2.1.2. Условные вероятности отказа и вбр

Вероятности р(t) и q(t) рассмотрены за наработку, отсчитываемую с начала, с нуля времени. Но иногда нужно определить ВБР в течение заданного промежутка времени такого объекта, который некоторое время уже отработал (рис.2.2).

t=0 t t+∆t

∆t

Рис. 2.2.

Теперь t - время, отработанное объектом безотказно с начала работы, а ∆t- время, которое объект должен проработать после момента времени t.

Получили условную вероятность р(t,t+∆t) того, что объект не откажет на интервале от t до t+∆t при условии, что он не отказал на интервале от 0 до t.

р(t,t+∆t) = р{Тt+∆t при условии Тt}. (2-8)

Отметим, что ранее рассмотренные выражения ВБР и вероятности отказа также можно представить в виде вероятностей на интервале

р(t) = р(0,t) и q(t) = q(0,t). (2-9)

Рассмотрим составляющие выражения (2-8) по отдельности. На основании определения (2-1)

р{Тt+∆t} = р(t+∆t), а р{Тt} = р(t). (2-10)

В теории вероятностей есть формула полной вероятности

р(С) = р(А) р(В/А) = р(В) р(А/В) (2-11)

- вероятность сложного события С равна произведению вероятности события А на условную вероятность события В при условии А. Если события А и В не зависят друг от друга, то выражение (2-11) записывается в виде простого произведения

р(С) = р(А) р(В). (2-12)

Мы примем допущение о независимости друг от друга отказов на интервале от 0 до t и на интервале от t до t+∆t. Тогда полная вероятность р(0,t+∆t) того, что объект не откажет на интервале от t=0 до t+∆t определится следующим образом

р(0,t+∆t) = р(0,t) р(t,t+∆t), (2-13)

а искомая условная вероятность р(t,t+∆t) того, что обьект не откажет на интервале от t до t+∆t при условии, что он не отказал на интервале от 0 до t определится отношением

р(t+∆t)

р(t,t+∆t) = --------, (2-14)

р(t)

Отсюда можно определить условную вероятность отказа q(t,t+∆t) на интервале ∆t при условии исправной работы объекта на интервале от 0 до t

р(t+∆t)

q(t,t+∆t) = 1 - р(t,t+∆t) = 1 - -------- =

р(t)

(2-15)

р(t) - р(t+∆t) q(t+∆t) - q(t)

= ----------------- = -----------------.

р(t) р(t)

2.1.3. Статистические оценки вбр и вероятности отказа

Пусть в момент времени t=0 в работу были включены N(0) однотипных исправных испытуемых изделий. В процессе работы изделия будут выходить из строя, каждое в какой-то момент времени. Заранее эти моменты предсказать невозможно, так как на техническое состояние испытуемых изделий влияет очень большое число различных факторов. Сами отказы являются случайными событиями и никаких измерений не имеют. На рисунке 2.3, где этот процесс показан графически, отказы помечены крестиками. Наработка изделий до отказа тоже случайна, но это - случайная величина, так как она имеет измерение (в единицах времени). Если мы зададимся каким-то неслучайным значением времени t, то некоторое количество изделий откажет до этого момента времени, а остальные изделия будут к этому моменту работоспособными. Пусть за время t отказало n(t) изделий. Остались в работе N(t) изделий.