Lektsii_TFKP
.pdfКаждое дробно-линейное отображение может быть получено в результате последовательного выполнения трех отображений: линейного
(h = cz + d ), отображения x = |
|
1 |
и снова линейного ( w = A + Bx , где |
A = |
a |
, |
|||
h |
c |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
B = |
bc - ad |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
c |
|
|
|
|
|
|
Теорема 5. Функция (3.1) осуществляет конформное отображение расширенной комплексной плоскости z на расширенную комплексную
плоскость w. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Доказательство. w¢ = |
|
ad - bc |
¹ 0 "z ¹ ¥ и конечна при z ¹ - |
d |
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
(cz + d )2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|||
|
|
При z = - |
d |
w = ¥ , |
поэтому |
рассмотрим |
функцию |
x = |
1 |
|
= |
cz + d |
, |
|||||||||
|
|
c |
w |
az + b |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
которая осуществляет конформное отображение точки z = - |
d |
|
в точку x = 0 |
|||||||||||||||||||
c |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ dx |
|
bc - ad |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
= |
|
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ç |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è dz |
|
(az + b) |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
a + bz |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
В случае |
z = ¥ выполним подстановку z = |
1 |
, тогда w = |
. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
c + dz |
|
|
|
|
|
|
В точке z = 0
w¢ = - ad - bc ¹ 0. c2
При z = ¥ и c = 0
выполним подстановку
при |
c ¹ 0 |
w = |
a + bz |
– аналитическая и |
|
c + dz |
|||||
|
|
|
|
рассмотрим функцию x = |
1 |
= |
|
d |
æ |
a |
|
|
b ö |
|||||||
|
|
|
ç w = |
|
z |
+ |
|
÷ и |
||||||||
w |
az + b |
d |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
d ø |
||||||
z = |
1 |
; |
x = |
dz |
конформно |
отображает |
точку |
|||||||||
z |
a + bz |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ dx |
|
ad |
ö |
|
|
z = 0 в точку x = 0 |
ç |
|
= |
|
÷ |
. ■ |
|
2 |
|||||
|
ç |
|
|
÷ |
|
|
|
è dz |
|
(a + bz ) |
ø |
|
Основные свойства дробно-линейного отображения (ДЛО)
1. Круговое свойство: при дробно-линейном отображении образом любой окружности (прямой) является окружность или прямая.
Доказательство. Для линейной функции свойство очевидно.
Рассмотрим отображение w = 1z , z = x + iy .
Уравнение любой окружности или прямой имеет вид:
|
|
A(x2 + y2 )+ 2Bx + 2Cy + D = 0, |
(3.2) |
||||||||||||||||
A, B,C, DÎ R. |
|
||||||||||||||||||
При А = 0 и B ¹ 0, C ¹ 0 одновременно получаем прямую; |
при A ¹ 0 , |
||||||||||||||||||
B2 + C 2 - AD > 0 – окружность. |
|
||||||||||||||||||
Заметим, что x2 + y2 = |
|
|
2 = z × |
|
, 2x = z + |
|
|
, 2y = -i(z - |
|
), |
тогда (3.2) |
||||||||
|
z |
z |
z |
z |
|||||||||||||||
можно записать следующим образом: |
|
||||||||||||||||||
Az |
|
+ (B - iC)z + (B + iC) |
|
+ D = 0, или Az |
|
+ |
|
|
|
|
|
||||||||
z |
z |
z |
Ez + E z + D = 0, |
(3.3) |
E = B + iC .
Таким образом, любая окружность (прямая) задается уравнением (3.3)
и наоборот, уравнение (3.3) задает окружность (прямую). |
|
||||||||||||
w = |
1 |
Þ |
z = |
1 |
Þ (3.3) запишется в виде |
|
|||||||
z |
|
w |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dww |
+ Ew + Ew + A = 0 . |
(3.4) |
||||||
(3.4) имеет |
тот |
же |
вид, что и (3.3), следовательно, образом прямой |
или |
окружности при отображении w = 1z является прямая или окружность.
