Lektsii_TFKP
.pdfКаждое |
значение функции |
w = Ln z называется логарифмом |
комплексного |
числа. Значение логарифма комплексного числа z , z ¹ 0 , |
которое соответствует ln z + i arg z , называется главным значением функции w = Ln z и обозначается ln z :
ln z = ln z + i arg z , - p < arg z £ p .
Поэтому Ln z = ln z + 2pki , k Î Z .
|
Пример 3.7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1. |
|
Ln1= 2pki , k Î Z ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2. |
|
Ln(-1) = (2k + 1)pi , k Î Z ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3. |
|
|
|
æ |
- |
p |
ö |
= ln 2 |
+ (8k -1) |
pi |
, k Î Z . |
|
|||
|
|
Ln(1 - i) = ln 2 + iç |
4 |
+ 2pk ÷ |
4 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|||
|
Правила о логарифме произведения и частного сохраняют свою силу и |
|||||||||||||||
для |
|
|
многозначного |
|
|
|
|
логарифма |
|
комплексного |
числа: |
|||||
Ln(z |
× z |
2 |
) = Ln z + Ln z |
2 |
, Ln |
z1 |
|
= Ln z |
- Ln z |
2 |
(равенства следует понимать в |
|||||
|
||||||||||||||||
1 |
|
1 |
|
|
z2 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ln z + Ln z ¹ 2Ln z , т.к. сумма |
||||||
том смысле, что эти множества |
одинаковы). |
получается из множества чисел Ln z путем сложения любого из этих чисел с
таким же или отличным от него числом того же множества, а множество 2Ln z получается путем удвоения каждого из чисел Ln z .
В области D , которая является комплексной плоскостью с разрезом вдоль луча, выходящего из начала координат под углом a1 к действительной
оси, существует бесчисленное множество разных однозначных ветвей функции w = Ln z . Каждая из этих ветвей отображает область D на одну из
полос
Dk |
= {w :a1 + 2pk < Im w < a1 + 2(k +1)p}, k Î Z . |
|
|
|
|
|
(3.7) |
|||
Для выделения однозначной ветви логарифмической функции w = Ln z |
||||||||||
достаточно определить полосу Dk , |
на которую эта ветвь отображает область |
|||||||||
D . Для определения полосы Dk |
достаточно |
вычислить |
лишь значение |
|||||||
логарифмической функции в какой-нибудь точке |
z0 Î D . |
Ветвь |
||||||||
логарифмической функции w = Ln z , которая |
отображает |
D |
на Dk , |
|||||||
обозначим Lnk z . |
k Î Z , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
Lnk z = Ln0 z + 2pki , |
где |
Ln0 z = ln |
|
z |
|
+ iArg0 z , |
|||
|
|
a1 < Arg0 z < a1 + 2p .
Каждая ветвь Lnk z удовлетворяет теореме о производной обратной функции, по которой (Lnk z)¢ = 1z , k Î Z , z Î D . Следовательно, отображение,
осуществляемое каждой ветвью логарифмической функции, является конформным для всех точек z Î D .
|
Так как главное значение аргумента комплексного числа выбирается из |
|||||
(- p ,p ], то в формуле (3.7) естественно выбрать a1 = -p , тогда область D – |
||||||
это |
плоскость |
с |
разрезом |
по |
лучу |
(- ¥,0], |
Dk = {w : (2k -1)p < Im w < (2k +1)p}, k Î Z . |
|
|
|
|||
|
Ветвь логарифмической функции, отображающая область D на полосу |
|||||
D0 , |
является главной |
ветвью |
ln z , остальные |
однозначные |
непрерывные |
ветви функции w = Ln z в этой области имеют вид Lnk z = ln z + 2pki , k Î Z . Значение Ln z , равное Lnk z , при однократном обходе точки z вокруг
начала координат вдоль какой-нибудь окружности z = r переходит в число Lnk +1z , если обход совершается против движения часовой стрелки, и в число Lnk -1z – при обходе по часовой стрелке.
Конечная точка z , при обходе которой по какой-нибудь окружности
достаточно малого радиуса, многозначная функция, непрерывно изменяясь, переходит от одного значения к другому, называется точкой ветвления
функции. Это определение естественным образом переносится и на случай z = ¥ .
