В.В.Поступаев * Физика плазмы, тема 6
Двухжидкостная магнитная гидродинамикадинамика
Кинетическое уравнение с самосогласованным полем
|
df |
a |
|
∂f |
|
q |
υ |
|
∂f |
a = ∑Stab |
||
|
|
= |
|
a + (υ ) fa + |
a |
E + |
× B |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
dt |
∂t |
ma |
c |
|
∂υ |
b |
|||||
Если рассматриваются большие времена τ τsa и большие масштабы L λa , то функция распределения близка к максвелловской
f |
|
≈ f |
|
(r ,υ,t) ≡ n |
|
ma |
3/ 2 |
|
|
ma (υa −ua ) |
2 |
|
a |
M |
|
|
exp |
− |
|
|
|||||
|
|
|
||||||||||
|
|
a |
|
2πTa |
|
|
2Ta |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
и данную компоненту плазмы можно характеризовать na (r ,t), ua (r ,t), Ta (r ,t).
плазма находится в локальном термодинамическом равновесии
В.В.Поступаев * Физика плазмы, тема 6
Моментыкинетического уравнениянения
определим макроскопическую плотность |
|
na ≡ ∫ fadυ |
|
|||||||
потоковую скорость |
ua ≡ |
1 |
|
∫υ fadυ |
υ′ ≡υ −ua |
|||||
n |
|
|||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
ma (υ′)2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
fadυ |
|||
и температуру |
|
2 Ta ≡ n ∫ |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a
Уравнение непрерывности
∂
∫fa∂t
|
∂υ f |
a |
|
∂ q |
|
|
υ |
|
|
||
+ |
∂r |
+ |
|
|
a |
|
c |
|
a |
||
|
∂υ |
m |
|||||||||
|
|
кинетическоеE + уравнение× B f |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
= ∑Stab dυ |
||
|
b |
|
|
|
|
∂dtna + div naua = 0
УравнениедвиженияВ.В.Поступаев * Физика плазмы, тема 6
∂
∫fa∂t
+ |
∂υ f |
a |
|
∂ q |
a |
|
υ |
|
|
||
∂r |
|
|
|
|
|
c |
|
a |
|||
|
|
∂υ |
m |
||||||||
|
|
+ кинетическоеE +уравнение× B f |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
= ∑Stab maυ dυ |
||
|
b |
|
|
|
|
|
∂n u |
α |
|
|
∂ |
|
|
|
υ × B |
∂υ |
|
|
dυ = ma ∑∫Stabυα dυ |
|||
ma |
a |
a, |
+ ma |
|
|
∫υαυβ |
fadυ − qa ∫ E + |
|
fa |
α |
|
|||||
∂t |
∂x |
c |
∂υ |
β |
||||||||||||
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
β |
|
b≠a |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=δαβ |
Ra,α |
||
|
здесь α и β – компоненты вектора скорости |
|
|
|
||||||||||||
|
Rab ≡ ma ∫Stabυa dυa |
- сила трения со стороны частиц b, Ra = ∑Rab |
||||||||||||||
|
из свойства интеграла столкновений |
Rab = −Rba |
b≠a |
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d p |
|
|
|
|
|
|
при |
|
ua −ub |
|
υTa ,υTb |
Rab = F ≡ |
|
= −νabmana (ua −ub ) |
||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
далее разбираемся с 
В.В.Поступаев * Физика плазмы, тема 6
Уравнениедвижения (2))
Παβ ≡ ∫maυαυβ fadυ
- тензор плотности потока импульса,
переносимого компонентой a (поток α - импульса в направлении β через единичную площадку).
Παβ ≡ ∫ma (uα +υα′ )(uβ +υβ′ ) fadυ = manauαuβ + ma ∫υα′υβ′ fadυ
тензор давления - pαβ
при fa = fM |
p |
= n T δ |
αβ |
≡ p δ |
αβ |
|
αβ |
a a |
a |
||
|
pa - давление компоненты a (скалярное) |
||||
при fa ≠ fM |
pαβ = naTaδαβ +παβ = paδαβ +παβ |
||||
παβ - тензор вязких напряжений для частиц а
В.В.Поступаев * Физика плазмы, тема 6
Уравнениедвижения (3))
тензор плотности потока импульса не равен нулю даже при u = 0 , почему?
|
∂n u |
|
α |
|
∂Παβ |
|
|
|
∂n |
|
|
∂n u |
a, |
β |
|
|
|
|
∂u |
α |
|
|
|
∂u |
α |
|
∂pαβ |
|
|||||||
m |
a |
a, |
+ |
|
|
= m u |
|
a + m u |
|
a |
|
|
+ m n |
|
|
|
a, |
|
+ m n u |
|
|
|
a, |
+ |
|
= |
|||||||||
∂t |
∂x |
|
a,α ∂x |
|
|
|
|
|
∂t |
a,β ∂x |
∂x |
||||||||||||||||||||||||
a |
|
|
a |
a,α |
∂t |
a |
|
|
|
|
|
a a |
|
|
|
a a |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 (в силу уравнения непрерывности) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂p |
|
∂παβ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= mana |
|
+ (ua ) ua,α + |
a + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂xβ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂xα |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение движения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dua |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ua × B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
mana |
= −(naTa ) + qana E |
+ |
|
|
+ Ra − div |
παβ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||