При |
z = - |
d |
|
w = |
az + b |
обращается в ¥ , поэтому образ каждой прямой |
||||
c |
cz + d |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
или окружности, |
проходящей через точку |
z = - |
d |
, должен содержать |
||||||
c |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бесконечно удаленную точку, т.е. является прямой.
Образ прямой или окружности, не проходящей через z = - dc , не может содержать бесконечно удаленную точку, а значит, является окружностью. ■
2. Сохранение симметрии: при дробно-линейном отображении пара точек, симметричных относительно окружности или прямой, переходит в пару точек, симметричных относительно образа этой окружности или прямой.
Точки P и P¢ называются симметричными относительно окружности G , если они лежат на одном луче, выходящем из центра окружности O и
OPOP¢ = R2 , R – радиус окружности (центр окружности считается симметричным бесконечно удаленной точке). Можно доказать, что это
определение эквивалентно тому, что любые окружности и прямая, проходящие через P и P¢, ортогональны к G .
Доказательство. Окружности, проходящие через P и P¢, симметричные относительно окружности G , ортогональны G . По круговому свойству, дробно-линейное отображение переводит G и окружности, проходящие через P и P¢, в некоторую другую окружность и ортогональные к ней окружности, проходящие через соответствующие точки Q и Q¢ ,
следовательно, Q и Q¢ – симметричны. Если G переходит при отображении
в прямую, то центры всех преобразованных ортогональных окружностей лежат на прямой, а значит Q и Q¢ симметричны относительно этой прямой.
■
Пример 3.1. Найти точку, симметричную точке z относительно окружности z = 2 , если a) z =1; b) z = 32 i .
Решение.
a) По условию, P =1, O – начало координат, значит, точка z¢ , симметричная точке z =1 относительно окружности z = 2 должна лежать на
луче arg z = 0; кроме того, выполняется равенство 1× OP¢ = 4, то есть z¢ = 4 . Окончательно, z¢ = 4.
b) Рассуждая аналогично пункту a), получаем, что z¢ = 83i .
3. Инварианты ДЛО: существует единственное дробно-линейное отображение, которое три разные точки z1, z2 , z3 переводит соответственно в
три разные точки w1,w2 ,w3 ; оно задается формулой
|
|
|
|
|
|
|
w - w1 |
: |
w3 - w1 |
= |
|
z - z1 |
: |
|
z3 - z1 |
. |
|
|
|
|
(3.5) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z - z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
w - w w - w |
2 |
|
|
2 |
|
|
z |
3 |
- z |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Доказательство. Общий вид ДЛО w = |
az + b |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cz + d |
|
|
wk (k =1,2,3): |
|||||||||
|
|
Задавая |
точки |
zk , получим соответственно |
|
||||||||||||||||||||||||||
wk |
= |
azk |
+ b |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
czk + d |
|
|
|
|
(ad - bc)(z - z1 ) |
|
|
|
|
|
|
(ad - bc)(z - z2 ), |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
Образуем разности w - w = |
, |
|
w - w |
|
= |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(cz + d )(cz + d ) |
|
|
|
|
2 |
|
(cz + d )(cz |
2 |
+ d ) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w - w = |
(ad - bc)(z3 - z1 ) |
, w - w |
|
= |
(ad - bc)(z3 - z2 ). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3 |
|
1 |
(cz |
3 |
+ d )(cz + d ) |
3 |
2 |
|
|
(cz |
3 |
+ d )(cz |
2 |
+ d ) |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Образовав необходимые соотношения, получим (3.5). ■
Отношение |
z - z1 |
: |
z3 - z1 |
|
называется двойным или ангармоническим |
|
|
z3 |
- z2 |
||||
|
z - z2 |
|
||||
отношением четырех точек |
(z, z1, z2 , z3 ). |
|||||
Если одна из точек |
zk , wk |
(k =1,2,3) является бесконечно удаленной, |
то в формуле (3.5) разности, в которые входит эта точка, следует заменить единицами (например, при z3 = ¥ и w2 = ¥ формула (3.5) примет вид
w - w1 = z - z1 ). w3 - w1 z - z2
Геометрический смысл: функция w = f (z), определяемая равенством
(3.5), конформно отображает круг, граница которого проходит через точки z1 , z2 , z3 , на круг, граница которого проходит через точки w1, w2 , w3 (если
порядок обхода границ при этом не изменяется).
