Lektsii_TFKP
.pdfПри этом |
условии получаем: |
ò |
f (z) - f (z0 ) |
dz |
< |
e |
2pr = 2pe , а |
|||
|
|
|||||||||
|
|
|
g r |
z - z0 |
|
r |
||||
значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim ò |
|
f (z) - f (z0 ) |
dz = 0 . |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
r®0 g r |
|
z - z0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
(4.6) |
|||
Интеграл ò |
f (z) - f (z0 ) |
dz равен левой части равенства (4.5) и, в силу |
||||||||
|
||||||||||
g r |
z - z0 |
|
|
|
|
|
|
|
(4.4), не зависит от r . Следовательно, он равен нулю при всех рассматриваемых значениях r . Таким образом, справедливо (4.5), а значит,
имеет место интегральная формула Коши (4.3). ■ Суть теоремы заключается в выражении значения функции внутри
области через значения на границе.
Следствия.
1) (Теорема о среднем) Значение аналитической функции f (z) в любой точке z0 области аналитичности равно среднему арифметическому ее значений на любой окружности с центром в точке z0 (сама окружность и ее
внутренность лежат в той же области).
Доказательство.
f (z0 ) = |
1 |
|
|
|
|
|
f (z)dz |
= |
1 |
2p |
f (z0 + reij ) |
ireij dj = |
|
|
|
|
ò |
|
|
|
|
|
ò |
|
|||
|
2pi |
|
|
|
= r |
z - z |
0 |
|
2pi |
reij |
|||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
z - z0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
= 1 2òp f (z0 + reij )dj . ■
2p 0
2)(Принцип максимума) Если функция – непостоянная,
аналитическая в области G и непрерывная в G , то ее модуль не может достигать наибольшего значения во внутренней точке области G .
|
|
|
Доказательство. Если для функции f (z) |
в области |
G выполняется |
||||||||||
одно из условий а) Re f (z) = const или б) |
|
f (z) |
|
= const , то f (z) = const . |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
а) |
f = u + iv ; |
¶u |
= |
¶u |
= 0, Þ |
|
по |
условиям |
Коши-Римана |
|||
|
|
|
¶x |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
¶y |
|
|
|
|
|
|
||
|
¶v |
= |
¶v |
= 0, |
Þ v = const, f |
= const . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
¶x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
¶y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
Пусть |
|
|
|
f (z) |
|
|
º M ¹ 0 . |
Рассмотрим |
|
аналитическую |
функцию |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ln f (z) = ln |
|
|
|
f (z) |
|
|
|
+ i arg f (z) : |
|
|
|
|
Re(ln( f (z)))= ln |
|
f (z) |
|
= ln M = const , |
Þ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ln( f (z)) = const , |
Þ f (z) º const . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Пусть |
|
f (z) |
|
достигает максимума внутри области G на множестве E , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
то есть "z Î E |
|
|
|
f (z) |
|
|
|
= M . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Если E = G , то на |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) |
|
= const, Þ f (z) = const . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Если |
|
E ¹ G , то найдется граничная точка |
|
z0 |
|
множества E , |
|
z0 ÎG , а |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
так как в любой окрестности |
z0 есть точки множества E , и функция f (z) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
непрерывна, то |
|
|
f (z0 ) |
|
= M . |
|
|
|
|
|
|
|
|
z - z0 |
|
|
|
|
|
= r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C Ì G , и |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Построим |
окружность |
|
|
|
|
C : |
|
|
|
|
|
|
|
такую, |
|
что |
|
|
на этой |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
окружности найдется точка z1 Ï E , |
а значит |
|
f (z1) |
|
|
|
< M . |
некоторого e > 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Из |
|
|
непрерывности |
функции |
|
f (z) получаем: для |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
найдется дуга C1 окружности C , на которой |
|
|
|
f (z) |
|
< M - e , а на оставшейся |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
части C \ C1 |
окружности |
|
|
f (z) |
|
£ M . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
По |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
теореме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
среднем |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
2p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
ì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ü |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
f (z0 ) = |
|
|
|
|
|
|
ò f (z)dj = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
í |
ò f (z)ds + ò f (z)dsý |
, ds = rdj . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2pr ïC |
|
|
|
|
|
|
C\C |
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
þ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M = |
|
|
|
f |
|
(z |
0 |
) |
|
£ |
|
1 |
|
{(M - e ) |
|
C |
|
+ M |
|
C \ C |
|
}= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2pr |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||
= |
1 |
M ( |
|
C |
|
+ |
|
C \ C |
|
|
)- |
|
|
|
e |
|
|
|
|
C |
|
= M - |
e |
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
где через |
|
|
обозначена длина |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2pr |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2pr |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2pr |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соответствующей дуги. Полученное противоречие завершает доказательство.
