |
|
t - x |
|
2ip |
t - x |
|||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
z =a-ib |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eat ¥ f (x ) |
e-ax sin b(t - x )dx = |
|
|
|
||
= |
|
ò |
|
(выполним |
замену |
u = (x - t)b ) |
|
p |
t - x |
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
=eat
p
=eat
p
=eat
p
|
|
æ u |
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|||
¥ |
|
f ç |
|
|
|
+ t ÷ |
|
æ u |
ö |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ò |
|
è b |
|
|
ø |
|
-aç b +t ÷ |
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
è |
|
|
ø sin(-u) |
|
du |
|
|
|
|
|
|
u |
|
b |
||||||||
-bt |
|
- b |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
é æ u |
|
|
|
|
|
|
|
ù |
|||||||
¥ |
ö |
-aç |
+t ÷ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ u |
ö |
|
|
||
ò |
ê f ç |
|
|
|
+ t ÷e è b |
ø - f (t)e-at ú |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||
ê è b |
ø |
|
|
|
|
|
ú |
||||||||
-bt |
ë |
|
|
|
|
|
ö |
-aç |
+t ÷ |
|
û |
||||
¥ |
é æ u |
|
ù |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ u |
ö |
|
|
||
ò |
ê f ç |
|
|
|
|
+ t ÷e è b |
ø - f (t)e-at ú |
||||||||
|
|
|
|||||||||||||
ê è b |
ø |
|
|
|
|
|
ú |
||||||||
-bt |
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
û |
|
eat |
¥ |
|
|
|
|
|
æ u |
ö |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
æ u |
ö |
-aç |
|
+t |
÷ |
|
sin u |
|
|
||||||||||
|
b |
|
|
||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
ò f ç |
|
|
+ t ÷e |
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
du |
= |
|||
p |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
-bt |
è b |
ø |
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
sin u |
|
|
|
|
e |
at |
¥ |
|
|
|
|
|
sin u |
|
|
|
|||||
du + |
|
|
ò f (t)e-at |
|
|
du = |
|||||||||||||||
|
|
p |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
u |
|
|
|
|
-bt |
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin u |
|
|
|
eat |
|
|
¥ |
|
sin u |
|
|
|
|||||||||
|
|
du + |
|
|
|
f (t)e-at ò |
|
|
|
|
|
du . |
|
||||||||
u |
|
p |
|
|
|
|
u |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-bt |
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как |
f (t)e-at |
- |
непрерывная |
функция, |
|
то можно показать, что |
||||||||||||||||||||
первое |
слагаемое |
бесконечно |
мало |
|
при |
b ® ¥ ; |
интеграл Эйлера |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
sin u |
|
|
|
|
|
|
|
подсчитывается |
по |
|
формуле |
|
|
ò |
|
du = p . |
|
|
Значит, |
|||||||||||||||
|
|
|
u |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
a+i¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim fb |
(t) = |
ò F(z)etz dz = f (t) . ■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
b®¥ |
|
2ip a-i¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема (единственность обращения). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Если два оригинала |
f1(t) и |
|
|
|
f2 (t)имеют одно и то же изображение |
|||||||||||||||||||||
F(z) , то функции |
f1(t) |
и |
f2 (t) совпадают во всех точках t , где обе функции |
|||||||||||||||||||||||
непрерывны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Доказательство. |
В точке t , где функции |
f1(t) и |
f2 (t) |
непрерывны, |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
+¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
+¥ |
||||||
имеют место формулы |
f1(t) = |
|
|
|
ò |
F(z)etz dz |
и |
|
f2 (t) = |
|
|
ò |
F(z)etz dz , а |
|||||||||||||
2ip |
|
|
|
|
2ip |
|
||||||||||||||||||||
значит, f1(t) = f2 (t). ■ |
|
|
|
|
-¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-¥ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Таким образом, оригинал определяется своим изображением с |
||||||||||||||||||||||||||
точностью до значений в точках разрыва. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
§6.3. Свойства преобразования Лапласа |
|
|
|
|||||||||||||||||||
1. Линейность: a f (t) + b g(t) =? a F(z) + b G(z) (следует из линейности |
||||||||||||||||||||||||||
интеграла). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
? |
|
1 |
|
|
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. Теорема подобия: |
f (a t) = |
|
|
Fæ |
z |
ö . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
