Uch_posobie_TMM

70

скорости и ускорения характерных точек звеньев, а также угловые аналоги скорости и ускорения самих звеньев. Значения кинематических параметров конкретного механизма рассчитываются в зависимости от заданного закона изменения кинематических параметров ведущего звена.

Для структурной группы первого вида (рис. 2.29) заданы разме-

ется длиной AS , а положение точки C на звене BD определяется углом δ и длиной DC . В произвольно выбранной декартовой системе координат

XOY заданы координаты XA(φ), YA(φ) и XD(φ), YD(φ) как функции обобщенной координаты φ. За положительное направление вращения звена будем считать то, которое соответствует наименьшему углу поворота оси X при совмещении ее с осью Y. Требуется определить координаты точек В, S и С, а также угловые положения α, θ звеньев АВ, BD. При дальнейшем изложении зависимость кинематических параметров от обобщенной координаты φ подразумевается, а символ φ опускается.

Y

Рис. 2.29. К кинематическому исследованию структурной группы II класса 1-го вида

С учетом принятых обозначений для определения координат точки В можем записать

где α – угол между положительным направлением оси абсцисс ОХ и звеном АВ.

Введем переменную длину , которая при известных значениях координат кинематических пар A, D находится по теореме Пифагора из выражения

71

В этом случае значение угла α можно определить через дополнительные углы β и γ относительно звена переменной длины AD так, что

Через известные координаты точек А и D определим угол

Для второго вспомогательного угла из треугольника ABD по теореме косинусов найдем

Таким образом, алгоритм, составленный из выражений (3.37)...(2.41), позволяет найти координаты точки В. Так как декартовы координаты кинематических пар А и D зависят от обобщенной координаты φ, то координаты В будут XB(φ), YB(φ).

Положение точки S для звена АВ с учетом (2.39) нетрудно найти, если воспользоваться следующими формулами:

2d

В качестве примера рассмотрим определение координат точки L расширенного шатуна ABL и углового положения коромысла DB механизма шарнирного четырехзвенника (рис. 2.30). Заданы кинематическая схема механизма, то есть размеры звеньев, а также положение геометрических осей вращения кривошипа O(0,0) и опоры коромысла D(XD, YD).

Рис. 2.30. Механизм шарнирного четырехзвенника с опорой коромысла в D

Для данного механизма обобщенной координатой будет угол поворота кривошипа ОА, так как именно от него будут зависеть положения подвижных звеньев АВ и BD или, как принято говорить, конфигурация звеньев механизма. Координаты пальца А кривошипа ОА можно получить из формулы (2.34). При известных XA(φ), YA(φ) выражения (2.37)...(2.41) дают алгоритм для определения координат кинематической пары В, а формула (2.44) описывает угловое положение коромысла ВD по отношению к положительному направлению оси абсцисс.

Для определения положения точки L расширенного шатуна ABL имеем

XL XA AL cos( ), YL YA AL sin( ).

Вданном случае при описании координат XL, YL значение угловой координаты звена δ прибавляется, а не вычитается [см. формулы (2.43)].

Впромышленности строительных материалов для крупного и среднего дробления (степень измельчения обычно 3...5) используют щековые дробилки с простым (ЩДП) и сложным (ЩДС) движением щеки. Кинематическая схема ЩДС представлена на рис. 2.31.

Рис. 2.31. Кинематическая схема щековой дробилки типа ЩДС.

Эксцентриковый вал (кривошип 1) является ведущим звеном и вращается в подшипниках стойки (4). Подвижной щекой дробилки служит коробчатого сечения шатун 2, который верхней головкой одет на эксцентрик вала 1. Нижняя часть шатуна связана с распорной плитой (коромысло 3). Следует отметить условность кинематической схемы. Реально распорная плита образует с сопряженными звеньями 2 и 4 не шарниры, а открытые, геометрически незамкнутые кинематические пары [6].