■
|
|
|
|
|
|
|
|
zez |
|
|
||
Пример 4.7. Вычислить ò |
|
|
dz , где a) L = {z : |
z -1 |
=1}, b) |
|||||||
(z2 |
+1)(z -1) |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
ì |
|
|
1 |
ü |
|
L = {z : z -1 - i = 2}. |
||||||
|
|
|
||||||||||
L = íz : |
z |
= |
|
ý |
, c) |
|||||||
|
||||||||||||
î |
|
|
3 |
þ |
|
|
|
|
|
|
|
Решение.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zez |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
а) |
Запишем интеграл |
в |
|
виде |
ò |
|
|
|
|
|
zez |
dz = |
ò |
|
|
|
|
(z2 + 1) |
dz , |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zez |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z -1 |
|
=1 (z |
|
+ 1)(z -1) |
|
|
|
|
z -1 |
|
=1 |
|
(z -1) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
функция |
|
|
f (z) = |
|
|
|
|
|
|
– |
аналитическая |
в |
области |
|
z -1 |
|
< 1, |
а точка |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(z2 + |
1) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
z0 = 1Î{z, |
|
z -1 |
|
< 1}, |
|
|
поэтому |
по |
|
формуле |
|
|
(4.3) |
|
|
имеем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ò |
|
|
|
|
|
zez |
|
dz = 2pi |
|
|
ze |
z |
|
= pei . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
z-1 |
|
=1 |
(z |
|
+1)(z -1) |
|
|
|
z |
+1 |
|
z=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zez |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
< |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b) |
В области |
|
|
|
|
|
|
подынтегральная функция |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 +1)(z -1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
аналитическая, |
поэтому |
|
из |
|
интегральной |
теоремы |
|
|
Коши |
имеем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ò |
|
|
|
|
|
|
zez |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
dz = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 (z2 |
+1)(z -1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
z |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c) В области z -1 - i < 2 лежат две точки, в которых знаменатель обращается в нуль: z1 =1 и z2 = i , поэтому воспользоваться непосредственно формулой (4.3) невозможно. Разложим функцию на сумму простых дробей
z |
= - |
z -1 |
+ |
1 |
. |
|
|
|
|||
( z 2 +1)( z -1) |
2 ( z 2 +1) |
2 ( z -1) |
Тогда, применяя формулу (4.3) к каждому из интегралов, имеем:
ò |
|
|
z ez |
|
|
|
|
|
dz = - |
|
1 |
ò |
|
||
|
2 |
+ 1)( z -1) |
|
|
|||||||||||
L ( z |
|
|
|
|
|
2 L |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( z -1)ez |
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
= - |
ò |
|
z + i |
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
z - i |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
L |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
= - p i |
( z -1) ez |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
z + i |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z =i |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( z -1)ez |
dz + |
1 |
ò |
ez |
dz = |
||
z |
2 |
+ 1 |
|
( z -1) |
|||
|
|
2 L |
|
|
1 |
ò |
|
e |
z |
|
(4.3) |
|||
dz + |
|
|
|
dz = |
||||||
2 |
|
z -1 |
||||||||
|
L |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
+ p iez |
|
|
|
|
= p |
(1 - i)e i+p ei . |
||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
z =1 |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2p |
|
|
|
|
dj |
|
|
|
|
|
|
|
|
2p |
|
(a >1). |
|
|
|
|||||||||||
|
|
ò0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Пример 4.8. Доказать, что |
a + cos j = |
|
|
a 2 -1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Решение. Заменой z = eij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2p |
|
|
|
dj |
|
|
|
|
|
|
||
сведем интеграл |
ò |
|
|
|
|
|
к интегралу по |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
a + cos j |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
контуру от функции комплексной |
|
|
|
|
|
|
|
|
переменной. |
|
Так как |
dj = |
dz |
, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i z |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
ij |
|
|
|
|
-ij |
|
|
1 |
æ |
|
|
1 |
ö |
|
|
|
|
|||||||
