- •Содержание
- •Глава 1: Матрицы
- •1.1. Введение
- •1.2. Основные понятия
- •1.3. Операции над матрицами
- •1.3.1. Произведение матриц
- •1.4. Типы матриц
- •1.6. Свойства матричных операций
- •Упражнения к главе 1.
- •Глава 2: Определители
- •2.1. Перестановки и транспозиции
- •2.2. Формальное определение
- •2.3. Свойства определителей
- •2.4. Вычисление определителей
- •2.4.1. Разложение определителя по элементам строки или столбца
- •Упражнения к главе 2
- •Глава 3: Обратная матрица
- •3.1. Терминология
- •3.2. Две важные леммы
- •3.3. Теорема об обратной матрице
- •3.3.1. Примеры вычисления обратной матрицы
- •3.4. Вычисление обратной матрицы методом элементарных преобразований
- •Упражнения к главе 3.
- •4.1. Ранг матрицы
- •4.2. Основные понятия
- •4.3. Метод Гаусса
- •4.3.1. Несколько примеров
- •4.4. Однородные системы линейных уравнений
- •4.4.1. Примеры
- •4.5. Правило Крамера
- •4.6. Обобщенное правило Крамера
- •Упражнения к главе 4
- •Литература
Системы линейных уравнений
−1 1 |
−1 |
|
→ r |
+3r |
−1 1 |
|
−1 |
|
|
−1 1 |
−1 |
|
|||||||||
|
3 |
−1 |
−1 |
r |
|
0 2 |
|
−3 |
|
→ r3 |
−2r2 |
|
0 2 |
−3 |
|
||||||
|
|
2 |
2 |
1 |
|
|
r3 |
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
r |
→ r |
+2r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
−3 |
3 |
3 |
1 |
0 4 |
|
−5 |
|
|
0 0 |
1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Соответствующая система |
− x |
|
+ x |
|
− |
x |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 −3x3 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 = 0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
имеет только тривиальное решение |
x1 = x2 = x3 = 0 . |
|
|
|
|
4.5.Правило Крамера
Имеется один частный случай, когда решение системы линейных уравнений можно представить в явном виде. Соответствующая теорема носит название “Правило Крамера” и имеет важное значение в теоретических исследованиях.
Правило Крамера. Пусть матричное уравнение
A X = B |
(3) |
описывает систему n линейных уравнений с |
n неизвестными. |
Если det A ≠ 0 , то система (3) является совместной и имеет единственное решение описываемое формулой
|
|
x = Di , |
i =1, 2, …, n, |
(4) |
|||||
|
|
i |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где D = det A ; Di – определитель, полученный из D заменой |
i-го столбца |
||||||||
столбцом свободных членов матрицы B: |
|
|
|
|
|
||||
Di = |
|
a11 L a1,i−1 |
b1 |
a1,i+1 |
L a1n |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
M |
|
L |
|
M |
|
|
||
|
|
an1 L an,i−1 |
bn |
an,i+1 |
L ann |
|
|
|
Доказательство. Нам предстоит доказать следующие утверждения:
1)Решение системы (3) существует и является единственным.
2)Равенства (4) являются следствием уравнения (3) и обратно, равенства (4) влекут за собой уравнение (3).
Так как det A ≠0, то существует и при том единственная обратная матрица
A−1 . Умножая обе части матричного уравнения (3) слева на A−1 , получаем его решение:
X = A−1B . |
(5) |
58
Системы линейных уравнений
Единственность обратной матрицы доказывает первую часть теоремы. Чтобы получить i-ый элемент xi матрицы X, нужно умножить i-ую
строку матрицы A−1 на столбец B.
Используя выражение для обратной матрицы
A−1 = det1 A adj A
и учитывая, что i-ая строка присоединенной матрицы adj A составлена из
алгебраических дополнений A1,i , |
|
A2,i , K, |
An,i , получаем |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
= ( A−1B) |
|
= |
1 |
(A |
A |
|
L |
A |
) |
b2 |
|
= |
1 n |
A b . |
|||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
i |
|
|
D |
1,i |
|
2,i |
|
n,i |
|
M |
|
|
∑ k ,i k |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D k =1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
Сумма в правой части представляет собой разложение определителя Di по элементам i-го столбца и, следовательно,
xi = DDi .
Теперь проделаем обратное преобразование, переходя от выражений
xi = 1 ∑n Ak,i bk
D k =1
к системе уравнений (3).
