Задача 4

ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Дискретными случайными величинами называются случайные величины, принимающие только отдаленные друг от друга значения, которые можно заранее перечислить.

2.4.1. Закон распределения

Законом распределения случайной величины называется соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Рядом распределения дискретной случайной величины называют перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей.

Функцией распределения дискретной случайной величины называют функцию:

,

определяющую для каждого значения аргумента x вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее этого x.

2.4.2. Биномиальный закон распределения

Биномиально распределенной с параметрами n и p дискретной случайной величиной Х называется величина, характеризующая число появлений события А в n независимых испытаниях Бернулли, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Вероятность того, что Х примет свое значение k задается формулой Бернулли, т.е.

,

где q = 1 - p; k = 0, 1, ..., n.

2.4.3. Математическое ожидание дискретной случайной величины

,

где - значение дискретной случайной величины;- вероятности принятия случайной величиной X значений.

Если случайная величина принимает счетное множество возможных значений, то:

.

Математическое ожидание числа наступлений события в n независимых испытаниях:

,

где p - вероятность наступления события.

2.4.4. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины

Дисперсия дискретной случайной величины:

или .

Дисперсия числа наступлений события в n независимых испытаниях

,

где p - вероятность наступления события.

Среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины:

.

2.4.5. Свойства математического ожидания

1. M(С) = C, где С - постоянная величина.

2. M(СX) = CM(X) , где С - постоянный множитель.

3. M(XY) = M(X)  M(Y), где X, Y - независимые случайные величины.

4. M(X+Y) = M(X) + M(Y).

2.4.6. Свойства дисперсии

1. D(C) = 0, где С - постоянная величина.

2. , где С - постоянный множитель.

3. D(X+Y) = D(X) + D(Y), где X, Y - независимые случайные величины.

4. D(C+X) = D(X), где С - постоянная величина.

5. D(XY) = D(X)D(Y) + , где X, Y —независимые случайные величины.

2.4.7. Пример выполнения задачи

Задача 1. В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны 2 детали. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины Х - числа нестандартных деталей среди двух отобранных.

Решение. Дискретная случайная величина Х - число нестандартных деталей среди двух отобранных принимает следующие значения:

х₁=0 - все детали стандартны из двух отобранных;

х₂=1 - одна из двух отобранных деталей не стандартна;

х₃=2 - обе отобранные детали нестандартны. Так как вероятность отбора нестандартной детали p=0,1 постоянная, то для определения вероятностей в соответствии с биномиальным законом распределения воспользуемся формулой Бернулли:

P_n(k)=p^kq^n-k , где q=1- p=0,9.

P₂(0)= C(0,1)⁰ (0,9)²=0,81,

P₂(1)=C0,10,9=0,18,

P₂(2)=C(0,1)²(0,9)⁰=0,01.

Проверяем условие нормировки =1.

Имеем, что 0,81+0,18+0,01=1.

Искомый биномиальный закон распределения дискретной случайной величины Х имеет вид:

х	0	1	2
p	0,81	0,18	0,01

По формуле:

.

Тот же результат можно было получить, используя формулу

для нахождения математического ожидания биномиально распределенной дискретной случайной величины X.

n = 2 - число испытаний;

p = 0,1 - вероятность успеха в каждом испытании;

M(X) = 2  0,1 = 0,2.

Дисперсию найдем по формуле:

.

По формуле для дисперсии биномиального закона:

.

Задача 2. В урне лежат 5 шаров. Из них 3 белых и 2 черных. Построить закон распределения случайной величины Х – числа белых шаров среди 2 отобранных.

Решение. Среди 2 отобранных шаров белых может быть 0,1 или 2. Значит, значения случайной величины . Вероятность того, чтонайдем как вероятность того, что среди 2 отобранных шаров белых будет 0, а черных 2. По классическому определению вероятности.

Здесь - число способов, сколькими можно из 5 шаров выбрать любые 2 – общее число исходов эксперимента.

- число способов выбрать 0 белых шаров среди 3 белых.

- число способов выбрать 2 черных шара среди 2 черных.

Тогда .

Вероятность того, что найдем аналогично

Проверяем условие нормировки . Тогда, закон распределения Х примет вид

х	0	1	2
p	0, 1	0,6	0,3

Задача 3. Дискретные случайные величины X и Y независимы и заданы распределениями:

X	0	1			Y	1	2
p	0,4	0,6			p	0,2	0,8

Найти распределение случайной величины Z = X + Y.

Решение. Найти закон распределения дискретной случайной величины, значит перечислить все ее возможные значения и рассчитать вероятности, с которыми она эти значения принимает. Значения случайной величины Z получаются путем сложения всех возможных попарных комбинаций значений случайных величин Х и Y.

0+1=1 0+2=2 1+1=2 1+2=3

Таким образом, Z принимает три возможных значения: 1, 2 и 3. Найдем вероятности принятия величиной Z этих значений.

Так как Z принимает свое значение 1, тогда и только тогда, когда Х принимает значение 0, а Y - значение 1, то случайное событие Z=1 является произведением независимых (из-за независимости Х и Y по условию) случайных событий Х=0 и Y=1. Используя теорему умножения вероятностей независимых событий имеем:

P(Z=1)=P{(X=0)(Y=1)}=P(X=0)P(Y=1)=0,40,2=0,08=.

Так как Z принимает свое значение 2 либо когда X=0, а Y=2, либо когда X=1, а Y=1, причем одновременно это происходить не может, то событие Z=2 – является суммой несовместных событий (X=0)(Y=2) и (X=1)(Y=1), и его вероятность можно найти с помощью теоремы сложения вероятностей несовместных событий:

P(Z=2)=P{(X=0)(Y=2)+(X=1)(Y=1)}=P{(X=0)(Y=2)}+P{(X=1)(Y=1)}=

=P(X=0)P(Y=2)+P(X=1)P(Y=1)=0,40,8+0,60,2=0,32+0,12=0,44=.

Рассуждая аналогично, найдем:

P(Z=3)=P{(X=1)(Y=2)}=P(X=1)P(Y=2)=0,60,8=0,48=.

Проверим выполнение условия нормировки: =0,08+0,44+0,48=1.

Таким образом, искомый ряд распределения имеет вид:

Z	0	1	2
p	0,08	0,44	0,48