воспользовавшись формулой cos j = |
|
|
|
(e |
|
|
|
|
|
|
+ e |
|
|
|
) = |
|
|
ç z + |
|
÷ , имеем: |
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
z |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|||||
2p |
dj |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ò |
|
|
= |
|
|
|
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
a + cos j |
i |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
0 |
|
|
|
|
z |
|
=1 z |
|
+ 2a z + 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разложим знаменатель на множители:
( z 2 + 2a z +1) = ( z + a + a 2 -1)( z + a - a 2 -1) = ( z - z ) ( z - z |
2 |
). |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Точка z |
2 |
= - a + |
|
a2 |
-1Î{ z |
< 1}, |
|
|
точка z = -a - a2 -1Î{ z |
|
> 1}; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
таким образом, |
функция |
|
(z + a + |
|
a 2 -1)-1 |
– аналитическая в |
|
z |
|
<1, и из |
||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
формулы (4.3) имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
ò |
|
|
|
dz |
|
= |
2 |
|
|
ò |
z + a + a |
2 -1 |
dz = |
|
|
||||||||||
|
|
|
i |
|
|
2 |
+ 2a z + |
|
i |
|
|
z + a - a |
2 -1 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
z |
|
=1 z |
|
1 |
|
|
z |
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
= |
2 |
|
2pi |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2p . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i z + a + a 2 -1 z=-a+ a2 -1 |
a 2 -1 |
|
|
§4.5. Интеграл типа Коши
Пусть G – спрямляемая кривая, j(x ) – непрерывная на G функция,
z Ï G . |
|
|
|
Интегралом типа Коши называется интеграл вида F(z) = |
1 |
ò |
j(x )dx |
|
x - z . |
||
2pi |
|||
|
|
G |
|
Интегралом Коши называется интеграл, фигурирующий в интегральной формуле Коши.
Пример 4.9. Интегралы
1 1 dx
Коши: a) 2pi -ò1x - z , x Î R ; b)
типа Коши, не
1 |
|
|
|
|
|
dx |
|
1 |
|
|
ò |
x |
; c) |
||||
2pi |
|
x |
x - z |
2pi |
||||
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
являющиеся интегралами
x -2dx
xò=1 x - z .
Теорема (о дифференцируемости интеграла типа Коши).
Пусть G – |
спрямляемая кривая, j(x ) – |
непрерывная на |
G функция, |
||||||||||
z Ï G , F(z) = |
1 |
|
ò |
j(x )dx |
. Тогда в любой области П, не содержащей точек |
||||||||
|
|
|
x - z |
||||||||||
|
2pi |
||||||||||||
G , функция |
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(z) бесконечно |
дифференцируема, причем |
справедлива |
||||||||||
формула F (n) |
(z) = |
n! |
ò |
|
j(x ) |
dx . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2pi |
(x - z) |
n+1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следствия. |
|
|
|
|
|
|
|
|
то она ¥ - |
||||
1) Если |
|
функция |
|
f (z) аналитическая |
в области G , |
дифференцируема в области G (если функция аналитическая, то она представима интегралом Коши, который является частным случаем интеграла типа Коши).
2) Для производной n -го порядка справедлива формула:
|
f (n) (z0 ) = |
n! |
|
f (z) |
dz ; |
(4.7) |
|||||
|
2pi ò |
(z - z |
0 |
)n+1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
Если функция f (z) аналитическая в области G , то |
"n f (n) (z) |
|||||||||
является аналитической в области G . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4) |
Теорема Морера. Если функция |
f (z) однозначная и непрерывная в |
|||||||||
односвязной области G , причем для любой кусочно-гладкой замкнутой |
|||||||||||
кривой G Ì G выполняется ò f (z)dz = 0 , то функция |
|
f (z) – аналитическая в |
|||||||||
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
G . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Так как |
|
ò f (z)dz = 0 для любой |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
замкнутой кривой G , то ò f (x )dx = F(z) – |
однозначная |
|||||||||
|
|
|
|
z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
функция. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Построим d -окрестность точки z (рис. 4.3), в силу |
||||||||||
|
непрерывности функции, "x , |
|
x - z |
|
< d , |
выполняется |
|||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.3
неравенство f (x ) - f (z) < e . Обозначим через s радиус, связывающий z и x .
