MaltsevSciD

Табл. 3.1. Результаты расчета методом 3× 2ALS

Примечание. Использованы следующие обозначения: nреал, Vреал — исходное значение показателя преломления и суммарного объема частиц при расчете интенсивностей рассеяния; σ , d — ширина и положение максимума исходной лог-нормальной функции распределения частиц по размеру; nрасч — рассчитанный средний показатель преломления частиц; Vрасч — вычисленное значение суммарного объема частиц; ∆ V — относительная ошибка вычислений суммарного объема частиц.

71

Следует отметить, что точность метода 3× 2ALS существенно возрастает при определении в полидисперсных системах суммарных характеристик, таких, как общий объем частиц и средний показатель преломления. Точность вычисления в этом случае обусловливается суммарной ошибкой по всему диапазону, которая близка к нулю так как знак ошибки случайно меняется в зависимости от размера (см. Рис. 3.5.).

Вычисления общего объема и среднего показателя преломления частиц проводились для лог-нормального распределения частиц по размерам с определенным значением показателя преломления. Результаты проведенных нами расчетов представлены в Табл. 3.1.

Из анализа данных видно, что среднее значение показателя преломления и общий объем вычисляются с хорошей точностью. Интерес к этой области размеров и показателей преломления был вызван тем, что метод 3× 2ALS можно использовать при вычислении массовой концентрации частиц жира в молоке с одновременным контролем качества жира по среднему значению показателя преломления (жировые шарики молока: размер 1-15 мкм, показатель преломления 1.45-1.47). Реальная ширина функции распределения по размеру для молочного жира достаточно велика [85, 86]. Использование этого обстоятельства позволит отказаться от процесса стандартизации в подготовке пробы молока (гомогенизации), используемого в современных анализаторах.

3.3. Индикатриса одиночной частицы

Индикатриса одиночной частицы представляет из себя сложную интерференционную картину, содержащую максимальные и минимальные значения интенсивности рассеяния при разных значениях угла наблюдения [87].

3.3.1.Методы расчета индикатрисы

3.3.1.1. Приближенные методы

72

Для получения расчетных формул для вычисления рассеяния одиночной частицей можно воспользоваться решением интегрального волнового уравнения, которое представляет амплитуду поля рассеяния в дальней зоне:

где kR>>1, k = 2π /λ - волновое число дисперсионной среды, R - расстояние от точки наблюдения до частицы вдоль направления рассеяния, V - объем частицы, i и o единичные векторы в направлении распространения падающего и рассеянного излучения соответственно, E(r’) - независимая от времени составляющая электрического поля внутри частицы.

Все известные приближения в теории рассеяния получаются разложением интеграла (3.1) при различных описаниях внутреннего поля E(r’). Нами был рассмотрен случай сферической частицы [88]. Во-первых, представляя внутреннее поле внешним полем падающей волны, получим для форм-фактора f(o,i) следующее выражение:

где χ - угол между направлением поляризации падающего излучения и направлением рассеяния, m – относительный показатель преломления частицы,

α =2π a/λ параметр размера, a – радиус частицы, U2 = 2α sin(θ /2), θ - угол рассеяния. Данное выражение соответствует приближению Релея-Ганса (РГ), которое использовалось в многочисленных работах при расчетах индикатрис частиц с малым размером и малыми относительным показателем преломления и подробно обсуждается в монографии ван де Хюльста [77].

Следующее приближение реализуется при условии ρ>> 1, где ρ= 2α (m – 1). В этом случае форм-фактор приобретает следующий вид:

73

где J1(x) – функция Бесселя первого порядка. Данная зависимость соответствует дифракции Фраунгофера.

Реже применяется приближение аномальной дифракции, которое

где J0(x) – функция Бесселя нулевого порядка.

Более общим приближением является приближение Вентцеля-Крамерса- Бриллюэна (ВКБ). При этом поле внутри частицы заменяется внешним полем, но с учетом набега фазы на отрезке от границы частицы до определенной точки. В результате форм-фактор принимает вид:

Формулы (3.2) - (3.5) можно использовать для вычисления индикатрис одиночных частиц, если выполняются те или иные условия по характеристикам частицы.

3.3.1.2. Точные методы

Самой распространенной теорией, используемой для точного расчета индикатрисы рассеяния одиночной сферической частицы, является теория Ми [89]. За время прошедшее с момента опубликования первой работы по теории Ми, вычислительные алгоритмы получили существенное развитие. В настоящее время программы, позволяющие рассчитывать индикатрисы одиночной частицы, доступны практически любому специалисту и реализованы на базе персонального компьютера. Один из эффективных алгоритмов расчета рассеяния по теории Ми представлен в монографии [75]. Желающие могут

74

обратится к автору данной работы, чтобы получить одну из реализаций алгоритма расчета рассеяния по теории Ми.

Однако объекты, исследуемые с помощью светорассеяния, не ограничиваются только сферическими частицами. Все большее развитие получают методы расчета индикатрисы одиночной несферической частицы. Обзор методов по такому расчету приведен в монографии [90]. В данной работе мы использовали метод Т-матриц для расчета индикатрисы одиночной частицы, имеющей форму эллипсоида. Использовался алгоритм, доступный в Интернет http://www.giss.nasa.gov/~crmim/.