Пример 3.2. Найти образ множества E = {z : Im z = 1} при отображении w = zz +-11 .
Решение.
Способ 1. E – прямая, параллельная оси Ox , и z = i Î E , следовательно, по круговому свойству, ее образом будет либо прямая, либо
окружность. При отображении |
w = |
z -1 |
|
все точки множества E |
переходят в |
|
z +1 |
||||||
|
|
|
|
конечные точки w-плоскости, поэтому образом E будет окружность G .
Возьмем три точки множества E : |
z = i , |
z = i -1, |
z = ¥ и найдем их образы, |
||||||||||||||||||||
принадлежащие G : w(i) = |
i -1 |
= i |
|
, w(i -1) = |
i - 2 |
= 1+ 2i , w(¥) = 1. Эти три |
|||||||||||||||||
|
|
|
i |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
точки w-плоскости однозначно определяют окружность G : |
|
w -1- i |
|
= 1. |
|||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
Способ 2. При |
w = |
z -1 |
|
точка |
z = -1 переходит в точку w = ¥ , |
||||||||||||||||||
z +1 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
следовательно, точка |
z* = -1+ 2i , |
симметричная точке z = -1 относительно |
|||||||||||||||||||||
прямой E , |
переходит в центр окружности, являющейся образом множества |
||||||||||||||||||||||
E : w(z* ) = |
- 2 + 2i = 1+ i . Так как |
|
w(¥) = 1, то искомая окружность задается |
||||||||||||||||||||
|
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
равенством |
|
|
w -1- i |
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Способ 3. w = |
z -1 |
= 1- 2 × |
|
1 |
|
, |
т.е. w можно представить в виде |
||||||||||||||||
|
|
z +1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
композиции отображений x = z +1, h = x1 , w = 1- 2h .
Отображение x = z +1 переводит множество E z -плоскости в такое же множество x -плоскости.
Отображение h = x1 – дробно-линейное и переводит E в окружность: h(i) = -i , h(¥) = 0 , а точкам мнимой оси сопоставляет опять точки мнимой оси. В силу конформности отображения h = x1 в точке x = i угол между E и
мнимой осью, равный p , сохранится, следовательно, диаметр окружности |
||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
= |
1 |
. |
|||||||||||||
проходит по мнимой оси, а значит, уравнение этой окружности – |
h + |
|
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|||
Отображение w = 1- 2h |
сводится |
к равномерному растяжению h - |
||||||||||||||||
плоскости в 2 раза, повороту ее вокруг |
h = 0 |
на угол p и сдвигу вдоль |
||||||||||||||||
вектора h = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3.3. Найти образ области |
D при отображении w = |
|
z |
|
|
, где |
||||||||||||
z -1 |
||||||||||||||||||
D = {z, 0 < Re(z)<1, 0 < Im(z)<1}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. Выделим действительную и мнимую части функции w. |
||||||||||||||||||
Имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = |
x(x -1)+ y2 |
, |
v = - |
|
y |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(x - |
1)2 + y2 |
(x -1)2 |
+ y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Будем искать образ границы области D (рис. 3.1).
