Uch_posobie_TMM

60

С неподвижным основанием 0 связана система координат X0Y0Z0 (ось X0 направлена вдоль оси кинематической пары А), со звеном 1 – система координат X1Y1Z1 ( ось Х1 направлена вдоль оси кинематической пары А), со звеном 2 – система координат X2Y2Z2 (ось Х2 направлена вдоль звена 2), со звеном 3 – система координат X3Y3Z3 (ось Х3 направлена вдоль звена 3). Точка Р расположена на звене 3 в схвате манипулятора. Целью кинематического анализа данного механизма является определение функции положения точки Р схвата манипулятора в зависимости от углов поворота в кинематических парах А, В и С, скоростей и ускорений изменения координат точки схвата.

Матрицы поворотов во вращательных парах и параллельных переносов вдоль звеньев при переходе от одной системы координат к другой будут определяться следующим образом:

Произведя преобразования согласно (2.32), получим систему уравнений, определяющих координаты точки Р:

61

xP = lBC cos 21 + lCP cos ( 21 32 ) ,

zP = lBC sin 21 sin 10 + lCP sin ( 21 32 ) sin 10 .

Продифференцировав выражения (2.33) по времени, получим значения скоростей и ускорений изменения координат точки Р.

2.4.5. Использование ПЭВМ при решении задач кинематического анализа

Удобство рассмотренного аналитического метода кинематического анализа состоит в простоте составления функции положения. Для ее дифференцирования целесообразно применение ПЭВМ. Численное дифференцирование аналитически заданной функции Y(x) заключается в замене Y(x) интерполяционным полиномом Р(х), производные dnP(x) / dxn dnY(x) / dxn которого можно найти аналитически с помощью соответствующих выражений [3]:

dY(x) / dx = ( -Y2 + 8Y1 - 8Y-1 + Y-2 ) / 12h ;

d2Y(x) / dx2 = (-Y2 + 16Y1 - 30Y0 + 16Y-1 - Y-2) / 12h2 ,

где h – шаг дифференцирования;

Y-2, Y-1, Y0, Y1 и Y2 – значения функции Y(x) при соответствующей величине х;

x0 – исходное значение х;

х-2 = x0 - 2h; x-1 = x0 - h ; x1 = x0 + h ; x2 = x0 + 2h .

Для решения задач кинематического анализа плоских четырехзвенных механизмов, в состав которых входят структурные группы различных видов, могут быть составлены программы на простом в обращении языке Турбо-Бейсик в соответствии со схемой алгоритма. В блок-схеме используются следующие условные обозначения:

N – количество рассматриваемых положений механизма;

X(I) – значение угла поворота входного звена в соответствующем положении механизма;

h – шаг дифференцирования;

F1 – первая производная функции Y(x); F2 – вторая производная функции Y(x).

62

Эти же программы расчета кинематических характеристик могут быть использованы для исследования кинематики многозвенных механизмов 2-го класса, кинематические цепи которых состоят из четырехзвенных замкнутых контуров. Данный алгоритм справедлив и для составления программ расчета при анализе пространственных рычажных механизмов.

В качестве примера представлена программа расчета кинематических характеристик кривошипно-ползунного механизма (рис. 2.27).

Рис. 2.27. Схема кривошипно-ползунного механизма

print "кинематический анализ кривошипно-ползунного механизма" print "введите размеры в метрах кривошипа l1, шатуна l2 и смещения e"

input l1,l2,e

print "введите расстояние до центра масс шатуна ls2" input ls2

print "введите величину шага дифференцирования h" input h

dim a(20)

print "введите количество положений механизма n (n<=20)" input n

for j=1 to n

print "введите значение угла поворота кривошипа, соответствующее положению j. "

print " Начало отсчета - горизонтальное положение кривошипа справа."

print " Положительное направление отсчета - против часовой стрелки."

input a(j)