Умножим обе части последнего равенства на D a j,i и просуммируем по i:
n |
n n |
D ∑a j,i xi = ∑∑Ak ,i a j,i bk . |
|
i =1 |
i =1 k =1 |
Изменим порядок суммирования в правой части полученного выражения:
n |
n |
n |
|
D ∑a j,i xi = ∑bk ∑Ak ,i a j,i . |
(6) |
||
i =1 |
k =1 |
i =1 |
|
Ранее было показано, что
n
∑Ak ,i a j,i =δk j det A =δk j D , i=1
где δk j – дельта символ Кронекера.
С учетом того, что дельта символ Кронекера δk j снимает суммирование, получаем
n |
n |
|
n |
|
D ∑a j,i xi = D∑bkδkj = Dbj |
|
∑a j,i xi =bj |
AX = B , |
|
i=1 |
k=1 |
|
i=1 |
|
что и требовалось доказать.
59
Системы линейных уравнений
Пример. Решить методом Крамера систему линейных уравнений
2x1 − x2 +5x3 =10
x1 + x2 −3x3 = −22x1 +4x2 + x3 =1
Решение. Вычислим определители, выполняя предварительно элементарные преобразования над строками и затем разлагая полученные определители по элементам их первых столбцов.
|
|
2 −1 5 |
|
r |
|
→r |
−2r |
|
|
0 |
|
−3 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
r1 |
|
→r1 −r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
−3 11 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
D = |
1 1 −3 |
|
3 |
|
|
=3 1 |
|
|
|
1 1 −3 |
= − |
|
= 43, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
5 |
−4 |
|
|
|
|
5 |
−4 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
10 −1 5 |
|
r1 |
→r1 +5r2 |
|
0 4 |
−10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
r |
→r |
|
+r |
|
|
|
4 |
−10 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
D |
= |
|
− |
2 1 −3 |
|
|
|
2 |
|
=2 |
3 |
|
|
|
|
0 9 |
−1 |
= |
|
=86, |
||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
−1 |
|
|
||||
|
|
|
1 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
r1 |
→ r1 |
−r3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
2 10 5 |
|
|
|
|
0 9 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
→r −2r |
|
|
|
|
|
|
|
9 4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
D = |
|
1 −2 − |
3 |
|
|
|
3 |
|
=3 |
|
|
1 |
|
|
|
1 −2 −3 |
= − |
= −43, |
||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
5 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
r |
→r |
−2r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
2 −1 10 |
|
|
|
|
0 −5 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
r1 |
|
→r1 |
−r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
−5 9 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
D = |
|
1 1 −2 |
|
|
|
3 |
|
|
=3 1 |
|
|
|
|
|
1 1 −2 |
= − |
= 43. |
|||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом,
x1 = DD1 = 8643 = 2 , x2 = DD2 = −4343 = −1,
x3 = DD3 = 4343 =1.
Сравните эти результаты с теми, что были получены методом Гаусса в примере 1 на стр. 50.
60
Системы линейных уравнений
4.6.Обобщенное правило Крамера
Теорема. Необходимым и достаточным условием совместности системы m линейныхуравненийс n неизвестными
a11x1 +a12 x2 +K+a1n xn = b1 |
|
||||||||||||||||
a |
x |
+a |
22 |
x |
2 |
+K+a |
2n |
x |
n |
= b |
|
||||||
|
21 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(*) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
m1 |
x |
+a |
|
x |
2 |
+K+a |
mn |
x |
n |
= b |
|
|||||
|
1 |
|
|
m |
2 |
|
|
|
|
|
m |
|
является равенство между собой рангов коэффициентной A и расширенной A матриц.
В русско-язычной литературе на эту теорему ссылаются как на теорему Кронекера-Капелли.
Доказательство.
1. Докажем необходимость условия, сформулированного в теореме, т.е. покажем, что предположение о совместности системы уравнений влечет за собойравенстворангов, rank A = rank A .
Рассмотримрасширеннуюматрицу
|
|
a |
L a |
|
b |
|
||
|
|
|
||||||
|
|
|
1,1 |
|
1,1 |
|
1 |
|
|
A |
= |
M |
L M |
|
M |
|
|
|
|
a |
m,1 |
L a |
m,n |
|
b |
|
|
|
|
|
|
m |
ипреобразуемее, выполнивэлементарныеоперациинадстолбцами.
