В.В.Поступаев * Физика плазмы, тема 5
Функция распределенияя
самое полное описание плазмы
def |
dN |
|
fa (r,υ,t) = |
|
|
d r dυ |
|
|
|
|
a – сорт частиц (электроны, ионы, атомы …..)
dN – число частиц в фазовом объёме d r dυ, dN 1
Через функцию распределения можно выразить макроскопические параметры:
плотность частиц: |
na (r,t) = ∫ fa (r,υ,t)dυ |
плотность тока: |
ja (r,t) = qa ∫υ fa (r,υ,t)dυ … и т.п. |
Частицы изменяют положение и скорость → функция распределения изменяется
|
|
dυ |
|
q a |
|
|
|
|
d r |
=υ |
= a = |
E + υ |
× B |
||||
|
|
|||||||
|
|
|
||||||
dt |
dt |
|
|
|
c |
|
||
|
ma |
|
||||||
В.В.Поступаев * Физика плазмы, тема 5
Самосогласованное и случайноеое полеполе
в уравнении
поля можно разбить на две составляющие:
E = E + Eсл |
B = B + Bсл |
- получается усреднением по объёму с большим числом частиц (самосогласованное поле) плавное изменение скорости
- случайное поле, создаваемое отдельными частицами изменение скорости скачком (столкновения)
∂fa |
= − |
∂Xn fa |
+ |
∑ |
Stab |
|
|
||||||
∂t |
|
∂X |
n |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
уравнение непрерывности |
|
интеграл столкновений |
||||
в шестимерном пространстве |
|
с частицами сорта b |
||||
n = 1…6, X = (r,υ)
В.В.Поступаев * Физика плазмы, тема 5
Кинетическое уравнениее
∂X |
|
f |
a = |
∂υ f |
a + |
∂a f |
a = |
∂υ f |
a + |
∂ |
q |
|
υ |
× |
B |
|
|
= |
|
n |
|
|
|
|
|
a E |
+ |
f |
|
||||||||
∂Xn |
|
∂r |
|
∂υ |
|
∂r |
|
|
|
|
c |
|
|
|
a |
|
||
|
|
|
|
∂υ ma |
|
|
|
|
|
|||||||||
(далее угловые скобки - знак усреднения опускаем)
|
|
|
q |
|
υ |
∂f |
a |
|
q |
|
∂ υ × B |
|
|
|||
= (υ ) f |
a |
+ |
a |
E + |
|
× B |
|
+ |
a |
|
|
|
f |
a |
||
m |
c |
∂υ |
m c |
|
∂υ |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так как |
|
ε |
|
|
υ |
B |
=δ |
|
|
ε |
|
B ≡ 0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
∂υa |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
αβγ |
|
β γ |
|
|
αβ |
|
αβγ γ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
df |
a |
|
∂f |
|
|
|
q |
|
υ |
|
|
|
∂f |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|||
|
|
= |
|
a + (υ ) f |
|
+ |
a |
E + |
c |
× B |
|
|
|
a |
= |
St |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
dt |
∂t |
a |
|
m |
|
|
|
|
∂υ |
|
|
|
ab |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|||
кинетическое уравнение с самосогласованным полем
В.В.Поступаев * Физика плазмы, тема 5
Интегралстолкновений
физический смысл интеграла столкновений:
количество частиц, которые появляются или исчезают в единицу времени в единице шестимерного фазового пространства в результате близких столкновений с другими частицами
Некоторые модели интеграла столкновений:
• бесстолкновительное кинетическое уравнение (уравнение Власова)
Stab ≡ 0 |
dfa |
= 0 - теорема Лиувилля |
||||
dt |
||||||
|
|
|
|
|
||
• тау-приближение |
|
|
fa − fa,максв |
|
|
|
Stab = −νab ( fa − fa,максв) = − |
, |
τab = const |
||||
τab |
||||||
|
|
|
|
|
||
• в общем случае Stab – сложная интегро-дифференциальная функция от fa и fb
В.В.Поступаев * Физика плазмы, тема 5
Свойстваинтеграла столкновенийвений
сохранение числа частиц
∫Stabdυa = 0
сохранение импульса
∫maυa Stabdυa + ∫mbυbStbadυb = 0
сохранение энергии
∫ma2υa2 Stabdυa + ∫mb2υb2 Stbadυb = 0
если St ≠ 0, то энтропия плазмы возрастает
В.В.Поступаев * Физика плазмы, тема 5
Формуладля электропроводностиности
Используем кинетическое уравнение
• тау-приближение, нет магнитного поля, водородная плазма → e, i
Stei = −νei ( fe − f0 ) = − feτ− f0 , τei = const
ei
• кинетическое уравнение для этой задачи имеет вид:
|
df |
a |
|
∂f |
a |
|
|
|
|
|
q |
a |
|
|
|
|
υ |
|
|
|
|
|
|
∂f |
a |
|
∑ |
|
|
|||||
|
|
= |
|
+ (υ ) f |
|
+ |
|
|
|
|
E |
+ |
c |
|
× B |
|
|
= |
St |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
dt |
∂t |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂υ |
|
|
ab |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|||
в силу стационарности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eE |
|
∂f |
= |
|
f0 − f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
∂υ |
|
|
τ |
ei |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
пусть f = f0 + f1 |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eE ∂f1 |
|||||||||
пренебрегаем произведением малых сомножителей |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
m |
|
∂υ |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eE |
∂f0 |
|
|
|
|
|
f1 |
|
|
|
|
|
e |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Тогда: |
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂υ |
|
|
|
|
τ |
ei |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В.В.Поступаев * Физика плазмы, тема 5
Формуладля электропроводностиости (2)(2)
Отсюда:
|
|
j = −e∫υ f (υ)dυ = − e∫υ f1 (υ)dυ = eτei |
eE |
∫ f0 |
(υ)dυ = |
|
ne2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
τei E |
|
|||||||||||||||||||||||||
m |
|
m |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
e |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ne2 |
|
|
T 3/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ранее получали: |
|
|
|
|
σ = m ν ≈ |
πΛ |
e |
2 |
|
|
|
см. лекцию 2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
e |
me |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Смысл приближения слабого электрического поля: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
условие |
f1 << f0 |
означает, что: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
eE ∂f |
|
|
|
f |
|
|
∂f |
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
eE |
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
ei |
|
|
|
|
|
eEλei |
|
|
||||||||||||
|
|
|
= − |
|
|
1 |
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<<1 |
или |
|
|
|
<<1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
m ∂υ |
τ |
|
∂υ |
υ |
|
|
|
m |
υ |
|
|
T |
||||||||||||||||||||
|
|
ei |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
e |
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|||||
Энергия, приобретаемая электроном в электрическом поле на длине свободного пробега, должна быть намного меньше тепловой