Покажем, что F ¢(z) = f (z) . |
|
|
|
|
|
||||||
|
F(x ) - F(z) |
|
|
ì |
|
|
ü |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 ï |
|
|
ï |
|
|
|||
|
|
- f (z) |
= |
|
|
í |
ò |
f (t )dt - ò f (t )dt ý |
- f (z) |
= |
|
|
x - z |
|
|||||||||
|
|
|
x - z ï |
|
|
ï |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
îg +s |
g |
þ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
ì |
|
ü |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ï |
|
ï |
|
ò( f (t ) - f (z))dt |
|
||
= |
|
í |
ò f (t )dt - f (z)(x - z)ý |
= |
|
£ |
||
|
x - z |
|||||||
|
x - z ï |
|
ï |
|
s |
|
||
|
|
îs |
þ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ |
|
|
1 |
|
|
|
|
ò |
|
f (t ) - f (z) |
|
|
|
dt |
|
£ ed = e , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x - z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(x ) - F(z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
следовательно, |
® f (z) при x ® z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x - z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Таким образом, F(z) |
– аналитическая функция в области G , а значит, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
по следствию 3, ее производная |
f (z) – аналитическая в G . ■ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5) Неравенства Коши. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z) – аналитическая |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
Пусть g : |
|
z - z0 |
|
= r , |
M (r) = max |
|
f (z) |
|
и функция f |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (n) (z0 ) |
|
£ |
n!M (r) |
|
|||
|
|
|
|
|
G , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
в области |
содержащей |
|
|
круг |
|
z - z0 |
|
|
|
£ r . Тогда |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
"n = 0,1, 2,.... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Доказательство. |
|
|
|
|
Так |
как |
|
|
|
f |
(n) (z0 ) = |
n! |
|
ò |
|
|
f (x ) |
dx , то |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2pi |
(x - z |
0 |
)n+1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
M (r) 2pr = n!M (r) . ■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
f (n) (z0 ) |
|
£ |
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2p r n+1 |
|
|
|
|
r n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4.10. Вычислить |
ò |
|
zsin z |
dz . |
||||||||||
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
=3 |
(z - 2) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Решение. Воспользовавшись (4.7), имеем: |
||||||||||||||
ò |
zsin z |
dz = |
2p i |
(z × sin z)² |
|
|
|
|
|
|
= p i (2cos z - zsin z) |
|
z =2 = 2pi(cos2 - sin 2). |
||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
z |
|
=3 |
(z - 2) |
2! |
|
|
|
z =2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4.11. Вычислить |
òsin6 x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Сделав замену z = eix и воспользовавшись формулой |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
1 |
æ |
|
|
1 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
sin x = |
|
ç z - |
|
|
÷ , имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2i è |
|
|
z ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2p |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
( z 2 |
-1) 6 |
|
2p |
|
(6) |
|
|
|
p |
|
|
5p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
òsin6 x dx = - |
|
|
|
ò |
|
|
dz = - |
|
|
[( z 2 |
-1) 6 ] |
|
|
= |
|
× C63 |
= |
|
. |
||||
64i |
z |
7 |
64× 6! |
z =0 |
32 |
8 |
|||||||||||||||||
0 |
|
|
z |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 5. Ряды аналитических функций
§5.1. Степенные ряды
Степенным рядом называется функциональный ряд вида
¥ |
n |
|
åcn (z - z0 ) |
, |
(5.1) |
n=0
где z0 , cn ÎC (n = 0,1, 2, 3,? ) – фиксированные числа.
Множеством сходимости степенного ряда называется множество точек z , при которых ряд (5.1) сходится.
Будем в дальнейшем считать, что 10 = ¥ , ¥1 = 0.
Теорема Коши-Адамара.
