Постановка задачи.
Дано дифференциальное уравнение первого порядка: у′ = f(x,y) (1).
Требуется найти решение этого уравнения на отрезке [x0, xmax], удовлетворяющее начальным условиям: у(х0) = у0 (2).
В вычислительной практике более предпочтительным являются численные методы нахождения приближённого решения в фиксированных точках: х0<x1<…<xn=xmax.
Большинство
численных методов решения задачи (1) с
начальными условиями (2) можно привести
к виду:
(3).
― при r = 1, а1 = 1, b0 = 0 методы вида (3) называются одношаговыми ( чтобы найти yi+1
требуется информация только о предыдущей точке (xi, yi)).
― при r > 1 и b0 = 0 ― явными многошаговыми.
― при r > 1 и b0 ≠ 0 ― неявными многошаговыми.
Многошаговость нарушает однородность вычислительного процесса, используя для получения недостающей информации другие вычислительные схемы ( например, одношаговые).
А) Метод Эйлера.
|
х |
x0 |
x1 |
… |
хn |
|
y |
y0 |
y1 |
… |
yn |
строится по формулам: yk+1 = yk + h∙f(xk,yk)
xk+1 = xk + h, k = 0,…,n-1, h=(xn-x0)/n (4)
Абсолютная погрешность формулы (4) на каждом шаге имеет порядок h2
(5)
Формула (4) означает, что на отрезке [xk, xk+1] интегральная кривая y = y(x) приближённо заменяется прямолинейным отрезком, выходящим из точки М(хk;уk) с угловым коэффициентом f(хk;уk). В качестве приближения искомой интегральной кривой получаем ломаную линию с вершинами в точках М0(х0;у0), М1(х1;у1),…, Мn(хn;уn). Первое звено касается истинной интегральной кривой в точке М0(х0;у0).
Метод Эйлера может быть применён к решению системы ОДУ и ДУ высших порядков. Последние должны быть предварительно приведены к системе ОДУ первого порядка.
Пусть
задана система ОДУ первого порядка:
(6)
с начальными условиями: у(х0) = у0, z(х0) = z0 (7)
Приближённые значения у(хi) ≈ yi, z(хi) ≈ zi вычисляются по формулам:
(8)
Метод Эйлера обладает двумя существенными недостатками:
1) малой точностью (метод первого порядка точности);
2) систематическое накопление ошибок.
В) Модификации метода Эйлера.
1Ый усовершенствованный метод Эйлера.
Сначала вычисляют промежуточные значения:
(9)
А
затем полагают:
(10)
2oй усовершенствованный метод Эйлера.
Сначала
определяют «грубые приближения»:
(11)
И
приближённо полагают:
(12)
Локальная
погрешность на i-ом
шаге:
.
Оценка погрешности в точке хn
может быть получена с помощью двойного
просчёта (с шагом h
и h/2):
(13)
С.) Метод Рунге-Кутта. (4го порядка)
Наиболее знаменитым из методов Рунге-Кутта является классический метод 4го порядка
(14)
(15)
Грубая
оценка погрешности (двойной просчёт):
(16)
Где у(хi) – точное решение, у*i – приближённое решение с шагом h/2, yi – … с шагом h .
Для оценки правильности выбора шага h используют равенство:
(17)
q должно равняться нескольким сотым, иначе h уменьшается.
D). Метод Рунге–Кутта 3-го порядка
Многошаговые методы.
(используют информацию о нескольких предыдущих точках)
Д ) Алгоритм Адамса.
Пусть дано дифференциальное уравнение: у′ = f(x, y) (1)
с начальными условиями: у(х0) = у0 (1*)
Требуется найти решение уравнения (1) на отрезке [a,b].
Разобьём отрезок [a,b] на n равных частей точками хi = х0 + ih (i =0, 1, …, n).
1ый этап: стартовая процедура. Используют какой-либо одношаговый метод того же порядка точности до тех пор, пока не будет получено достаточно значений для работы многошагового метода.
Следовательно, определены: у1, у2, …, уk-1 в точках: х0 + h, …, x0 + h(k-1).
2ойэтап: рекурсивной процедуры. Определение: уk, yk+1,…, yn основано на интегрировании интерполяционного многочлена Ньютона.
Рабочие формулы явных методов Адамса (2-го, 3-го, 4-го порядков).
(2)
(3)
(4)
Формулы (2)-(4) называются экстраполяционными и на практике используются в качестве прогноза.
Для улучшения точности или коррекции результата применяют неявные методы (используют ещё ненайденные значения: уk+1, yk+2,…).
(5)
(6)
(7)
Формулы (5)-(7) называются интерполяционными.
Для
грубой оценки точности (двойной просчёт):