3.3.2.Особенности формирования индикатрисы сферической частицы

3.3.2.1. Формирование экстремумов Понимание законов зарождения и миграции экстремумов индикатрисы

является важным с точки зрения разработки методов решения обратной задачи светорассеяния с использованием индикатрисы. Эти законы можно проследить на примере сферических частиц, так как рассеяние от некоторых несферических частиц можно заменить рассеянием на сферических с эффективным размером [91]. В последнее время было предпринято ряд попыток создать методы решения обратной задачи светорассеяния используя параметры индикатрисы: положение минимумов [92, 93], расстояние между минимумами [94, 95], контраст индикатрисы [96, 28]. Серию работ по этой проблеме проделал Patitsas [97, 98, 99].

Рассмотрим формирование структуры индикатрисы одиночной сферической частицы в области Релея-Ганса. Для этой области характерны следующие особенности формирования структуры индикатрисы. Относительные минимумы наблюдаются при равенстве нулю выражения (3.2), то есть определяются корнями трансцендентного уравнения:

Корни уравнения (3.6) рассчитываются по формуле U22(n) = (n+0.5)2π 2-2,

где n – порядковый номер минимума. Первый корень соответствует U2 ≈ 4.493, а

75

каждый последующий больше предыдущего примерно на π . Относительные максимумы определяются из решения уравнения:

Первый корень соответствует U2 ≈ 5.763, а каждый последующий больше предыдущего примерно на π . Зарождение экстремумов происходит при θ = π с

последующим смещением экстремумов в область малых углов при увеличении α (периодичность чередования зарождения максимумов и минимумов индикатрисы ∆α ≈ π /4).

76

Рис. 3.6. Положение минимумов индикатрис, рассчитанных по Вентцеля- Крамерса-Бриллюэна и Релея-Ганса приближений, и дифракции Фраунгофера. Пунктирная линия определяется критическим углом θ cr.

77

Для дифракции Фраунгофера расположение минимумов на индикатрисе светорассеяния смещено в область меньших углов по сравнению с приближением Релея-Ганса. Из уравнения (3.3) следует, что первый относительный минимум расположен при z = α sin(θ ) ≈ 3.832 и каждый следующий - при значении z больше предыдущего примерно на π ;

соответственно первый относительный максимум расположен при z ≈ 5.136, а

каждый последующий - при значении z больше предыдущего примерно на π .

Следует отметить, что в области малых углов α sin(θ ) = 2α sin(θ /2) и, следовательно в двух крайних случаях (Релея-Ганса и дифракции Фраунгофера) расстояние между соседними экстремумами в координатах z = 2α sin(θ /2)

остается постоянным и примерно равно π .

Так как ВКБ приближение является более общим, то можно проанализировать формирование экстремумов индикатрисы, используя выражение (3.5). Положения первых восьми минимумов, выраженных в координатах 2α sin(θ /2), как функция параметра набега фазы ρ представлены на Рис. 3.6. Данные результаты позволяют разделить всю представленную область на две части, где наблюдается монотонное изменение положения минимумов с изменением параметров частицы. Это разделение показано штриховой линией на Рис. 3.6. Расположение минимумов, соответствующее приближению Релея- Ганса и дифракции Фраунгофера с асимптотами ρ << 1 и ρ >> 1 показаны на Рис. 3.6 как точечные и непрерывные линии соответственно.

Положение минимумов, выраженное в терминах 2α sin(θ /2), монотонно уменьшается с появлением в угле π , тогда как расстояние между соседними минимумами увеличивается с увеличением ρ. Из Рис. 3.6 видно, что асимптоты положения минимумов, посчитанных в приближении ВКБ, совпадают с положениями минимумов, рассчитанных в приближении Релея-Ганса. Что касается дифракции Фраунгофера, то аргумент функции отличается в (m+1)/2

раз при угле источника равным π (разложение выражения (3.5) при условии ρ>> 1), что и демонстрируют результаты, представленные на Рис. 3.6.

78

Рис. 3.7. Положение максимумов и минимумов.

79

Еще один замечательный результат вытекает из анализа поведения минимумов на Рис. 3.6. Можно определить критический угол θ cr, рассчитываемый по эмпирической формуле:

Уравнение (3.8) это уравнение пунктирной линии на Рис. 3.6, которая разделяет область на две части, условно обозначаемые как дипольная и дифракционная. Кроме того, уравнение (3.8) определяет тот угловой интервал (θ

≤ θ cr), где дифракция Фраунгофера может использоваться.

Динамика изменения позиций максимумов имеет некоторые особенности. При увеличении ρ позиции максимумов убывают не монотонно, как в случае минимумов, а совершая колебания возле «направляющих». На Рис. 3.7 показано поведение максимумов и минимумов. Как и в случае минимумов динамика в движении максимумов определяется главным образом параметром ρ (в

малоугловой области θ ≤ θ cr кривые совпадают полностью).

Рассмотрим поведение положение экстремумов индикатрисы однородной сферической частицы, рассчитываемой по точной теории Ми. Будем рассчитывать элемент S11 матрицы рассеяния при длине волны падающего излучения λ =0.6328 µ m, показателе преломления среды m0=1.333. При этом диаметр частицы d изменяется от 1 до 13.3 мкм с шагом 0.1 мкм (параметр размера α изменяется от 6.6 до 88), а показатель преломления частицы m’ изменяется от 1.37 до 1.60 с шагом 0.01 (относительный показатель преломления m изменяется от 1.028 до 1.200).

80