Точки z = 0, z = ¥ – точки ветвления w = Ln z .
Пример 3.8. Найти образ плоскости с разрезом вдоль отрицательной части действительной оси при отображении той ветвью логарифмической функции w = Ln z , которая точку z0 = 1 переводит в точку w0 = 4pi .
Решение. Полоса Dk , являющаяся образом плоскости с разрезом вдоль отрицательной части действительной оси, определяется ветвью Lnk z логарифмической функции, которую найдем из условия Lnk 1= 4pi . Положив
в |
равенстве |
(3.6) |
( Lnk z = ln |
|
z |
|
+ iarg z + 2kpi , k Î Z ) z = 1, |
получим |
|||||
|
|
||||||||||||
4pi = 2kpi , т.е. |
k = 2. |
|
|
|
|
|
Lnk (1)= 4pi |
|
|
||||
Отсюда условием |
|
определяется ветвь |
|||||||||||
Ln2 z = ln z + 4pi , которая, согласно формуле (3.7), |
|
указанную |
область |
||||||||||
отображает на полосу D2 = {w :3p < Im(w)< 5p}. |
|
|
|
||||||||||
|
Пример 3.9. Найти образ области |
D = {z : 2 < |
|
z |
|
< 4, z Ï[- 4,- 2]} при |
|||||||
|
|
|
|||||||||||
отображении |
ветвью |
логарифмической |
функции |
|
w = Ln z , |
которая |
определяется ее значением w0 = -2pi в данной точке z0 =1. Решение. Ветвь, определяемая условием Ln1= -2pi , имеет вид
Ln-1z = ln z + iarg z - 2pi .
При этом отображении образом области D = {z : -p < arg z < p} является
полоса |
D-1 = {w: -3p < Imw < -p}. |
Образом |
дуги окружности |
|
|
z |
|
= 2 , |
||||||
|
|
|||||||||||||
- p < arg(z)< p , является |
|
u = ln 2 , - 3p < v < -p , а |
|
|
|
|
|
|
||||||
отрезок |
образом |
|
|
дуги |
||||||||||
окружности |
|
z |
|
= 4 , - p < arg(z)< p , |
является отрезок u = ln 4 , |
- 3p < v < -p . |
||||||||
|
|
|||||||||||||
Поэтому |
|
|
образом |
области |
является |
прямоугольник |
|
|
|
|||||
ln 2 < u < ln 4 ,- 3p < v < -p . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 3.6. Степенная функция, ее свойства
Функция w = zn , n = 2, 3,? , называется целой степенной функцией; она определена и однозначна на всей комплексной плоскости.
Функция w = zn аналитическая во всей комплексной плоскости
(производная w¢ = nzn-1 существует во всех точках плоскости); отображение, осуществляемое посредством степенной функции, конформно в каждой
точке комплексной плоскости, кроме z = 0 (w¢ = nzn-1 обращается в нуль при z = 0 ).
Положив z = reij , w = reiy , находим r = r n , y = nj , поэтому отображение w = zn каждый вектор z ¹ 0 поворачивает на угол (n -1)arg z . Это означает, что образом луча, выходящего из начала координат, является
луч, также выходящий |
из начала координат; образом окружности |
|
z |
|
= R |
|||||
|
|
|||||||||
является окружность |
|
w |
|
= Rn . |
||||||
|
|
|||||||||
Функция |
w = zn |
отображает взаимно-однозначно и конформно |
||||||||
внутренность |
любого |
угла с вершиной в точке z = 0 и раствора a , |
0 < a < |
2p |
, на внутренность угла с вершиной в точке w = 0 и раствора na , |
|||||
n |
|||||||
|
|
|
|
2p |
|
||
0 < na < 2p . При |
a = |
функция w = zn отображает область |
|||||
n |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
ì |
|
|
2p ü |
|
|
||
D = íz :j0 |
< arg z < j0 + |
|
ý |
на плоскость с разрезом вдоль луча arg w = nj0 . |
|||
|
|||||||
î |
|
|
n þ |
|
|
Замечание. Два семейства прямых, параллельных координатным осям,
отображаются посредством |
функции w = z2 в два семейства |
парабол с |
|||
общим фокусом в начале координат и с осями на действительной оси. |
|||||
Пример 3.10. Найти |
образы |
при отображении w = z2 |
следующих |
||
ì |
|
p |
ü |
; b) D = {z : Im z < -1}. |
|
областей: a) D = íz : - p < arg z < - |
2 |
ý |
|
||
î |
|
þ |
|
|
Решение.