При описании положений звеньев дробилки следует учесть расположение осей координат. Если выбрать начало координат совпадающим с центром вращения кривошипа, то наиболее удачный выбор осей абсцисс и ординат показан на рис. 2.31. Конфигурация звеньев дробилки полностью определяется углом φ поворота кривошипа. Следовательно, алгоритм описания (2.34), (2.37)...(2.41) позволяет определить положения всех звеньев щековой дробилки.

В шарнирном четырехзвеннике при определении углового положения шатуна АВ следует учитывать не только способ крепления коромысла относительно стойки механизма, но и направление вращения относительно выбранной системы координат. За положительное направления вращения звеньев выбирают обычно то, которое соответствует кратчайшему углу поворота оси X для совмещения ее с осью Y. На рис. 2.31 положительное направление соответствует вращению по часовой стрелке.

На рис. 2.32 показан механизм шарнирного четырехзвенника с подвеской коромысла в шарнире D. Для определения координат кинемати-

74

ческой пары С связи шатуна и коромысла нужно использовать систему уравнений 2.37, заменив координаты XB, YB на координаты XC, YC, а

размер b на AC . Однако при вычислении угла α следует учесть отрица-

тельный знак, так как для шатуна АС в выбранной системе координат положительное направление вращения звеньев против часовой стрелки. Имеем .

Y

A

D

Рис. 2.32. Механизм шарнирного четырехзвенника с подвеской коромысла в шарнире D

Пример. Пусть для механизма, показанного на рис. 2.32 заданны

OA = 0,1 м, AC = 0,5 м, CD = 0,6 м, AS = 0,5 AC , XD = 0,55, YD = –0,5.

При φ = 0 на основании (2.34) получим ХА = 0,1, YA = 0. Далее находим угол

2 . Изформулы(2.40) получимβ= arctg((–0,5 – 0)/(0,55 – 0,1)) = –48,5°,

γ=59,25°.ПоложениешатунаАСпоотношениикположительномунаправлению осиабсциссX определяетсяугломφ2 = –48,15° – 59,25° = –107,4°.

Координаты кинематической пары С на основании (2.37) будут следующими ХС = –0,050, YC = –0,477. Для углового положения коромысла

на основании (2.44) получим 3 = 177,8°. Координаты точки S на ша-

туне находят по формулам (2.41) XS = 0,025, YS = –0,239. Аналогично находятся координаты точки S3 , если в формулах (2.43) принять δ = 0,

DC DS3 .

Втабл. 2.2 приведены некоторые значения угловых положений и координаты точек звеньев для механизма шарнирного четырехзвенника, показанного на рис. 2.32

75

Таблица 2.2

Угловые положения звеньев и декартовы координаты точек звеньев механизма

Механизмы шарнирных четырехзвенников используются как самостоятельно, так и в основе многих многозвенных механизмов.

2.5.3. Определение угловых и линейных положений звеньев для структурной группы II класса 2-го вида

Врассматриваемой группе Ассура присутствует шатун и ползун, связанные между собой вращательной кинематической парой (шарниром). Ползун движется по направляющей, которая чаще всего неподвижна как, например, цилиндр поршневой машины. Однако конструктивное исполнение звеньев структурной группы II класса 2-го вида очень разнообразно. Они применяются как составные части различных прессов, насосов, питателей, приборов, в которых присутствуют и структурные группы других видов и классов [1].

Вэтом разделе будут изложены приемы наиболее удачного выбора осей координат для описания положений точек звеньев. Для решения задачи удобно выбирать такую декартовую систему координат, в которой ось X1 всегда лежит на направляющей перемещения ползуна. Причем положительное направление выбирается от точки связи C в сторону ползуна (рис. 2.33).

Систему координат обозначим X1O1Y1. Координаты точки связи C будем считать известными функциями положения ведущего звена механизма, например, обобщенной координаты φ: X1C(φ), Y1C(φ). Геометри-

ческие размеры EC , ES известны. В реальном механизме угол α между

шатуном СЕ и направляющей для перемещения ползуна Е будет всегда острый.

