mu1271_1

Lк = L1·

1 - m2

= 0.503·

1 - 0.62

= 0.134 Гн ,

4m

4 × 0.6

L1`/2 = m·L1/2 = 0.15 Гн,

C2`= m·C2 = 12.094 мкФ ;

при параллельной коррекции (рис.4.5.б) – соответственно:

2Cк = 2С2·

1 - m

2

= 2· 20.156· 0.267 = 10.75 мкФ,

4m

L1`/2 = m·L1/2 = 0.15 Гн,

C2`= m·C2 = 12.094 мкФ.

Lк = L·

4m

; Cк = С ·

4m

; L` = L /m , C `= C / m .

1 - m2

1 - m2

По

заданным параметрам определить частоту среза fср, номинальное

характеристическое сопротивление ρ фильтра,

сопротивления Zc согласованной нагрузки и

2С1

2С1

коэффициент затухания а на каждой из частот

L2

входного напряжения, если L=126.7 мГн; С=5 мкФ.

Построить графики зависимости U2(f) для

случаев:

Рис. 4.6

а) фильтр согласован с нагрузкой во всём

ω0 =

1

=

1

= 628 рад/с,

fср= ω0/2p= 100 Гц,

2

2 LC

0.1267 × 5 ×10−6

0.1267 / 5 ×10−6

ρ = ZcT(ω= ∞) =

L / C =

= 159.2 Ом.

в зоне затухания:

ch а =

2

−1,

b = - π ,

(4.2)

ξ 2

в зоне прозрачности:

а = 0,

cos b = 1 – 2/ ξ 2 ,

(4.3)

а также ZcT = ρ ·

1 −

1

и

U2 = U1· e – а .

(4.4)

ξ 2

По (4.2) - (4.4) рассчитываем

все необходимые величины,

сводя их в

Таблица 4.6

Частота

ξ

Zнг = ZcТ, Ом

а, Нп

а, дБ

b, град

U1, В U2, В

25 Гц

0.25

-j 616.6

4.13

35.85

- π = - 1800

10

0.16

75 Гц

0.75

-j 140.4

1.59

13.82

- π = - 1800

5

1.02

150 Гц

1.5

118.66

0

0

- 83.620

2

2

В таблице рассчитан также сдвиг выходного сигнала по фазе b, что

позволяет записать мгновенное значение напряжения u2(t).

3. При неизменном сопротивлении нагрузки, например, при Zнг = ρ = const,

целесообразно исходить из уравнения четырехполюсника в форме А:

U1= А ·U2 + В ·I2 = А ·U2 + В ·

1 U2 ,

Z нг

1

U

2

1

U2 = А + В / Z

· U1 ,

Кu = U

=

А + В / Z

.

нг

1

нг

Окончательное выражение Кu

для Т-схемы ВЧ-фильтра сводится к виду:

U

2

=

1

.

(4.1)

Кu =

U1

1 − 4 /ξ 4 + 4 /ξ 6

U2/U1

На

рис.4.7

построены

графики

зависимостей

U2/U1

2,0

как по данным табл. 4.6, для

при Zнг=ρ =const

случая

согласованной

1,5

нагрузки, так и по выражению

(4.1)

для

случая

1,0

несогласованной нагрузки Zнг

= ρ = const. Во втором случае

при

ξ

= ω/ω0

=

1.225

0,5

напряжение

на

выходе

при Zнг согл.

ξ

фильтра

имеет

всплеск

до

1.57U1.

0

1

2

3

Рис. 4.7

ёмкостью

4 мкФ построить высокочастотный фильтр, определить частоту

среза fср,

характеристическое сопротивление на двух частотах Zc(0,5 fср) и

Решение

1. Схема фильтра при заданных условиях представлена на рис.4.8.

Здесь 2r = 200 Ом,

С = 4 мкФ. Это

конструктивные параметры. Частоту среза

С

фильтра считаем через расчётные параметры:

2r

2r

r = 100 Ом, С = 4 мкФ:

ωср =

1

1

Рис. 4.8

4 r C =

4 ×100 × 4 ×10−6 = 625 рад/с,

fср = ωср /2π ≈ 100 Гц.

2. Выражения для рабочих характеристик фильтра

а(ω),

b(ω), Zc (ω)

получаем так же, как и у

L,С-фильтров, через

запись

А-

коэффициента

конкретной схемы четырехполюсника. Приведём конечные выражения [4]:

ВЧ-фильтр

sh a =

1

+

1

1 +

1

, или

sh a ≈

1

; (4.2)

8(ωrC)2

2ωrC

(4ωrC)2

2ωrC

Графики

зависимости

а(f)

3

a, Нп

фильтра,

построенные

по

(4.2),

представлены

на

рис.4.9 (1 –

по

точному

выражению;

2

–

по

приближенному выражению).

2

Для симметричного П-

1

образного фильтра:

1

Zcп =

Z х

× Z к

=

r

1

fср

2

f, Гц

jωC ×

1

;

(4.4)

0

1 +

200

300

400

25

100

4 jω rC

Рис. 4.9

По (4.4) для частот 50

Гц

и

200 Гц рассчитаем сопротивления согласованной нагрузки фильтра:

Zcп(50 Гц) =

100

×

1

=

j314 × 4 ×10−6

1

1 +

4 j314 ×100

× 4 ×10−6

= 189.06· e -j 13.34 = 183.96 –

j 43.61

Ом.