Если lim n cn = 1 (0 £ R £ ¥), то
n®¥ R
·при R = ¥ ряд (5.1) сходится во всей комплексной плоскости;
· |
при R = 0 ряд (5.1) сходится только в точке z = z0 и расходится |
при z ¹ z0 ;
· при 0 < R < ¥ ряд (5.1) сходится абсолютно в круге z - z0 < R и расходится во внешности этого круга.
Круг {z : z - z0 < R}, внутри которого (5.1) сходится, а во внешности
расходится, называется кругом сходимости, R – радиусом сходимости. Поведение ряда (5.1) на границе круга сходимости может быть различным.
|
|
|
|
|
¥ |
n |
n |
|
|
Пример 5.1. Найти радиусы сходимости |
рядов: |
a) å |
|
|
z n , |
||||
|
|
|
|||||||
¥ |
|
|
|
|
n=0 n! |
|
|
||
b) å3 n z n 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) По формуле Коши – Адамара имеем: |
1 |
= lim n n n |
= lim |
|
n . |
||||
|
R |
|
n®¥ |
n! |
n®¥ |
n n! |
Для вычисления последнего предела воспользуемся формулой Стирлинга
Тогда
|
1 |
= lim |
|
R |
n®¥ n |
откуда R = e-1. |
|
|
|
¥ |
|
b) |
å3 n z n 3 |
n=0
n!= 2p n n n × e-n+qn /12n , qn Î(0,1).
|
|
= lim |
1-qn /12n |
= e , |
|
n |
|
e |
|
||
2p n n n × e-n+qn /12n |
n®¥ |
2n |
2p n |
|
|
|
|
|
|||
– степенной ряд, |
у которого многие коэффициенты |
равны нулю. Прежде чем воспользоваться формулой Коши – Адамара, запишем выражения коэффициентов ck этого ряда через номер
коэффициента k ( здесь ck – коэффициент при k -ой степени z ):
ì |
n |
, k = n |
3 |
, n = 0,1,? ; |
ck = í3 |
|
|||
î |
|
0, k ¹ n3. |
Так как требуется найти верхний предел неотрицательной последовательности, можно не рассматривать ее нулевые члены. Поэтому
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim k |
ck |
= lim n3 |
c |
n |
3 |
= lim (3n )n3 |
=1. |
||
R |
k ®¥ |
|
n®¥ |
|
|
n®¥ |
|
||
Значит, R =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ n |
Пример 5.2. Найти множество сходимости степенного ряда å za
(a Î R).
n=1 n
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
Решение. |
1 |
= lim n |
1 |
|
= lim n- n |
= 1, т.е. R = 1, поэтому |
|
z |
|
< 1 – круг |
|||||||||
|
|
||||||||||||||||||
сходимости. |
R |
n®¥ |
na |
|
n®¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На окружности |
|
z |
|
= 1 |
|
zn |
|
= |
1 |
|
, |
поэтому при a > 1 ряд абсолютно |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
na |
na |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходится во всех ее точках, |
а при a £ 0 расходится. При 0 < a £ 1 и z = 1 ряд |
|||||||||||||
¥ |
|
n |
¥ |
1 |
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
n |
|
å |
z |
= å |
|
расходится. |
В остальных точках |
окружности |
ряд |
å |
z |
|
||||
a |
a |
|
|
a |
||||||||||
n=1 n |
|
n=1 n |
|
|
|
|
n=1 n |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+ p |
ikj |
|
|
||
сходится, |
так |
как при |
z = eij (0 < j < 2p ) |
Sn+ p - Sn = |
å |
e |
|
= |
|
|||||
a |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =n+1 |
k |
|
|
ìp-2 = ei(n+1)j ïí ås
ï
î j=0
s j =1+ eij + e
то
é |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
ù |
|
s p-1 |
|
ü |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
- |
|
|
|
+ |
|
ï |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
j ê |
|
|
|
|
|
|
ú |
|
|
|
|
ý |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(n + j +1)a |
|
(n + j + |
2)a |
(n + p)a |
|
|
|
|||||||||||||||||
ë |
|
|
û |
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
þ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1- e |
i( j+1)j |
|
|
j sin |
j +1 |
j |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||
2ij +? |
+ e jij |
= |
|
= e ji |
2 |
|
2 |
|
|
|
. Так как |
|
s j |
|
£ |
|
, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1- eij |
sin |
j |
|
|
|
sin |
j |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
ï |
é |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
ù |
|
1 |
|
ï |
|
|
|||||||||
|
n+ p |
|
|
|
ikj |
|
|
|
|
|
|
|
ìp-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ü |
|
|
|||||
|
å |
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
í å |
ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
ú + |
|
|
|
ý = |
|
|
|||
ka |
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
1)a |
|
(n + |
|
|
(n |
+ p)a |
|
|
|||||||||||||||||||
|
k=n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï j=0 |