76

Y1

C

S

α

Для координат точки Е ползуна получим

Угловое положение шатуна по отношению к положительному направлению оси Х1 будет равно π – α. Координаты центра тяжести S шатуна СЕ определяется по следующим формулам:

Использование описания положений звеньев в собственной системе координат рассмотрим на примере. На рис. 2.34 показан механизм, в котором структурная группа II класса 2-го вида присоединена непосредственно к ведущему звену и стойке. Такой механизм называют кривошип- но-ползунным. Геометрическая ось О вращения кривошипа ОА располагается вне направляющей. Кратчайшее расстояние между осью вращения кривошипа и неподвижной направляющей называется эксцентриситетом, размер которого в данном случае равен е. В частном случае меха-

77

низм может быть центральным, т.е. е = 0. Обозначим длину кривошипа

точки хода ползуна получаются, когда центры шарниров кривошипа и шатуна располагаются на одной линии.

Y

A

O φ

S

α X

Рис.2.34. Кривошипно-шатунный механизм

Для определения положений звеньев выбираем систему координат XO1Y так, как показано на рис 2.34.

Если выбранную систему координат сравнить с системой координат рис. 2.33, то будет видно, что они совпадают. Координаты пальца А кривошипа являются координатами точки связи между шатуном и кривошипом. На основании (2.34) имеем

XA OA cos , YA e OA sin .

Таким образом, координаты кинематической пары А являются функциями XA(φ), YA(φ).

Следовательно, на основании (2.46) sin YA( ) / AE . Используя (2.47), находим угловое положение шатуна ( ) ( ) по отноше-

нию к положительному направлению оси абсцисс О1Х. Для определения координат ползуна Е следует использовать формулы (2.48), для координат точки S шатуна формулы (2.49).

78

2.5.4. Использование линейных преобразований для определения координат и траекторий точек звеньев

Рассмотрим возможность использования рассмотренных выше методов при определении положений звеньев для механизмов, структурная формула которых I – II1 – II2. Для примера допустим, что решается задача кинематического исследования механизма, показанного на рис. 2.35. В таких механизмах при определенных размерах звеньев и относительном расположении неподвижных кинематических пар можно получить двойной ход ползуна Е за один оборот кривошипа ОА. Эта особенность используется, например, в грохотах, плунжерных насосах.

Встроенный механизм шарнирного четырехзвенника был рассмотрен в качестве примера в разделе 2.5.2 (см. рис. 2.32). Там же в табл. 2.1 приведены координаты точек звеньев и угловые положения самих звеньев в декартовой системе координат XOY. В табл. 2.1 приведены, координаты точек связи C(XC,YC) в системе координат XOY. Чтобы воспользоваться методом решения задачи из раздела 2.5.3, введем новую систему координат X1DY1. Для этого линейным преобразованием переведем координаты связи C(XC,YC) в координаты (X1С, Y1С) системы координат X1DY1. Имеем

где XD, YD – координаты точки D в системе координат XOY, ψ – угол поворота осей системы координат X1DY1.

Далее на основании формул (2.46)...(2.49) находим угловое положение шатуна СЕ, координаты ползуна Х1Е, Y1E и координаты точки S шатуна X1S, Y1S.

В расчетах принято: ось абсцисс X1 проходит через кинематическую пару D угол поворота осей координат ψ = 180°. Длина шатуна CE = 0,6м,

положение точки S4 заданно расстоянием CS4 = 0,4м.

В табл. 2.3 приведены значения кинематических параметров для положений ведущего звена, соответствующих координатнй системе

X1DY1.

Воспользовавшись обратным преобразованием находим координаты, например, ползуна в первоначальной системе координат XOY:

79

E, E

C

Y1

Рис.2.35. Механизм с двойным ходом ползуна

Таблица 2.3

Значения координат звеньев для положений ведущего звена в новой и первоначальной системах декартовых координат

Аналогично на основании (2.51) определяются координаты XS4 ( ) , YS4 ( ) . Эти координаты для каждого данного φ в совокупности образуют траекторию точки S4 . В табл. 2.2 приведены так же значения углово-