Uch_posobie_TMM

31

Величины скоростей точек будут определяться следующими выражениями:

VС pс V ;

VСB bс V .

Пользуясь планом скоростей, можно определить угловые скорости2 и 3 звеньев 2 и 3.

Величины этих скоростей определяются из равенств

Направления угловых скоростей 2 и 3 могут быть определены

следующим образом. Мысленно прикладывая векторы VCB и VCD к точке

С, видим, что вращение звеньев 2 и 3 происходит в направлении вращения часовой стрелки (см. рис. 2.10,а).

Для определения скорости точки K, лежащей на звене ВС имеем векторное уравнение

VK VB VKB .

Очевидно, что направление вектора VKB совпадает с направлением вектора VCB , т.е. отрезок плана скоростей (bк), определяющий скорость VKB , совпадает по направлению с отрезком (bc).

Разделив почленно равенства, получаем:

VCB lBC , VKB lBK

или

bc v lBC .

bk v lKB

откуда

bk bc lBK .

lBC

Из последнего выражения следует: чтобы определить отрезок плана скоростей, изображающий относительную скорость VKB , необходимо отрезок (bс), изображающий на плане скоростей относительную скорость VCB разделить в том же отношении, в котором точка К делит звено

2.

Из плана скоростей находим

32

VK pk v .

Рассуждая аналогичным образом, определяем на плане скоростей отрезок (рт), изображающий вектор скорости точки М, лежащей на звене 3. Скорость точки М будет равна

VM pm v .

При построении плана ускорений, как и при построении плана скоростей, рассматриваем движение точки С как сложное, состоящее из переносного поступательного с ускорением точек В и D и относительного вращательного вокруг этих точек.

Векторные уравнения для определения ускорения aC точки С будут следующими:

aC aB aCB ,

aA aD aCD .

В этих уравнениях

ускорений. Развернутые векторные уравнения для определения вектора

33

aС ускорения точки С, которые и определяют последовательность построения плана имеют вид:

План ускорений показан на рис. 2.10, в. Из плана ускорений находим ускорения точек:

ac c a ; aCD aC ,

aCB bc a ,

aCB nCB c a ,

aCD nCD c a .

Значение условных ускорений ε2 и ε2 звеньев 2 и 3 будут равны

видим, что направление ε2 и ε2 противоположно направлению вращения часовой стрелки (см. рис. 2.10, а).

Для определения ускорения точки К воспользуемся уравнением

aK aВ aKВ .

Направление вектора aKВ должно совпадать на плане ускорений с направлением вектора aCВ , так как для всех точек звена величины угло-

вой скорости ω2 и углового ускорения ε2 одинаковы. Величина отрезка (bk), изображающего на плане ускорений ускорение aKВ , определяется

из условия пропорциональности ускорений радиусам-векторам, т.е.

или

откуда

bk bc lKB .

lCB

Из этого выражения следует: чтобы определить отрезок плана уско-

34

рений, изображающий ускорение aKВ , необходимо отрезок (bс) плана, изображающий ускорение aCВ , разделить в том же отношении, в каком

точка К делит звено 2. Найдя положение точки К на плане и соединив ее с полюсом π, получим отрезок (πk), изображающий полное ускорение точки К. Величина ускорения равна

ak ( k) a .

Рассуждая подобным образом, определяем положение точки m на плане ускорений и строим отрезок (πm), изображающий ускорение aM

точки М, лежащей на звене 3 (см. рис. 2.10,в). Величина ускорения будет равна

aМ ( m) a .

На рис. 2.11, а показана схема кривошипно-ползунного механизма, состоящего из стойки ОX, входного звена, а также звеньев 2 и 3, образующих структурную группу 2 класса 2 вида.

Не останавливаясь на подробном описании построения планов скоростей и ускорений, приведем векторные уравнения для определения

векторов скорости VB и ускорения aB точки В, а также необходимые

формулы для нахождения составляющих этих уравнений, вычисления искомых скоростей и ускорений точек, угловых скоростей и ускорений звеньев.

VB VA VBA ;

VB VM VBM ,

где VA lOA 1 ,VM 0 .

План скоростей изображен на рис. 2.11, б. Из плана скоростей нахо-

дим

VB pb V ;VBA ab V .

Угловая скорость ω2 звена 2 будет равна

2 VBA lВА .

35

A

Рис.2.11. Кривошипно-ползунный механизм:

а - кинематическая схема; б - план скоростей; в - план ускорений

36

Векторные уравнения для определения ускорения aB точки В следующие (принимаем, что ε1=0):

Угловое ускорение ε2 звена 2

aBt A .

lAB

На рис. 2.12, а показана схема кулисного механизма, состоящего из стойки, входного звена 1, а также звеньев 2 и 3, образующих структурную группу 2 класса 3 вида.

Рассматривая движение звеньев кулисного механизма, необходимо иметь в виду, что звено 2 соединяет подвижные звенья 1 и 3, т.е. имеет место поступательное движение точки А3, принадлежащей звену 3 и точки А1 принадлежащей звену 1.

Векторные уравнения, определяющие скорость VA3 точки А3 будут иметь следующий вид:

гдеVA1 1 lOA ; VB 0; VА3 A1 - вектор скорости движения точки А3 относительно А1 (направлен вдоль звена 3); VА3B - вектор скорости перенос-

ного движения точки А3 относительно В (направление перпендикулярно звену 3).

Величина скорости VC точки С определяется из следующего соотношения:

VC lCB ,

VA3 lAB

т.е.

VC VA3 lCB , lAB

или

37

l ( pc) ( pa3 ) lCB

AB

где ( pc) и ( pa3 ) - отрезки на плане скоростей (см. рис.2.12, б).

Рис.2.12. Кулисный механизм:

а- кинематическая схема; б – план скоростей; в – план ускорений.

38

Из плана скоростей находим:

Направление вектора кориолисова ускорения aAK3 A1 определяется вектором скорости VA3 A1 , повернутым на 900 по направлению угловой

скорости ω3.

Ускорение ac точки С определяется из соотношения:

Таким образом, с помощью планов скоростей и ускорений можно определить кинематические характеристики движения любой точки или звена механизма.

39

2.4. Аналитический метод

Достоинство аналитических методов заключается в первую очередь

ввысокой точности определения исследуемых характеристик в каждое мгновение промежутка времени действия механизма. Сущность рассматриваемого метода заключается в преобразовании координат какойлибо точки при последовательном переходе из одной системы координат

вдругую. Среди многочисленных методов кинематического анализа механизмов широкое распространение приобретают методы, которые позволяют ввести в обращение матрицы и производить с их помощью соответствующие действия. Такие методы отличаются простотой алгоритмизации исследования характеристик движения и реализации на ПЭВМ.

2.4.1. Преобразование координат точки в плоских механизмах

Пусть даны системы плоских прямоугольных координат X0Y0 и X1Y1 (рис.1). Положение начала системы координат X1Y1 определяется в системе координат X0Y0 величинами a и b. Относительный поворот координатных осей – направляющими косинусами mkl (k, l = 1,2).

Рис. 2.13. Схема расположения систем координат

Как известно, преобразование координат какой-либо точки из системы X1Y1 в систему X0Y0 в общем случае относительного движения