а) Сторона OA: y = 0, 0 £ x £1 отображается на отрицательную часть действительной оси (v = 0, - ¥ < u £ 0).
b) Сторона AB : x =1, 0 < y £1, отображается в линию u =1, - ¥ < v £ -1.
|
Рис.3.1 |
|
Рис. 3.2 |
|
|
с) |
Сторона |
BC : y =1, 1³ x ³ 0 , |
отображается |
в |
линию, |
параметрическое уравнение которой имеет вид:
u = |
x(x -1)+ 1 |
, v = - |
|
|
1 |
, 0 £ x £1. |
|||||||||
|
(x |
-1)2 + 1 |
|||||||||||||
|
(x -1)2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Исключив параметр x , получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
æ |
1 |
ö |
2 |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
||||
(u -1) |
+ çv + |
|
÷ |
= |
|
, |
|
|
£ u £1, |
- |
|
£ v £ -1. |
|||
2 |
4 |
2 |
2 |
||||||||||||
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
d) Аналогично, образ стороны CO определяется уравнением:
æ |
1 ö |
2 |
2 |
|
1 |
, 0 £ u £ |
1 |
, - |
1 |
£ v £ 0. |
|
çu - |
|
÷ |
+ v |
|
= |
|
|
|
|||
|
|
4 |
2 |
2 |
|||||||
è |
2 ø |
|
|
|
|
|
|
В соответствии с принципом соответствия границ, образом квадрата будет область, заштрихованная на рис. 3.2.
Пример 3.4. Найти дробно-линейное отображение, которое точки z1 =1 и z2 = -1 оставляет неподвижными, а точку z3 = i переводит в точку
w3 = 0 . Найти образ полуплоскости Im(z)> 0 при данном отображении. Решение. По условию имеем три пары соответствующих точек:
z1 =1, z2 = -1, z3 = i, w1 =1, w2 = -1, w3 = 0.
Применяя формулу (3.5), получим искомое дробно-линейное отображение:
w = izz ++i1.
Найдем теперь образ верхней полуплоскости, границей которой является действительная ось. Согласно круговому свойству, действительная ось отображается в окружность. Чтобы найти ее, на действительной оси выберем три точки, например: z1 =1, z2 = 0, z3 = -1, образами которых будут
точки w1 =1, w2 = -i, w3 = -1. Они лежат на окружности w =1. По принципу соответствия границ получаем, что образом верхней полуплоскости будет область D'= {w, w <1}.
Пример 3.5. Найти дробно-линейное отображение, которое круг z - 4i < 2 отображает на полуплоскость v > u так, что w(4i)= -4, w(2i)= 0 .
Решение. Условие задачи определяет две пары соответствующих точек. Третью пару найдем, пользуясь свойством симметрии дробно
линейного отображения. |
z1 = 4i и z3 = ¥ , |
|
||||
По этому свойству, точки |
симметричные |
|||||
относительно окружности |
|
z - 4i |
|
= 2, |
перейдут в точки w1 = -4 и w3 = -4i , |
|
|
|
|||||
симметричные относительно прямой |
u = v . Таким образом, |
найдена третья |
||||
пара точек z3 = ¥ и w3 = -4i . |
|
|
По формуле (3.5) найдем искомое отображение w = - 4iz - 8 . z - 2 - 4i
§ 3.3. Показательная функция, ее свойства |
|
||||
Функция |
f (z) = ex (cos y + isin y) , |
z = x + iy , называется показательной |
|||
и обозначается ez . |
|
|
|
|
|
Очевидно, |
"z ÎC |
ez ¹ 0 , |
т.е. |
при отображении |
w = ez начало |
координат w-плоскости не принадлежит образу конечной z -плоскости. |
|||||
Аналитическая в |
области |
D |
функция w = f (z) называется |
||
однолистной в области |
D , если в разных точках области она принимает |
разные значения. Область, в которой функция однолистна, называется областью однолистности этой функции.
Если f (z1) = f (z2 ) при некоторых значениях z1 ¹ z2 , то функция называется многолистной.
Основные свойства показательной функции
1. Любая полоса шириной 2p , стороны которой параллельны действительной оси, является областью однолистности функции w = ez .