Вычтем из последнего столбца первый столбец, умноженный на x1 , второйстолбецумноженныйна x2 , ит.д. Приэтомрангматрицынеменяется:
|
|
a |
L a |
b |
−(a x |
+K+a |
|
x |
n |
) |
|
||||
|
|
|
1,1 |
|
1,n |
1 |
|
1,1 1 |
1,n |
|
|
|
|
||
rank |
A |
= rank |
M |
L M |
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
a |
m,1 |
L a |
m,n |
b |
−(a |
x |
+K+a |
m,n |
x |
n |
) |
||
|
|
|
|
m |
|
m,1 1 |
|
|
|
|
С учетом уравнений (*) можноопустить. Тогда
a1,1
rank A = rank M
am,1
последний столбец является нулевым и поэтому его
L a |
|
0 |
|
a |
L a |
|
|
|
|
|
|||||||
1,n |
|
|
|
|
1,1 |
1,n |
= rank A . |
|
L M |
|
M |
|
= rank |
M |
L |
M |
|
L am,n |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
am,1 |
L am,n |
|
2. Перейдем к доказательству достаточности условия: покажем, что равенство рангов rank A = rank A = r влечетзасобойсовместностьсистемы(*).
61
Системы линейных уравнений
Если rank A = r , то существует несингулярная подматрица ~ r-го
A
порядка. Ее коэффициенты при неизвестных указывают нам – какие именно r неизвестных следует выбрать за базисные переменные, приписав оставшимся (n −r) неизвестным роль свободных параметров. Укороченная система r
линейных уравнений полностью эквивалентна исходной системе и имеет (согласнотеоремеКрамера) единственноерешениедлялюбогонаборазначений свободных параметров.
Следствие.
1)Если rank A = rank A и совпадает с числом n неизвестных, то система имеетединственноерешение.
2)Если rank A = rank A < n , то система имеет бесконечное множество решений.
Доводы:
Первое утверждение по сути представляет собой просто другую формулировкуправилаКрамера.
Равенство рангов коэффициентной и расширенной матриц говорит о
совместности системы. При этом |
число r = rank A = rank |
|
устанавливает |
A |
|||
количество базисных переменных, |
тогда как остальные (n − r) переменные |
играют роль свободных параметров и могут принимать любые значения. Каждому набору параметров, число которых бесконечно велико, соответствует своерешение.
Примеры.
1. Дана система линейных уравнений,
x1 +2x2 +3x3 = a4x1 +5x2 +6x3 =b7x1 +8x2 +9x3 = c
Установить соотношения между параметрами a, b и c, при которых система является несовместной.
Решение. Составим расширенную матрицу и преобразуем ее к ступенчатойформе:
|
1 |
2 |
3 |
a |
|
→r |
− 2r |
|
1 |
2 |
3 |
a |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
a |
|
b |
r |
b − 2a |
|
r |
→r |
− 2r |
b − |
|
||||||||||||||
|
4 |
5 |
6 |
2 |
2 |
1 |
|
2 |
1 |
0 |
|
|
2 |
1 |
0 |
2a . |
||||||
|
|
|
|
|
r |
→r |
−3r |
|
|
|
|
|
3 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
8 |
9 |
c |
3 |
3 |
1 |
|
4 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
c −3a |
|
|
|
|
|
|
c −3a |
|
|
|
|
− 2b |
||||||||||||
|
Если c −3a −2b ≠0 , |
|
то система является несовместной. В противном |
|||||||||||||||||||
|
случае одна из неизвестных является свободной переменной и, |
|||||||||||||||||||||
|
следовательно, система имеет бесконечное множество решений. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
62 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Системы линейных уравнений
2.Система линейных уравнений задана расширенной матрицей, представленнойвприведенно-ступенчатойформе:
|
1 |
3 |
−1 |
5 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
7 |
0 |
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||
A = |
0 |
0 |
3 |
0 |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
Выяснитьсколькорешенийимеетэтасистема.
Решение. Очевидно, что ранг матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных, равен рангу расширенной матрицы и совпадает с числом неизвестных. Следовательно, система уравнений имеет единственное решение – согласно следствию из обобщенного правила Крамера.
3.Выяснитьсколькорешенийимеетсистемалинейныхуравнений, заданная расширеннойматрицей
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1 |
||
|
||||||||
|
|
0 |
5 |
6 |
7 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
A = |
0 |
0 |
8 |
9 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
a |
|
|
|
|
|
при различных значениях параметра a.
Решение. Если a ≠ 0 , то rank A = 4 , тогда как rank A = 3. В этом случае система является несовместной и не имеет решений.
Если a = 0 , то rank A = rank A =3, что меньше числа неизвестных,
количество которых равно 4. Тогда одна из неизвестных должна рассматриваться как свободный параметр, и при этом система имеет решение при любых значениях этого параметра.
Следовательно, система имеет бесконечное множество решений.
63