Задача 2 теоремы сложения и умножения вероятностей. Формулы полной вероятности и байеса.

2.2.1. Основные понятия

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. В противном случае они называются совместными.

Полной группой называют совокупность событий, объединение которых есть событие достоверное.

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу.

События называются зависимыми, если вероятность появления одного из них зависит от наступления или ненаступления других событий.

События называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от наступления или ненаступления других.

2.2.2 Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Р(A+B)=Р(A)+Р(B),

где А, В - несовместные события.

Следствие 1. , где- попарно-несовместные события.

Следствие 2: Если A₁ ,A₂ ... , A_n полная группа событий попарно-несовместные, то

.

Следствие 3. Если А и противоположные события, то

Р(А)+Р()=1

2.2.3. Теорема умножения вероятностей независимых событий

,

где А и В независимые события.

Следствие 1. , где- независимые в совокупности события.

Следствие 2. Вероятность появления хотя бы одного из событий , независимых в совокупности

Если

2.2.4. Теорема умножения вероятностей зависимых событий

Р(АВ)=Р(А)Р_A(B),

где Р_A(B) - вероятность наступления события В при условии, что произошло событие А; А и В- зависимые события.

Следствие.

Р(A₁A₂...A_n)=Р(A₁)*Р_А1 (A₂)*Р_А1А2.(А₃)....Р_А1А2…А_n-1. (A_n),

где A₁ ,A₂ ,..., A_n - зависимые события.

2.2.5. Теорема сложения вероятностей совместных событий

,

где А и В - совместные события.

2.2.6. Формула полной вероятности

,

где B₁, B₂ ,..., B_n - полная группа попарно несовместных событий.

2.2.7. Формула Байеса

,

где B₁, B₂, ..., B_n - полная группа событий.

2.2.8. Примеры решения задач

Задача 1. В читальном зале имеется 6 учебников по теории вероятностей , из которых три в переплете . Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.

Решение. Рассмотрим следующие события:

А₁- первый взятый учебник в переплете;

A₂- второй взятый учебник в переплете.

Событие, состоящее в том, что оба взятых учебника в переплете . События А₁ и А₂ являются зависимыми, так как вероятность наступления события А₂ зависит от наступления события А₁. Для решения указанной задачи воспользуемся теоремой умножения вероятностей зависимых событий:

.

Вероятность наступления события А₁ p(A₁) в соответствии с классическим определением вероятности:

P(A₁)==0,5.

Вероятность наступления события А₂ определяется условной вероятностью наступления события А₂ при условии наступления события А₁ , т.е. (A₂)==0,4.

Тогда искомая вероятность наступления события:

P(A)=0,50,4=0,2.

Задача 2. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания первого стрелка-0,9; второго стрелка-0,8. Найти вероятность того, что:

а) в мишень попадет только один стрелок;

б) мишень будет поражена.

Решение: а) Пусть событие А - в мишень попадет только один стрелок. Введем события: - в мишень попадет первый стрелок;- в мишень попадет второй стрелок. Согласно условию:;.

Заметим, что событие А означает следующее: в мишень попадет только первый стрелок (то есть первый попадет и второй не попадет) или в мишень попадет только второй стрелок (то есть второй попадет и первый не попадет). Тогда . Событияинесовместны, так как имеют множители, являющиеся противоположными событиями. Значит, к ним применима теорема сложения вероятностей для несовместных событий. Событияинезависимы, значит, наступлениене изменяет вероятности. Из этого следует, что и ненаступление(то есть наступление) не меняет вероятности. Значит, независимыи,и, и к этим парам событий применима теорема умножения независимых событий. Учитывая, что, имеем:

=

=0,9(1-0,8)+(1-0,9)0,8=0,90,2+0,10,8=0,18+0,08=0,26.

б) Пусть событие В - мишень будет поражена. Это произойдет, если в мишень попадет хотя бы один стрелок: или только первый, или только второй, или оба (и первый, и второй). Значит . Рассуждая аналогично пункту а), имеем:

Найти вероятность события В можно, используя теорему сложения совместных событий и. Согласно определению суммы событий.

=

=0,9+0,8-0,90,8=1,7-0,72=0,98.

Найти вероятность события В можно, используя подход “от противного”. Событием, противоположным к В, является событие - ни один стрелок не попадет в мишень. Тогда имеем:

Задача 3. Имеется три урны с различным составом шаров в каждой. В первой - 5 белых и 5 черных, во второй - 3 белых и 3 черных, в третьей - 2 белых и 4 черных. Из случайно выбранной урны извлекается шар. Он оказался белым. Определить вероятность того, что он был вынут из третьей урны.

Решение: Введем обозначения для рассматриваемых событий.

Пусть А - извлечен белый шар. - выбрана первая урна.

- выбрана вторая урна. - выбрана третья урна.

- вероятность извлечения белого шара из первой урны.

- вероятность извлечения белого шара из второй урны.

- вероятность извлечения белого шара из третьей урны.

Определим вероятности, соответствующие этим событиям . Так как все урны одинаковы, то

.

, ,.

Тогда, используя формулу полной вероятности, получим:

.

Пересчитаем вероятность третьей гипотезы с условием, что произошло рассматриваемое событие, используя формулу Байеса.

.