Доказательство. Пусть z |
¹ z |
2 |
. Если ez1 = ez2 , то ez1-z2 =1, |
|
|
1 |
|
|
|
следовательно, z1 - z2 = 2pki , k Î Z (k ¹ 0). |
||||
Таким образом, условие однолистности нарушается в точках, для |
||||
которых |
z1 - z2 = 2pki , k Î Z (k ¹ 0). |
Этому условию не удовлетворяют |
||
точки z |
комплексной плоскости, для которых h < Im z < h + 2p ,h Î R . Значит, |
полоса шириной 2p , стороны которой параллельны действительной оси, является областью однолистности функции w = ez . ■
2.При отображении w = ez
·образом прямой y = a является луч, выходящий из начала координат под углом a к положительному направлению действительной оси;
|
· |
образом прямой |
x = d является окружность с центром в начале |
||||||||||
|
|
координат и радиусом ed . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Доказательство. Пусть y = a , |
тогда z = x + ia, -¥ < x < ¥ , поэтому |
||||||||||||
w = ex+ia |
= ex (cos a + i sin a) , |
а значит arg w = a , |
|
w |
|
= ex . При изменении x от |
|||||||
|
|
||||||||||||
- ¥ до |
¥ |
|
w |
|
= ex меняется от 0 до |
¥ , поэтому образом прямой y = a |
|||||||
|
|
||||||||||||
является луч arg w = a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пусть |
|
|
|
x = d , |
тогда |
z = d + iy, -¥ < y < ¥ , |
поэтому |
||||||
w = ed +iy = ed (cos y + isin y). |
Представив |
w = u + iv , получаем |
u = ed cos y , |
||||||||||
v = ed sin y , или u2 + v2 = (ed )2 . ■ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример 3.6. Найти образ области |
D = {z : 0 < Im z < 2p , Re z ³ 0} при |
отображении w = ez .
Решение. Выделим действительную и мнимую части функции w. Имеем:
|
u = ex cos y, v = ex sin y. |
Будем искать образ границы области D : |
|
1) |
луч y = 2p , 0 £ x < ¥ , отображается в луч 1£ u < ¥ , v = 0; |
2) |
отрезок x = 0, 0 £ y £ 2p , отображается в окружность единичного |
радиуса (ez = eiy );
3)луч y = 0, 0 £ x < ¥ , отображается в луч 1£ u < ¥ , v = 0.
Всоответствии с принципом соответствия границ, образом области D является вся плоскость с разрезом по положительной части действительной оси и удаленной окружностью единичного радиуса.
§3.4. Тригонометрические и гиперболические функции, их свойства
Тригонометрические функции задаются формулами:
cos z = 12 (eiz + e-iz ), sin z = 21i (eiz - e-iz ), tgz = cossin zz , ctgz = cossin zz .
Гиперболические функции определяются по формулам:
chz = 12 (ez + e-z ), shz = 12 (ez - e-z ), thz = chzshz , cthz = chzshz .
Известные из тригонометрии соотношения между тригонометрическими функциями действительного аргумента сохраняются и
в комплексной области, но утверждения « sin z £ 1, cos z £ 1 для любого
z ÎC » неверны.
Из определения следуют очевидные соотношения:
·cos z = ch(iz) , chz = cos(iz) ;
·sin z = -ish(iz), shz = -i sin(iz);
·tgz = -ith(iz) , thz = -itg(iz) ;
·ctgz = icth(iz), cthz = ictg(iz) .
|
Основные свойства тригонометрических функций |
1. |
Отображение w = sin z переводит ортогональную сетку прямых, |
параллельных координатным осям, в сетку гипербол и эллипсов с общими фокусами ±1.