a) Так как образом луча arg z = -p при отображении функцией
w = z2 является луч arg w = -2p , а образом луча arg z = - p – луч arg w = -p , |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
2 |
|
|
то образом |
|
области |
ì |
|
|
ü |
является |
область |
|||
|
D = íz : - p < arg z < - |
2 |
ý |
||||||||
|
|
|
|
î |
|
|
þ |
|
|
|
|
D = {w : 0 < arg w < p}, то есть верхняя полуплоскость. |
|
|
|
||||||||
b) |
Так как функция w = z2 взаимно однозначно переводит прямую |
||||||||||
Im z = c |
в |
параболу |
v2 = 4c2 (c2 + u), |
то |
образом границы |
области |
|||||
D = {z : Im z < -1} |
– прямой Im z = -1 – |
является |
парабола v2 = 4(1 + u). |
||||||||
Поскольку точка |
z = 0 , |
не принадлежащая области |
D = {z : Im z < -1}, |
при |
|||||||
отображении |
w = z2 остается неподвижной, |
то ее |
образ w = 0 |
также |
не |
принадлежит образу этой области. Значит, образом области является внешность параболы v2 = 4(1 + u).
Пример 3.11. Найти образы |
заданных |
|
множеств |
при указанных |
|||||||||||
отображениях: a) |
ì |
< |
|
z |
|
< 2, 0 |
< arg z < |
p |
ü |
, |
w = z |
4 |
; b) |
D = {z : Re z = 2}, |
|
|
|
||||||||||||||
D = íz :1 |
|
|
|
ý |
|
||||||||||
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
þ |
|
|
|
|
|
w = z2 .
Решение.
a)Так как при отображении w = z4 окружность z = R переходит в
окружность z = R4 , образом луча arg z = 0 является луч arg w = 0 , а образом
луча |
arg z = p |
– |
луч |
arg w = p , |
то |
образом |
области |
||||||||
|
4 |
|
p |
|
|
|
|
|
|||||||
ì |
< |
|
|
z |
|
|
< 2, 0 |
< arg z < |
ü |
является |
|
область |
|||
|
|
|
|
|
|||||||||||
D = íz :1 |
|
|
|
|
|
ý |
|
||||||||
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
þ |
|
|
|
|
D = {z :1< |
|
w |
|
<16, 0 < arg w < p}. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
b)Так как функция w = z2 взаимно однозначно переводит прямую
Re z = c |
в параболу v2 = 4c2 (c2 - u), то образом |
множества |
D – прямой |
||||||||
Re z = 2 – является парабола v2 =16(4 - u). |
|
|
|
|
|
||||||
Функция w = n z , обратная к z = wn , |
определена на всей комплексной |
||||||||||
плоскости, n -значна при z ¹ 0 . |
|
|
|
|
|
||||||
Все n |
значений, |
представляющих те точки плоскости |
w, |
в которых |
|||||||
wn принимает одно и |
то |
же значение |
|
z , располагаются |
в |
вершинах |
|||||
правильного |
|
n -угольника, |
вписанного |
в |
окружность |
w = n z |
|||||
æ |
æ |
Arg z |
+ isin |
Arg z öö |
вершины любого правильного n - |
||||||
ç w = n z çcos |
|
|
|
÷÷ . Обратно, |
|||||||
è |
è |
n |
|
|
n |
øø |
|
|
|
|
|
угольника с |
центром в начале координат |
можно рассматривать как n |
значений n z . Поэтому область D плоскости w будет областью
однолистности для z = wn тогда и только тогда, когда из n вершин любого правильного многоугольника с центром w = 0 она содержит не более, чем одну вершину.