63

next j

lprint tab(5);"l1=";using "#.###";l1; lprint tab(20);"l2=";using "#.###";l2; lprint tab(35);"e=";using "##.###";e lprint tab(5);"ls2=";using "#.###";ls2

lprint "============================================= lprint tab(2);"F0";tab(13);"X";tab(23);"d1X";tab(33);"d2X";

lprint "============================================= for j=1 to n

i=a(j)

x=3.14125*i/180

x=x

gosub 15:f=y:f2=-30*y x=x-2*h

gosub 15:f1=y:f2=f2-y x=x+h

gosub 15:f1=f1-8*y:f2=f2+16*y x=x+2*h

gosub 15:f1=f1+8*y:f2=f2+16*y x=x+h

gosub 15:f1=f1-y:f2=f2-y x=x-2*h

f1=f1/(12*h)

f2=f2/(12*h*h) lprint tab(0);i;

lprint tab(9);using"####.###";f; lprint tab(19);using"####.###";f1; lprint tab(30);using"####.###";f2

lprint "-------------------------------------------------------------------" next j

lprint "=============================================" lprint tab(2);"F0";tab(13);"F1";tab(23);"d1F1";tab(33);"d2F1"

lprint "=============================================" for j=1 to n

i=a(j)

if i<=180 then 10 if i>180 then 20

10 x=3.14125*i/180 x=x

gosub 30:gosub 35:gosub 45:gosub 50 x=x-2*h

gosub 30:gosub 35:gosub 45:gosub 60 x=x+h

64

gosub 30:gosub 35:gosub 45:gosub 70 x=x+2*h

gosub 30:gosub 35:gosub 45:gosub 80 x=x+h

gosub 30:gosub 35:gosub 45:gosub 90 x=x-2*h

gosub 100:gosub 110:goto 25 20 x=3.14125*i/180

x=x

gosub 30:gosub 40:gosub 45:gosub 50 x=x-2*h

gosub 30:gosub 40:gosub 45:gosub 60 x=x+h

gosub 30:gosub 40:gosub 45:gosub 70 x=x+2*h

gosub 30:gosub 40:gosub 45:gosub 80 x=x+h

gosub 30:gosub 40:gosub 45:gosub 90 x=x-2*h

gosub 100:gosub 110 25 next j

lprint "============================================== lprint tab(2);"F0";tab(9);"XS2";tab(16);"d1XS2";tab(26);"d2XS2"; lprint tab(36);"YS2";tab(43);"d1YS2";tab(53);"d2YS2";

lprint tab(64);"VS2";tab(72);"AS2"

lprint "============================================== for j=1 to n

i=a(j)

if i<=180 then 11 if i>180 then 21

11 x=3.14125*i/180 x=x

gosub 30:gosub 35:gosub 45:gosub 50 x=x-2*h

gosub 30:gosub 35:gosub 45:gosub 60 x=x+h

gosub 30:gosub 35:gosub 45:gosub 70 x=x+2*h

gosub 30:gosub 35:gosub 45:gosub 80 x=x+h

gosub 30:gosub 35:gosub 45:gosub 90 x=x-2*h

gosub 100:gosub 120:goto 26

65

21 x=3.14125*i/180 x=x

gosub 30:gosub 40:gosub 45:gosub 50 x=x-2*h

gosub 30:gosub 40:gosub 45:gosub 60 x=x+h

gosub 30:gosub 40:gosub 45:gosub 70 x=x+2*h

gosub 30:gosub 40:gosub 45:gosub 80 x=x+h

gosub 30:gosub 40:gosub 45:gosub 90 x=x-2*h

gosub 100:gosub 120 26 next j

end

15 y=l1*cos(x)+sqr((l2^2)-(e-l1*sin(x))^2) return

30 a=sqr((l2^2)-(e-l1*sin(x))^2)/l2 b=sqr(1-a*a)/a

yr011=atn(b) return

35 yr11=6.2825-yr011 return

40 yr11=6.2825+yr011 return

45 yr1=yr11-x y1=180*yr1/3.14125 y2=l1*cos(x)+ls2*cos(yr11) y3=l1*sin(x)+ls2*sin(yr11) return

50 ff=yr1: ff2=-30*yr1: fxs=y2: fxs2=-30*y2: fys=y3: fys2=-30*y3 return

60 ff1=yr1: ff2=ff2-yr1: fxs1=y2: fxs2=fxs2-y2: fys1=y3: fys2=fys2-y3 return

70 ff1=ff1-8*yr1: ff2=ff2+16*yr1: fxs1=fxs1-8*y2: fxs2=fxs2+16*y2: fys1=fys1-8*y3: fys2=fys2+16*y3 return

80 ff1=ff1+8*yr1: ff2=ff2+16*yr1:

66

fxs1=fxs1+8*y2: fxs2=fxs2+16*y2: fys1=fys1+8*y3: fys2=fys2+16*y3 return

90 ff1=ff1-yr1: ff2=ff2-yr1: fxs1=fxs1-y2: fxs2=fxs2-y2: fys1=fys1-y3: fys2=fys2-y3 return