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
w = u + iv = sin z = sin(x + iy)= sin xcos(iy) + sin(iy)cos x = |
|
|
|
|
|
|
||||||||
= sin xchy + i cos xshy , |
т.е. |
u = Re(sin z) = sin xchy , |
v = Im(sin z) = cos xshy , |
|||||||||||
следовательно, при отображении w = sin z прямая |
x = a |
æ |
|
pk |
|
ö |
||||||||
ç a ¹ |
|
2 |
,k Î Z ÷ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
ø |
|
переходит в |
кривую, |
параметрическое уравнение |
которой |
имеет |
вид: |
|||||||||
u = sin achy , |
v = cos ashy , - ¥ < y < ¥ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
u2 |
|
v2 |
|
|
æ |
pk |
|
|
ö |
|
Исключая переменную |
y , получим |
|
- |
|
|
= 1 |
ç a ¹ |
|
|
,k Î Z ÷. |
||||
sin2 a |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
cos2 a |
è |
2 |
|
|
|
ø |
При этом координата u |
|
сохраняет знак sin a , |
координата v пробегает |
|||||||||||
всю числовую ось, т.е. образом прямой |
æ |
pk |
,k |
ö |
||||||||||
|
|
x = a ça ¹ |
|
2 |
Î Z ÷ является одна |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
ø |
|||
ветвь гиперболы с полуосями |
|
sin a |
|
, |
|
cos a |
|
и фокусами ±1. |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
Если a = pk , |
k Î Z , |
|
то |
|
|
|
прямая |
|
x = a |
|
переходит в кривую, |
|||
параметрическое уравнение |
|
которой |
u = 0,v = (-1)k shy , - ¥ < y < ¥ , т.е. в |
|||||||||||
мнимую ось плоскости w. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если a = p + pk , |
k Î Z , |
то u = (-1)k chy , v = 0 , |
- ¥ < y < ¥ , т.е. прямая |
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = a при a = p + pk , k Î Z , переходит в луч u £ -1, |
v = 0 в случае нечетного |
|||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k , и в луч u ³ 1, v = 0 в случае четного k . |
|
|
|
|
Аналогично, образом прямой y = a (a ¹ 0) |
при отображении w = sin z |
||||||||
является эллипс |
u2 |
+ |
v2 |
= 1 с полуосями cha и |
|
sha |
|
и с фокусами в |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||
точках ±1. |
ch2a sh2a |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если a = 0, то |
образом действительной |
оси |
z -плоскости является |
||||||
отрезок [-1,1] действительной оси w-плоскости. ■ |
|
|
|
|
2.Отображение w = sin z конформно во всех точках z -плоскости,
кроме z = p + pk , k Î Z , |
поэтому сетка эллипсов и гипербол должна быть |
||||
|
2 |
|
|
|
|
ортогональной. |
|
|
|
|
|
3. |
Отображение |
æ |
p ö |
сводится к сдвигу x = z + |
p |
w = cos z = sinç z + |
÷ |
|
|||
|
|
è |
2 ø |
|
2 |
плоскости в направлении действительной оси и отображению w = sinx .
4.Отображение w = tg z переводит ортогональную сетку прямых,
параллельных координатным осям, в ортогональную сетку дуг окружностей (отрезок), проходящих через точки w = -i и w = i в единичном круге w £1 и
дуг окружностей (отрезок) в w £1, ортогональных им.
|
|
1 |
|
(eiz )2 |
-1 |
|
|
В этом можно убедиться, представив |
w = tg z в виде |
w = |
|
× |
|
|
, |
i |
(eiz )2 |
+ 1 |
тем самым сводя это отображение к повороту z = iz , показательной t = ez ,
степенной x = t2 и дробно-линейной w = 1i × xx +-11функциям.
§ 3.5. Логарифмическая функция, ее свойства
Однозначной непрерывной ветвью многозначной функции f (z) в области D называется однозначная непрерывная функция j(z) , значение которой в каждой точке z Î D совпадает с одним из значений функции f (z) .
Логарифмической функцией комплексного аргумента называется
функция, обратная к показательной, т.е. определяемая уравнением |
ew = z , |
||||
z ¹ 0 , и обозначаемая w = Ln z . |
|
||||
Справедлива формула |
|
||||
Ln z = ln |
|
z |
|
+ i(arg z + 2pk), k Î Z . |
(3.6) |
|
|
Логарифмическая функция определена на всей комплексной плоскости с выколотой точкой z = 0 , бесконечнозначна и разные ее значения отличаются на 2pki , k Î Z .