Пусть область D – комплексная плоскость с разрезом по лучу, выходящему из начала координат под углом j0 к положительному
направлению действительной оси. В этой области существуют n различных ветвей
(n z ) |
= n |
æ |
Arg |
k |
z |
+ |
z çcos |
|
|
||||
k |
|
è |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
isin |
Arg |
k |
z ö |
k = 0,1,? , n -1, |
(3.8) |
n |
÷ , |
||||
|
|
ø |
|
|
где j0 + 2pk < Argk z < j0 + 2p (k + 1), |
функции |
n z . Каждая из ветвей |
||||||||||
взаимно-однозначно отображает область D на один из секторов |
||||||||||||
D |
= |
ìw: |
j0 |
+ |
2p |
k < Argw < |
j0 |
+ |
2p |
(k + 1)ü |
, k = 0,1,? , n -1. |
|
|
|
|
|
|||||||||
k |
|
í |
n |
|
n |
|
n |
|
n |
ý |
|
|
|
|
î |
|
|
|
þ |
|
Для выделения ветви (n z )k , k = 0,1,? , n -1, достаточно определить сектор Dk , на который эта ветвь отображает область D . При проведении разрезов в
комплексной |
плоскости |
удобно |
брать |
j0 = 0(разрез |
по положительному |
||||||||
направлению |
оси |
Ox ) |
или j0 = -p |
(разрез |
по |
отрицательной |
части |
||||||
действительной оси). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В результате однократного обхода вокруг начала координат вдоль |
|||||||||||||
какой-либо |
окружности |
|
z |
|
= r |
значения n z , |
непрерывно изменяясь, |
||||||
|
|
||||||||||||
|
(n z )k |
|
|
|
|
|
(n z )k+1 |
|
|||||
переходят от ветви |
к ветви |
при обходе против часовой стрелки |
|||||||||||
и к ветви (n z )k-1 при обходе по часовой стрелке. После n -кратного обхода |
|||||||||||||
вокруг начала координат в одном направлении значение функции |
n z , |
||||||||||||
переходя с одной ветви к другой, придет к исходному. |
|
|
|||||||||||
Точки z = 0, z = ¥ - точки ветвления функции w = n z . |
|
||||||||||||
Каждая ветвь функции w = n z |
удовлетворяет теореме о производной |
||||||||||||
обратной функции, по которой |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
' |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(n z )k = |
|
, k = 0,? , n -1, z Î D , |
|
||||||||
|
|
n(n z )kn-1 |
|
и поэтому осуществляет конформное отображение области D на одну из областей Dk .
Пример 3.12. Найти образы следующих областей при отображении
ветвью функции |
|
w = |
|
z , выделяемой ее значением в указанной точке: a) |
||||||||||||||||||||||||||
D = {z : Im z > 0}, |
|
i = - |
1 + i |
; b) D = {z : (Im z)2 > 2Re z + 1}, |
-1 = -i . |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a) |
|
Так как w = |
z |
|
– обратная к z = w2 функция, то задание можно |
|||||||||||||||||||||||||
переформулировать |
следующим |
образом: |
в w-плоскости найти |
такую |
||||||||||||||||||||||||||
область, |
которая при отображении z = w2 переводится в данную область D . |
|||||||||||||||||||||||||||||
Таких |
|
|
областей |
|
|
|
две: |
|
|
|
D1 = |
ì |
|
|
|
|
|
p |
ü |
и |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
íw: 0 < arg w < |
2 |
ý |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
þ |
|
||
ì |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
ü |
|
Из |
этих |
двух |
областей |
выбираем ту, |
которая |
|||||||||||||
D2 = íw: - p < arg w < - |
2 |
ý . |
|
|||||||||||||||||||||||||||
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
þ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
содержит точку w = - |
1 + i , то есть D . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
b) |
|
В z -плоскости |
|
D – |
внешность параболы |
y2 = 2x + 1, |
которая |
|||||||||||||||||||||||
является |
образом |
при |
отображении |
z = w2 |
|
|
прямой |
Imw = |
2 (или |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Imw = - |
2 ). Таким образом, |
область |
|