100 ff1=ff1/(12*h) fxs1=fxs1/(12*h) fys1=fys1/(12*h) ff2=ff2/(12*h*h) fxs2=fxs2/(12*h*h) fys2=fys2/(12*h*h) ffg=180*ff/3.14125 vs2=sqr(fxs1*fxs1+fys1*fys1) as2=sqr(fxs2*fxs2+fys2*fys2) return

110 lprint tab(0);i;

lprint tab(9);using"####.###";ff; lprint tab(19);using"####.###";ff1; lprint tab(30);using"####.###";ff2;

lprint "-------------------------------------------------------------------

return

120 lprint tab(0);i;

lprint tab(5);using"####.###";fxs; lprint tab(14);using"####.###";fxs1; lprint tab(23);using"####.###";fxs2; lprint tab(32);using"####.###";fys; lprint tab(41);using"####.###";fys1; lprint tab(50);using"####.###";fys2; lprint tab(59);using"####.###";vs2;

Примем размеры звеньев: l1 = 0,02 м, l2 = 0,70 м, e = 0. Количество рассматриваемых положений механизма n = 5. Изменение угла поворота входного звена от 0о до 40о через 10о. Шаг дифференцирования h = 0,1. Результаты расчетов представлены в таблице 2.1.

В таблице используются следующие условные обозначения: X – перемещение точки С, м;

d1X – аналог скорости точки С; d2X – аналог ускорения точки С;

F1 – угол поворота 1, рад.;

d1F1 – аналог угловой скорости поворота звена 2 в кинематической паре В;

67

d2F1 – аналог углового ускорения поворота звена 2 в кинематической паре В;

XS2 – проекция перемещения точки S2 на ось X;

d1XS2 – аналог скорости изменения проекция перемещения точки

S2 на ось X;

d2XS2 – аналог ускорения изменения проекция перемещения точки

S2 на ось X;

YS2 – проекция перемещения точки S2 на ось Y;

d1YS2 – аналог скорости изменения проекция перемещения точки

S2 на ось Y;

d2YS2 – аналог ускорения изменения проекция перемещения точки

S2 на ось Y;

VS2 – величина аналога скорости точки S2;

AS2 – величина аналога ускорения точки S2.

Таблица 2.1

Результаты кинематического анализа

68

2.5. Координатный метод кинематического исследования стержневых механизмов

2.5.1.Координатный метод для механизмов 1-го класса

Вкинематике механизмов рассматривают движение звеньев без учета действия внешних сил. Такое исследование является предварительным этапом перед всесторонним изучением движения в динамике. Результатом кинематического исследования является определение перемещений, скоростей и ускорений точек звеньев, а также самих звеньев механизма. Изменения кинематических параметров сопоставляются в зависимости от времени или от положения звеньев. Например, изменение положения рабочего органа механизма зависит от положения ведущего звена.

У механизма, показанного на рис. 2.28 положение звена ОА полно-

стью определяется обобщенной координатой - углом поворота звена. Система декартовых координат, связанная со стойкой механизма, далее

считается абсолютной. Связь между углом и декартовыми координатами X, Y очевидна. Для точки А кривошипа имеем

координат. Аналог скорости и его проекции связаны между собой зависимостью

69

Между линейной скоростью точки звена и аналогом скорости существует однозначная зависимость. Например, для скорости точки А звена ОА получим:

где ω – угловая скорость звена ОА.

Ускорение точки А также определяется через проекции на оси координат. Связь между проекциями ускорения и проекциями его аналогов устанавливается по правилам дифференцирования сложной функции. Например,

где ε – угловое ускорение звена. Символ А опущен с целью упрощения записи.

Аналогично определяются проекции ускорения на ось Y. Если угловая скорость постоянна, ω = const, то для ускорения точки А получим

Приведенные выше зависимости легко обобщить для определения скоростей и ускорений любых точек звеньев механизма. Таким образом, скорости и ускорения звеньев зависят как от угловой скорости ведущего звена, так и от его положения.

2.5.2. Определение положений звеньев для структурной группы II класса 1-го вида

В данном разделе излагается метод, основанный на координатном способе исследования структурных групп Ассура [7]. По заданным координатам крайних для структурной группы кинематических пар вначале решается задача о положении звеньев, затем определяются линейные