èa ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
f (at)e-zt dt = |
¥ |
f (u)e-z |
u |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
æ z |
|
ö . ■ |
|||||||||||||||
|
Доказательство. f (at) = |
|
ò |
a |
|
|
du = |
|
F |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
? ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
÷ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
èa |
ø |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3. Дифференцирование оригинала: если f (n) (t) |
является оригиналом, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
то f |
(n) |
(t) =? z |
n |
F(z) - z |
n-1 |
f (0) |
- z |
n-2 |
f |
¢ |
|
- ... - f |
(n-2) |
(0) , |
|
|
|
в частности, |
|
для |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(0) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
n = 1 |
f |
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t) =? zF(z) - f (0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Доказательство. f ¢(t) =? ò f ¢(t)e-zt dt = f (t)e-zt |
|
|
|
+ ò f (t)ze-zt dt = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
-zt dt = zF(z) - f (0), т.е. для n = 1 формула доказана. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
= - f (0) + zò f (t)e |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 2 |
||
|
|
|
Для |
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
¢¢ |
= [f |
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
2 |
F(z) |
- zf (0) - f |
¢ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
f (t) |
(t)] =? z[zF(z) - f (0)]- f (0) = z |
|
(0). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Далее по индукции. ■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
4. Дифференцирование изображения: F (n) (z) =? (-1)n t n f (t) . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d æ |
¥ |
|
|
|
ö |
|
¥ |
|
|
|
-tz |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
-tz ÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Доказательство. |
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
ò f (t)e |
|
|
dt ÷ = -ò f (t)te |
|
|
|
dt =? -tf (t) . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
F (z) = dz ç |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
0 |
|
|
|
ø |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
d |
|
|
|
d æ |
¥ |
|
|
|
ö |
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
F¢¢(z) = |
|
F¢(z) = - |
|
çç |
ò f (t)te-tz dt |
÷÷ = |
|
ò f (t)t2e-tz dt =? t2 f (t) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
dz |
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
0 |
|
|
|
ø |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее по индукции. ■
t |
F(z) |
|
|
5. Интегрирование оригинала: ò f (t)dt =? |
. |
||
|
|||
0 |
z |
||
|
|
Доказательство. Очевидно, что если f (t) – оригинал, то
g(t)
f (t)
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ò f (t)dt |
|
– |
оригинал. |
|
|
Поэтому |
|||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
t |
|
|
F(z) |
|
||
= zG(z) = F(z) , значит, ò f (t)dt =? |
|
|
|||||||
= g (t) =? zG(z) - g(0) |
G(z) = |
|
|
.■ |
|||||
|
z |
||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
¥ |
f (t) |
|
|
|
|
|
6. Интегрирование |
изображения: |
ò F(z)dz =? |
(если |
интеграл |
|||||
t |
|||||||||
|
|
|
z |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
сходится).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
¥ |
é¥ |
|
ù |
¥ |
é¥ |
ù |
||
|
Доказательство. |
ò |
F(z)dz = |
ò |
ê |
ò |
|
ú |
ò |
êò |
ú |
|||||||||||
|
|
|
ê |
|
|
f (t)e-tz dtúdz = |
|
f (t)ê |
e-tz dzúdt = |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
z ë0 |
|
û |
0 |
ë z |
û |
|||
¥ |
æ |
|
e |
-tz |
|
|
¥ ö |
¥ |
|
|
e |
-tz |
|
|
|
|
f (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= ò |
f (t)ç |
- |
|
|
|
|
÷dt = ò f (t) |
|
|
dt =? |
|
|
|
. |
|
|
|
|||||
|
t |
|
t |
|
|
t |
|
|
|
|||||||||||||
0 |
è |
|
|
|
|
|
z=z ø |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Теорема запаздывания: для l > 0 f (t - l) =? e-zl F(z) .
¥ |
¥ |
|
Доказательство. f (t - l) =? ò f (t - l)e-zt dt = ò f (u)e-z(u+l )du = (так |
||
0 |
-l |
|
¥ |
¥ |
|
как при t < 0 f (u) = 0 ) = ò f (u)e-zu e-zl du = e-zl ò f (u)e |
-zu du = e-zl F(z) . |
|
0 |
0 |
|
8. Теорема смещения: для l ÎC F(z - l) =? elt f (t).
