Расчет балок на прочность.

Расчет по допускаемым напряжениям на прочность при изгибе.

– при симметричном сечении

Проверка прочности по предельным состояниям.

– максимальный изгибающий момент от расчетных нагрузок.

Р_р=Р_н×n

n – коэффициент перегрузки.

– нормативная нагрузка.

Р_р – расчетная нагрузка.

– коэффициент условия работы.

Если материал работает неодинаково на растяжение и сжатие, то прочность проверяется по формулам:

где R_p и R_сж – расчетное сопротивление на растяжение и сжатие

Расчет по несущей способности и учетом пластической деформации.

В предыдущих методах расчета прочность проверяется по максимальны напряжениям в верхних и нижних волокнах балки. При этом средние волокна оказываются недогруженными.

Оказывается, если нагрузку увеличивать дальше, то в крайних волокнах напряжение дойдет до предела текучести σ_т ( в пластичных материалах), и до предела прочности σ_nч ( в хрупких материалах). При дальнейшем увеличении нагрузки хрупкие материалы разрушатся, а в пластичных материалах напряжения в крайних волокнах далее не возрастают, а растут во внутренних волокнах. (см. рис.)

Несущая способность балки исчерпывается, когда по всему сечению напряжения достигнут σ_т.

		W пл= S1+S2 W пл – пластический момент сопротивления - статический момент растянутой и сжатой зон относительно нейтральной оси. Мпред = σт × W пл где – коэффициент надежности по материалу. где R - расчетное сопротивление.
	- проверка прочности.

Для прямоугольного сечения:

W пл=S1+S2=bh2 /4 W пл=bh2 /4 - для прямоугольного сечения. W =bh2 /6 – обычный момент сопротивления. W пл=1,5W

Примечание: для прокатных профилей (швеллер и двутавр) пластический момент Wnл=(1.1÷1,17)×W

Касательные напряжения при изгибе балки прямоугольного сечения. Формула Журавcкого.

Так как момент в сечении 2 больше момента в сечении 1, то напряжение σ₂>σ₁=>N₂>N_1.

В этом случае элемент abcd должен переместиться влево. Этому перемещению препятствуют касательные напряжения τ на площадке cd.

- уравнение равновесия, после преобразования которого получается формула для определения τ: - Формула Журавского

где Q - поперечная сила, Sотс - статический момент отсеченной части относительно нейтральной оси, J-момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси, b - ширина балки на уровне y.

Распределение касательных напряжений в балках прямоугольного, круглого и двутаврового сечений.

1. Прямоугольное сечение:

- формула для сечения на расстоянии у0 от нейтральной оси.

2.Круглое сечение.

- формула для сечения на расстоянииу0 от нейтральной оси. - формула для сечения под углом α.

3. Двутавровое сечение.

				Для стенки двутавра касательные напряжения вычисляют по формуле:
	Для полки: условно вертикальные касательные напряжения определяют по формуле:
			В полках двутавров возникают касательные напряжения, направленные горизонтально:
		На рисунке показан общий характер распределения τ в сечении двутавра.

Главные напряжения при изгибе. Проверка прочности балок.

Выделим из балки участок, на который действует максимально поперечная сила Qmax и изгибающий момент Mmax. Наиболее опасными точками являются сечение A и точка Б. Прочность проверяется по напряжениям в этих точках. На практике обычно ограничиваются проверкой сечения A:

[σ_сж]

Примечание: при расчете по предельным состояниям вместо [σ_сж] и [σ_р] в формулы ставятся R_cж и R_p – расчетные сопротивления материала при сжатии и растяжении.

Если же балка короткая, то проверяют точку Б:

где R_срез – расчетное сопротивление материала на срез.

В точке D на элемент действует нормальные и касательные напряжения, поэтому в некоторых случаях их совместное действие вызывает опасность для прочности. В этом случае элемент D проверяют на прочность используя главные напряжения.

В нашем случае: , следовательно:

Используя σ ₁ и σ₂ по теории прочности проверяют элемент D.

По теории наибольших касательных напряжений имеем: σ ₁ - σ₂≤R

Примечание: точку D следует брать по длине балки там, где одновременно действуют большие M и Q.

По высоте балки выбираем такое место, где одновременно действуют значения σ и τ.

Из эпюр видно:

1. В балках прямоугольного и круглого сечения отсутствуют точки, в которых одновременно действуют большие σ и τ. Поэтому в таких балках проверка точки D не делается.

2. В балках двутаврового сечения на границе пересечения полки со стенкой (т. А) одновременно действуют большие σ и τ. Поэтому они проверяются на прочность в этой точке.

Примечание:

1. В прокатных двутаврах и швеллерах в зоне пересечения полки со стенкой сделаны плавные переходы (закругления). Стенка и полка подобраны так, что точка A оказывается в благоприятных условиях работы и проверка прочности не требуется.

2. В составных (сварных) двутавровых балках проверка точки А необходима.