ê(n + j + |
|
|
j + 2)a ú |
ï |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
2 |
î |
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
û |
|
|
|
þ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
® 0 при n ® ¥ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
sin j |
(n +1)a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Теорема Абеля. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
(z - z0 )n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Если ряд |
åcn |
сходится |
в |
точке |
z1 ¹ z0 , |
то он |
абсолютно |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
сходится в круге |
|
|
|
z - z0 |
|
< |
|
z1 - z0 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Доказательство. Так как z1 |
не лежит во внешности круга сходимости, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
то она |
лежит |
|
внутри |
|
него |
или на его границе. |
В |
обоих случаях |
круг |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
z - z0 |
|
< |
|
z1 - z0 |
|
|
|
|
|
содержится |
в круге |
сходимости, |
а |
значит, |
ряд в |
нем |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
абсолютно сходится. ■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема (о почленном дифференцировании степенных рядов).
|
|
|
|
< R (R > 0) степенного ряда |
¥ |
В круге сходимости |
|
z - z0 |
|
åcn (z - z0 )n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
n=0 |
его сумма f (z) является |
|
аналитической функцией, причем |
производная |
f ¢(z) может быть получена путем почленного дифференцирования (5.1), т.е.
|
¥ |
n-1 |
|
|
|
(z - z0 ) , |
|
||
|
¢ |
|
||
|
|
f (z) = åncn |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
¥ |
(n - p +1)cn (z - z0 )n- p , |
|
|
|
f ( p) (z) = ån(n -1)(n - 2)? |
(5.2) |
||
|
|
n= p |
|
|
откуда с p = |
f ( p) (z0 ) |
. |
|
|
|
|
|
||
|
p! |
|
|
§5.2. Ряд Тейлора
Теорема (о разложении функции в ряд Тейлора).
|
Если функция f (z) |
– аналитическая в области D , z0 Î D , то в любом |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
круге U = |
{z, |
|
z - z0 |
|
< R}Ì D эту функцию можно представить в виде суммы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сходящегося степенного ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
(z - z0 )n , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) = åcn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.3) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x )dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сn = |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(g r = {x , |
|
x - z0 |
|
|
= r < R}). |
|
|
(5.4) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2ip ò |
(x - z |
0 |
)n+1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Доказательство. Пусть z ÎU – произвольная точка; выберем число r |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
так, чтобы |
|
|
|
z - z0 |
|
|
< r < R , и обозначим g r |
= {x , |
|
x - z0 |
|
|
= r}. |
f (x )dx |
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
По |
|
интегральной |
|
|
формуле |
|
Коши, f (z) = |
1 |
|
ò |
|
|
; |
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2ip |
|
x - z |
|
x - z |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ æ |
|
|
|
|
|
|
ö |
n |
¥ |
|
|
|
|
n |
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
z - z0 |
|
|
|
(z |
- z0 ) |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
ç |
|
÷ |
= |
å |
. |
|
||||||||||||||||||||||
x - z0 - (z - z0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
z - z0 |
ö |
|
|
|
|
|
åç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x - z0 )n=0è x - z0 |
ø |
|
|
|
n=0 |
(x - z0 ) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x - z0 )ç1- |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
x - z0 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
f (x ) |
|
1 |
¥ |
f |
(x ) |
|
|
|
(z - z0 )n сходится равномерно по x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ряд |
|
× |
|
= |
|
å |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(x - z0 )n+1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2ip x - z |
2ip n=0 |
|
f (x ) непрерывна, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
на g r по признаку Вейерштрасса, так как |
а, следовательно, |