D является образом двух областей: |
||||||||||||||||||||||||||
ì |
2 |
|
|
|
2 ü |
|
|
|
|
|
ì |
|
|
|
|
|
|
ü |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
и |
D2 = |
|
|
|
|
|
2 |
|
Из |
этих |
двух областей |
|||||||||||||||
D1 = íw: Imw > |
2 |
ý |
íw: Imw < - |
2 |
ý . |
|
||||||||||||||||||||||||
î |
|
|
|
þ |
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
þ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
выбираем ту, которая содержит точку w = -i , то есть D2 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Пример 3.13. В плоскости z |
с разрезом по положительной части |
|||||||||||||||||||||||||||||
действительной оси найти значение ветви функции 3 |
z в точке |
z = 8i при |
||||||||||||||||||||||||||||
условии 3 -1 = -1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение. По формуле (3.8), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(3 z )k = 3 |
|
æ |
|
Arg |
k |
z |
+ isin |
Arg |
k |
z |
ö |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
z çcos |
3 |
|
3 |
|
|
÷, |
k =0, 1, 2, |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
||||
где 2pk < Arg k z < 2p (k + 1), так как j0 |
= 0 . Из условия 3 |
-1 = -1 имеем |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
Arg k (-1) |
+ isin |
Arg k (-1) |
= -1. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Arg k (-1) |
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Отсюда cos |
|
= -1 и Arg k (-1) |
= 3p . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k = 1 и искомая ветвь имеет вид |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
(3 z ) |
= |
æ |
|
|
|
Arg |
1 |
z |
+ isin |
Arg |
1 |
z ö |
|
|
|
z < 4p , |
|
|||||
3 z çcos |
|
|
|
|
÷ , 2p < Arg |
1 |
|
|||||||||||||||
1 |
|
|
è |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а ее значением в точке z = 8i |
будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
æ |
|
Arg 1(8i) |
|
|
|
Arg 1(8i)ö |
|
|
æ |
5p |
|
|
5p |
ö |
|
|||||||
(3 8 i )1= 2çcos |
|
|
|
|
+ isin |
|
|
|
÷ |
= 2çcos |
|
+ isin |
|
|
÷ = - 3 |
+ i . |
||||||
|
3 |
|
|
|
3 |
|
6 |
|
6 |
|||||||||||||
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
è |
|
|
|
ø |
|
||||
Пример 3.14. Найти образ верхней полуплоскости при отображении |
||||||||||||||||||||||
той ветвью функции 3 |
z , которая точку i |
переводит в точку |
- |
3 + i . |
|
|||||||||||||||||
Решение. Возьмем j0 |
= 0 . По формуле (3.8), |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(3 |
æ |
Arg |
|
z |
+ |
z )k = 3 z çcos |
3 |
k |
|
||
|
è |
|
|
|
где 2pk < Arg k z < 2p (k + 1).
isin Arg k z ö, k =0, 1, 2,
÷
3 ø
Из
D1
условия |
3 |
i = - |
3 |
+ i |
получаем |
k = 1. |
Тогда |
|||
|
2p |
|
|
4p ü |
2 |
2 |
|
|
|
|
ì |
|
|
|
|
|
|
|
|||
= íw: |
|
< Arg w < |
|
ý |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
î |
3 |
|
|
3 þ |
|
|
|
|
|
является образом |
плоскости |
z с разрезом по положительной |
||
действительной оси при отображении ветвью (3 z )1 . |
||||
Итак, образом верхней полуплоскости при отображении ветвью |
||||
ì |
2p |
|
ü |
|
будет область íw : |
|
< arg(w)< p ý. |
||
3 |
||||
î |
|
þ |
части
(3 z )1
§ 3.7. Функция Жуковского и обратная ей, их свойства
|
|
1 |
æ |
1 ö |
|
Функция, задаваемая равенством |
w = |
|
ç z + |
|
÷ , называется функцией |
|
|
||||
|
|
2 |
è |
z ø |
Жуковского.
Во всех точках комплексной плоскости, кроме z = 0, z = ¥ , функция
¢ |
1 |
æ |
- |
1 |
ö |
|
ç1 |
|
÷ . |
||
аналитическая; w (z) = |
|
z2 |
|||
|
2 |
è |
|
ø |
Функция Жуковского однолистна в любой области D , в которой нет различных точек, связанных равенством z1 × z2 = 1, в частности, если D : а)
z > 1; б) z < 1; в) Im z > 0 ; г) Im z < 0 .