¥
Доказательство. elt f (t) =? ò f (t)elt e-zt dt = F(z - l) .
0
§6.4. Примеры преобразований Лапласа
|
¥ |
|
-tz dt = - |
e |
-tz |
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1. |
1 =? ò1× e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
, Re z > 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2. |
elt =? òelt e |
-tz dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
et(l-z) |
|
|
|
|
|
|
|
= - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
, Re z > Rel . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
l - z |
|
|
|
t=0 |
l - z |
|
|
z - l |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
eilt |
|
- e-ilt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
é |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
ù |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
sin lt = |
|
|
|
|
=? |
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
Re z > |
|
Iml |
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
+ l |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë z - il |
|
|
|
|
z + il û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
coslt = |
|
eilt + e-ilt |
=? |
1 |
|
é |
|
|
1 |
|
|
|
+ |
|
|
|
1 |
|
|
|
ù |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
, |
|
Re z > |
|
Iml |
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z + il |
|
z |
2 |
+ l |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë z - il |
|
|
|
|
|
û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
shlt = |
elt - e-lt |
=? |
|
1 é |
|
|
1 |
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
1 |
|
ù |
= |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
, Re z > |
|
|
Rel |
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
- l |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ë z |
|
|
|
|
|
z + l û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
chlt = |
elt + e-lt |
=? |
|
1 é |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
1 |
|
ù |
= |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
, Re z > |
|
Rel |
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
- l |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ë z - l |
|
|
|
|
z + l û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. tn = (-1)n tn |
1 |
|
|
|
|
|
== F (n) |
é |
|
|
1 |
|
|
|
|
ù |
= |
1 |
|
|
æ 1 |
ö(n) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ú |
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(-1)n |
|
|
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(-1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë(-1)n |
û |
|
|
|
è z |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
= (-1)n (-1)(-2)(-3)...(-n) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
n! |
|
|
, Re z > 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
zn+1 |
|
|
zn+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
8. |
t nelt = (-1)n t n |
elt |
|
= F (n) |
é |
|
|
|
elt ù |
= |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
æ |
|
|
|
1 |
|
ö(n) = |
|
|
|
|
|
|
|
n! |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(-1)n |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(-1)n |
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z - l)n+1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
(-1)n û |
|
|
|
|
|
|
è z |
- l ø |
|
|
|
|
Re z > Rel .
|
|
|
|
|
t sin lt = -t |
|
sin lt |
=? |
¢ |
æ |
- |
l |
ö¢ |
= |
2lz |
|
|
||
9. |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
-1 |
|
F |
[- sin lt]= ç |
z2 + l2 |
(z2 + l2 )2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
|
|
|||||
Re z > |
|
Iml |
|
. |
|
coslt |
|
|
¢ |
æ |
|
z |
|
ö¢ |
|
z2 - l2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
10. |
|
|
t coslt = -t |
|
|
|
=? |
|
- |
|
÷ |
= |
|
, |
|||||
|
|
-1 |
|
F [- coslt]= ç |
z2 + l2 |
(z2 + l2 )2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
|
|
Re z > Iml .
|
|
ebt - eat |
¥ |
|
bt |
|
at |
¥ |
æ |
1 |
|
|
1 ö |
|||
11. |
|
|
|
|
=? òF[e |
|
- e |
|
]dz = ò |
ç |
|
- |
|
|
÷dz |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
z |
è z - b |
|
|
z - a ø |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= ln1 - ln |
z - b |
= ln |
z - a |
, Re z > max(Rea, Reb). |
|
|
||||||||||
z - a |
z - b |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z - b |
|
|
¥ |
|
|
|
||||
=ln |
|
|
|
= |
|
z - a |
|||||
|
|
z = z |
|||
|
|
|
sint |
¥ |
¥ |
|
1 |
|
|
|
|
= p |
|
|
12. |
=? òF[sint]dz =ò |
|
|
dz =arctg z |
|
¥z = z |
- arctg z = arcctg z , |
|||||
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
||||||||||
Re z >1. |
t |
z |
z |
z |
+ 1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразования |
Лапласа |
|
|
применяются |
|
при |
решении |
дифференциальных уравнений, к расчету электрических контуров и в других областях.