- •Лекция 1 Приближённые методы решения слау
- •В) Метод Гаусса. (Метод последовательного исключения переменных)
- •Прямой ход.
- •Формулы прямого хода
- •Обратный ход
- •Формулы обратного хода.
- •Интерполяция, аппроксимация.
- •Оценка погрешности:
- •Приближённое интегрирование функций
- •1) Интегрирование по методу прямоугольников.
- •2) Интегрирование по методу трапеций.
- •3) Интегрирование по методу Симпсона.
- •2.1) Отделение корней.
- •Уточнение корней до заданной точности.
- •1) Метод половинного деления (дихотомии).
- •2) Метод хорд.
- •2) Метод Ньютона (касательных).
- •4) Комбинированный метод (хорд и касательных).
- •Постановка задачи.
- •1Ый усовершенствованный метод Эйлера.
2.1) Отделение корней.
Всякое значение λ, обращающее функцию f(x) в нуль, т. е. такое, что f(λ) = 0, называется корнем уравнения (1) или нулём функции f(x).
Отделить корни − это значит разбить всю область допустимых значений на отрезки, в каждом из которых содержится один корень. Отделение корней можно произвести двумя способами − графическим и аналитическим.
Графический метод отделения корней: a) строят график функции у = f(x) для уравнения вида f(x) = 0. Значения действительных корней уравнения являются абсциссы точек пересечения графика функции у = f(x) с осью Ох (рис.1);
b) представляют уравнение (1) в виде φ(х) = g(x) и строят графики функций
у = φ(х) и у = g(x). Значения действительных корней уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков функций у = φ(х) и у = g(x) (рис.2).
Отрезки, в которых заключено только по одному корню, легко находятся.
Рис.1. Рис.2.
Аналитический метод отделения корнейоснован на следующейтеореме:
если непрерывная на отрезке функция принимает на концах отрезка значения разных знаков, т.е. , то внутри этого отрезка находится хотя бы один корень уравнения; если при этом
производная сохраняет знак внутри отрезка , то корень является единственным.
Уточнение корней до заданной точности.
То есть сужение отрезка локализации корня [a,b]. Рассмотрим несколько методов.
1) Метод половинного деления (дихотомии).
Пусть корень отделён и принадлежит отрезку . Находим середину отрезка по формуле (рис.3). Если , то с – искомый корень.
Если
,
то в качестве нового отрезка изоляции
корнявыбираем ту половинуили,
на концах которойпринимает значения разных знаков.
Другими словами, если,
то корень принадлежит отрезку,
если- отрезку.
Полученный отрезок снова делим пополам,
находим
,
Рис. 3.
Рис.3
Вычисляем , выбираем отрезок и т.д. Как только будет выполнено , то в качестве приближенного значения корня, вычисленного с точностью , можно взять .
После каждой итерации отрезок, на котором расположен корень уменьшается вдвое, то есть после nитераций он сокращается в 2nраз. Таким образом, число итерацийnв данном методе зависит от предварительно заданной точности ε и от длины исходного отрезка и не зависит от вида функцииf(x). Это является важным преимуществом метода половинного деления по сравнению с другими методами. Метод, однако, медленно сходится при задании высокой точности расчёта.
2) Метод хорд.
Пусть на отрезке [a,b] функция f(x) непрерывна и принимает на концах отрезка значения разных знаков, а производные f ′(x) и f ″(x) сохраняют постоянный знак на интервале (a,b). Тогда возможны четыре случая расположения дуги кривой (рис.4).
Рис.4.
В методе хорд за очередное приближение берём точку пересечения с осью Х прямой (рис.5), соединяющей точки (a,f(a)) и (b,f(b))
Причём одна из этих точек фиксируется − та, для которой знаки f(x) и f ″(x) одинаковы.
Для рис.5 неподвижным концом хорды является х =a.
Уравнение хорды АВ:
Точка пересечения хорды с осью Х (у=0): .
Теперь корень находится на отрезке [a,c1]. Заменяем b на с1.
Рис.5. Иллюстрация метода хорд.
Применяя метод хорд к этому отрезку, получим:
.
Продолжим и т.д., получим: (2) Условие окончания вычислений:
│сn+1 − cn│< ε или │f(cn)│< ε1.
Для оценки погрешности можно пользоваться общей формулой:
, где
Итак, если f (x)∙f″(x) > 0, то приближённое значение корня находят по формуле (2), если f′(x)∙f″(x) < 0 (т.е. фиксируется х = b), то по формуле:
. (3)