Геометрическое |
поведение |
функции. |
Пусть z = reij , |
r = |
|
z |
|
. Тогда, |
|||||||
|
|
||||||||||||||
записав функцию Жуковского в виде w = u + iv , получим |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
æ |
1 ö |
|
1 |
æ |
|
1 |
ö |
|
|
|
|
|
|
u = |
|
ç r + |
|
÷ cosj , v = |
|
çr - |
|
÷sinj . |
(3.9) |
||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
è |
r ø |
|
2 |
è |
|
r |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
Рассмотрим |
окружность |
|
z = r × eij , |
0 £ j £ 2p , |
r > 0 |
|
|
– |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
фиксированное число. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
æ |
|
|
|
1 |
|
ö |
|
|
|
|
1 |
æ |
|
|
1 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
Þ |
|
cosj = |
|
|
u |
|
|
|
||||||||||||
u = |
|
ç r + |
|
|
÷ cosj , |
v = |
|
|
|
ç r - |
|
|
|
|
÷sinj |
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||||||||||||||
|
2 |
è |
|
|
|
r |
ø |
|
|
|
|
2 |
è |
|
|
r |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
æ |
1 ö |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç r + |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
r ø |
|
||||
sinj = |
|
|
|
v |
|
|
|
(r ¹ 1) , т.е. |
|
|
|
|
|
u2 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
v2 |
|
= 1 (r ¹ 1) . |
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 |
æ |
|
|
|
1 |
ö |
1 |
æ |
|
|
1 ö2 |
1 |
æ |
|
1 |
ö2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ç r - |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
ç r + |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
ç r - |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
è |
|
|
|
r ø |
|
è |
|
|
|
r ø |
|
|
è |
|
|
r ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
Следовательно, функция Жуковского переводит окружность z = r × eij |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
æ |
|
|
|
1 |
ö |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
(r ¹ 1) в эллипс с полуосями |
|
|
ç r + |
|
|
|
|
÷ |
, |
|
|
|
|
r - |
|
|
|
|
|
и фокусами w = ±1. |
При |
||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
r |
2 |
|
r |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
r > 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 < r < 1 |
||||||||||||||
эллипсы |
ориентированы |
так |
же, |
как и |
|
окружности, |
при |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
эллипсы ориентированы противоположно окружностям. |
При |
r = 1 эллипс |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вырождается в отрезок |
[-1,1], проходимый дважды, т.е. образом окружности |
z = 1 является отрезок [-1,1], проходимый дважды. Таким образом, функция
Жуковского конформно отображает внешность (внутренность) единичного круга на внешность отрезка [-1,1] (рис. 3.3).
2.Рассмотрим луч z = reia , 0 < r < +¥ , a – фиксировано.
|
|
1 |
æ |
|
|
1 |
ö |
|
|
|
|
1 |
æ |
|
1 ö |
|
|
|
|
|
u |
|
1 æ |
|
1 |
ö |
|||||
u = |
|
|
ç r + |
|
÷cosa , v = |
|
|
ç r - |
|
|
÷sina , |
0 < r < +¥ , Þ |
|
|
= |
|
çr + |
|
÷ , |
||||||||||||
2 |
r |
2 |
|
|
|
cosa |
|
r |
|||||||||||||||||||||||
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
è |
|
r ø |
|
|
|
|
|
|
2 è |
|
ø |
||||||||||
|
v |
|
|
|
1 |
æ |
|
1 |
ö |
pk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
= |
|
çr - |
|
÷ , a ¹ |
|
|
, k Î Z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
sina |
2 |
r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u2 |
- |
|
|
v2 |
= 1, |
a ¹ |
pk |
, k Î Z . |
|
|
|
|
|
(3.10) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 a |
|
sin2 a |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Это |
|
уравнение |
|
задает |
|
гиперболу |
с |
фокусами в |
точках |
w = ±1 |
и |
||||||||||||||||
асимптотами v = ±u × tga . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.3 |
|
При |
0 < a < p |
луч z = reia переходит в правую ветвь гиперболы, при |
|||
p < a < p |
2 |
|
|||
– в левую ветвь (рис. 3.4); при замене a на -a получаем ту же |
|||||
2 |
|
|
|
|
|
ветвь гиперболы, но с противоположной ориентацией. |
|||||
Луч |
arg z = 0 |
переходит в луч [1, ¥), проходимый дважды; луч |
|||
arg z = p |
переходит в луч (- ¥, -1], проходимый дважды. Лучи arg z = p , |
||||
|
3p |
|
|
2 |
|
arg z = |
|
переходят в мнимую ось Re w = 0 . |
|||
|
|||||
2 |
|
|
|
Таким образом, функция Жуковского конформно отображает верхнюю полуплоскость Im z > 0 на плоскость w с разрезами по лучам (- ¥, -1] и
[1, ¥); нижняя полуплоскость Im z < 0 отображается аналогично.