( ω rC )2

+

ω rC

1 + (

ω rC

ωrC

sh a =

2

)2 ,

или sh a ≈

;

8

4

2

65

Таблица 5.1

Первая цифра

варианта

U0, B

U1m, B

U3m, B

Ψ1, град

Ψ3, град

0

60

220

70

-20

90

2

2

1

55

200

65

45

-90

2

2

2

50

180

60

-45

60

2

2

3

48

160

50

20

-60

2

2

4

40

140

48

60

-20

2

2

5

36

127

40

-60

20

2

2

6

32

120

36

15

-30

2

2

7

30

110

32

-15

30

2

2

8

24

100

30

30

-100

2

2

9

20

127

25

-30

100

2

2

A

А1

a

Uл

К

V3

V1

А4

Za

V2

V4

O1

O

C

B

Zc

Zb

b

c

А2

А3

Рис. 5.1

Первая цифра

U1m,

Ψ1,

U3m,

Ψ3,

Вторая цифра

Za=Zb,

Zс,

варианта

B

град

B

град

варианта

Ом

Ом

0

15

110

-90

0

12+j5

-j10

220 2

66

Продолжение таблицы 5.2

1

300

-15

100

2

90

1

4-j27

j10

2

127

30

100

-60

2

6+j9

3-j4

2

3

200

-30

80

60

3

6-j8

j5

2

4

200

45

90

-30

4

-j12

8+j6

2

5

250

-45

70

30

5

5-j12

j6

2

6

110

60

80

-45

6

4+j3

6-j27

2

7

150

-60

60

45

7

-j15

9+j5

2

8

150

90

70

-15

8

8+j8

-j18

2

9

220

-90

50

15

9

j10

5-j12

2

5.3. Типовые примеры решения задач

u12

Пример 5.1. На вход цепи рис.5.2

1

r1

2

подано

напряжение

u=50+200sin(ωt+45o)+100sin(3ωt-60o) B.

Cопротивления

элементов цепи токам

C1

i1

r2

основной

гармоники,

соответственно,

u(t)

i3

r3

1

= 15 Ом;

равны r1=r2=r3=8 Ом;

i2

ωC1

L2

u23

C3

1

ωL2=3 Ом;

= 15 Ом.

ωC3

3

Определить

мгновенные

и

Рис. 5.2

действующие значения

всех токов,

а

также

напряжений u12 и

u23. Рассчитать коэффициент мощности цепи и

построить график i1(t), если основная частота тока

f=50 Гц.

нулевой гармоники

1

= ∞ , то токи этой гармоники замыкаться в цепи не

ωC

1

67

Z

( 1 ) = r -

j

= 8 - j15 Ом; Z ( 1 ) = r + jωL = 8 + j3 Ом; Z ( 1 ) = r -

j

= 8 - j15 Ом;

1

1

ωC1

2

2

2

3

3

ωC3

(1)

= Z

( 1 )

+

Z (21 ) × Z (31 )

= 15.24 - j15.57 = 21.79e

− j 45.6O

Z

1

Ом.

Z

(21 ) + Z (31 )

Комплексные амплитуды токов и напряжений

( 1 )

U

( 1 )

200e

j 45O

I 1m =

m

=

= 9.18e j 90.6

O

A,

Z

( 1 )

21.79e− j 45.6O

I (21m) = I 1( m1 )

Z (31 )

= 7.8e j 65.6O

A,

Z (21 ) + Z (31 )

I (31m)

= I 1( m1 )

Z (21 )

= 3.92e j148O

A,

Z (21 ) + Z (31 )

U 12( 1m)

= I 1( m1 ) × Z 1( 1 ) = 156.1e j 28.7O

B,

U (1)23m

= I (1)2m × Z (1)2 = 66.7e j86.1O

B.

Z

( 3 ) = r -

j

= 8 - j5 Ом;

Z ( 3 ) = r + j3ωL = 8 + j9 Ом;

1

1

3ωC1

2

2

2

Z ( 3 )

= r -

j

= 8 - j5 Ом;

3ωC3

3

3

(3)

= Z

( 3 )

+

Z (23 ) × Z (33 )

= 14.9 - j4.72 = 15.61e

− j17.6O

Z

1

Ом.

Z (23 ) + Z (33 )

I 1(3)m

=

U (m3)

=

100e j 60O

= 6.41e j 77.6O

A,

O

Z (3)

15.61e− j17.6

I (3)2m

= I 1(3)m

Z 3(3)

= 3.66e j31.6O

A,

Z (23)

+ Z 3(3)

I 3(3)m

= I 1(3)m

Z (23)

= 4.68e j111.9O

A,

Z (23)

+ Z 3(3)

U 12(3)m = I 1(3m)

× Z 1(3) = 60.42e j 45.6O

B,

U (3)23m = I (3)2m × Z (3)2

= 44.12e j 79.9O

B.

I1

= I1( 0 )2 +

I1(m1 )2 + I1(m3 )2

= 7.92 A,

2

( 1 )2

( 3 )2

I

= I ( 0 )2

+

I2m

+ I2m

= 6.1 A,

2

2

2

I

= I ( 0 )2

+

I3( m1 )2 + I3( m3 )2

= 4.32 A,

3

3

2

( 1 )2

( 3 )2

U12 = U12( 0 )2 +

U12m

+ U12m

= 128.5 B,

2

U 23 = U 23( 0 )2 +

U

( 1 )2

+ U

( 3 )2

= 56.5 B.

23m

23m

2

=947.4 Вт,

S=UI1= U ( 0 )2 +

U m( 1 )2 + U m( 3 )2

·I1=1313 BA,

2