- •Лекция 1 Приближённые методы решения слау
- •В) Метод Гаусса. (Метод последовательного исключения переменных)
- •Прямой ход.
- •Формулы прямого хода
- •Обратный ход
- •Формулы обратного хода.
- •Интерполяция, аппроксимация.
- •Оценка погрешности:
- •Приближённое интегрирование функций
- •1) Интегрирование по методу прямоугольников.
- •2) Интегрирование по методу трапеций.
- •3) Интегрирование по методу Симпсона.
- •2.1) Отделение корней.
- •Уточнение корней до заданной точности.
- •1) Метод половинного деления (дихотомии).
- •2) Метод хорд.
- •2) Метод Ньютона (касательных).
- •4) Комбинированный метод (хорд и касательных).
- •Постановка задачи.
- •1Ый усовершенствованный метод Эйлера.
Лекция 1 Приближённые методы решения слау
А) Метод простых итераций. (Метод последовательных приближений).
Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:
(1)
или где- заданные числа;.
Задаются произвольно n-чисел – нулевое приближение искомой функции.
Далее подставляем в правую часть системы (1) нулевое приближение и
находим первое приближение.
, (2)
Затем по 1-ому приближению находят 2-ое, 3-е и т.д.
В результате для k-ого приближения получаем формулу:
, (2’)
Таким образом мы получили последовательность векторов
Х(0),Х(1),…, Х(К), к=1,2,…
Если любая из таких последовательностей {Хi(к)} сходится некоторому пределу xik = ci ,,то данный вектор сi, является решением сист. (1)
В равенстве (2’) перейдем к пределу при k→∞ при замене хi на сi.
Теорема (достаточные условия сходимости простой итерации):
Пусть выполняется хотя бы одно из следующих условий (нормы матрицы):
а) Если максимум суммы модулей коэффициентов при неизвестных (по строкам) меньше 1:
б) Если максимум суммы модулей коэффициентов при неизвестных (по столбцам) меньше 1:
в) Если сумма всех элементов в квадрате меньше 1.
Если выполняется хотя бы одно, тогда справедливы утверждения:
система (1) имеет единственное решение (С1,... Сn);
последовательность , гдеi = определяется по формуле (2), при любом начальном приближении сходится к соответствующим компонентам точного решения.i =
для приближенного равенства верны оценки (x1(k),…xn(k))(C1,…Cn),
а’) если выполняется условие а), то
,
б’) если выполняется условие б), то
,
в’) если выполняется условие в), то
.
Замечания:
1)Если нет никакой информации о точном решении СЛАУ, то за начальное приближение выбираем столбец свободных коэффициентов. (из приведенной матрицы);
2)остановка вычислений производной по заданной величине абсолютной погрешности и приведенным в теореме оценкам.
Б) Метод Зейделя.
Этот метод является модификацией МПИ и заключается в том, что при вычислении (к+1) приближения неизвестного хi (i>1), используются уже вычисленные ранее (к+1) приближения неизвестных х1, х2,…, хi-1
Рассмотрим систему: i=1,n
Пусть матрица α удовлетворяет одному из условий теоремы:
Если, а) <1 (коэффициенты по строкам)
б) <1 (коэффициенты по столбцам)
в)<1 (все коэффициенты)
тогда общая формула метода Зейделя имеет вид:
к=1,2…
Замечание: метод Зейделя обычно, но не всегда сходится к точному решения быстрее, чем МПИ
В) Метод Гаусса. (Метод последовательного исключения переменных)
Матрица называется верхнетреугольной, если ниже главной диагонали все элементы равны нулю, т.е. aij=0 при i>j. Аналогично, матрица называется нижнетреугольной, если все элементы выше главной диагонали (i<j) равны 0. Матрица называется диагональной, если только на главной диагонали (i=j) стоят ненулевые элементы. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений состоит из двух этапов: прямого хода и обратного хода.