Пример 3.15. Найти образы следующих множеств при отображении
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
æ |
|
1 |
ö |
|
|
|
|
ì |
|
|
|
|
|
|
|
|
é |
|
|
|
|
1ù é |
1 |
ù |
ü |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
функцией Жуковского |
w = |
|
ç z + |
|
|
|
÷ : a) |
D = |
íz : |
z |
<1, |
z Ï ê-1, |
- |
|
|
ú È ê |
|
,1ú |
ý; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
p |
|
3p |
|
2 |
è |
|
|
z |
ø |
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
|
|
2û ë |
2 |
û |
þ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
ì |
|
|
|
|
ü |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
b) |
D = íz : |
|
£ arg z £ |
|
, z Ï[0, i]ý. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
î |
|
|
|
|
þ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 отображается функцией |
|||||||||||||||||||
|
|
|
a) |
Окружность единичного радиуса |
|
z |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Жуковского в отрезок [-1,1], |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
проходимый дважды. |
При помощи формулы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
é |
|
|
1 |
ù |
|
|
|
|
|
(j = p , |
|||
(3.9) находим, что отрезок действительной оси |
x Î |
ê-1, - |
|
ú , |
|
|
y = 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
|
û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
£ r £1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
é |
5 |
ù |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
переходит |
в |
отрезок |
|
действительной |
|
оси |
|
u Î ê- |
|
|
, -1ú |
, |
v = 0; |
||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
û |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x Î |
é1 |
|
ù |
|
y = 0 (j = 0 , |
1 |
£ r £1) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
отрезок действительной оси |
ê |
|
|
,1ú , |
|
|
переходит в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë2 |
|
û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u Î |
é |
5ù |
, v = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
отрезок действительной оси |
ê1, |
|
|
ú |
Таким образом, исходная |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
4û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
область отображается на всю комплексную плоскость с разрезом по отрезку
|
|
|
|
|
|
é |
5 |
|
5 |
ù |
|
|
действительной оси u Î |
ê- |
|
, |
|
ú , v = 0. |
|
||||||
4 |
4 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
ë |
|
û |
|
|
||
|
|
|
b) |
|
Так как луч |
arg z = p |
переходит в мнимую ось Re w = 0 |
; w(i)= 0 , |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
æ i |
ö |
= -i |
3 |
и w(0)= ¥ |
, то отрезок x = 0, 0 £ y £1, проходимый дважды, |
|||||||
wç |
|
÷ |
|
|||||||||
|
4 |
|||||||||||
è 2 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
переходит в отрицательную часть мнимой оси, проходимую дважды. При
помощи формулы (3.10) находим, что луч |
arg z = |
3p |
(j = |
3p |
, |
0 £ r < ¥ ) |
||||
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
||
переходит |
в левую ветвь |
гиперболы 2u2 - 2v2 =1; луч arg z = p |
(j = p , |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
0 £ r < ¥ ) |
переходит |
в |
правую ветвь гиперболы |
2u2 - 2v2 =1. |
Таким |
|||||
образом, |
исходная |
область отображается |
на внутренность |
|
гиперболы |
|||||
2u2 - 2v2 =1 с разрезом по отрицательной части мнимой оси. |
|
|
|
ì
Пример 3.16. Найти образ области D = íz :
î
x2 |
+ |
y2 |
>1, a >1ü |
при |
|
|
|
|
|||
a2 |
|
a2 -1 |
ý |
|
|
|
þ |
|
отображении ветвью функции w = z + |
z2 -1 такой, что w(¥)= 0 . |
|
|
Решение. В w-плоскости существуют две области, которые функцией |
|||
Жуковского отображаются на |
указанную |
внешность |
эллипса: |