- •Содержание
- •Глава 1: Матрицы
- •1.1. Введение
- •1.2. Основные понятия
- •1.3. Операции над матрицами
- •1.3.1. Произведение матриц
- •1.4. Типы матриц
- •1.6. Свойства матричных операций
- •Упражнения к главе 1.
- •Глава 2: Определители
- •2.1. Перестановки и транспозиции
- •2.2. Формальное определение
- •2.3. Свойства определителей
- •2.4. Вычисление определителей
- •2.4.1. Разложение определителя по элементам строки или столбца
- •Упражнения к главе 2
- •Глава 3: Обратная матрица
- •3.1. Терминология
- •3.2. Две важные леммы
- •3.3. Теорема об обратной матрице
- •3.3.1. Примеры вычисления обратной матрицы
- •3.4. Вычисление обратной матрицы методом элементарных преобразований
- •Упражнения к главе 3.
- •4.1. Ранг матрицы
- •4.2. Основные понятия
- •4.3. Метод Гаусса
- •4.3.1. Несколько примеров
- •4.4. Однородные системы линейных уравнений
- •4.4.1. Примеры
- •4.5. Правило Крамера
- •4.6. Обобщенное правило Крамера
- •Упражнения к главе 4
- •Литература
Обратная матрица
Следовательно, |
|
|
|
2 |
|
−5 |
|
||
A−1 = |
1 |
adj A = |
|
|
|||||
|
|
|
. |
|
|||||
det A |
|
|
|||||||
Тогда |
|
|
−1 |
|
3 |
|
|||
4 1 |
2 −5 7 |
−17 |
|||||||
|
|||||||||
X = |
|
|
|
|
= |
5 |
|
. |
|
|
3 1 −1 3 |
|
−12 |
||||||
Проверка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X A = |
7 |
−17 |
3 5 |
4 1 |
≡ B . |
||||
|
−12 |
|
|
= |
|
|
|||
|
5 |
1 2 |
3 1 |
|
3.4. Вычисление обратной матрицы методом элементарных преобразований
Предположим, что матрица A неособенная и изложим еще один метод нахождения обратной матрицы, основанный на элементарных операциях над строками. Алгоритм чрезвычайно прост по своей сути.
Сначала составляется расширенная матрица – присоединением к матрице A единичной матрицы E:
a |
L a |
|
1 |
L |
0 |
|
|
||||||
1,1 |
1,n |
|
|
|
|
|
( A | E) = L L L |
|
L L L . |
||||
|
L an,n |
|
0 |
|
1 |
|
an,1 |
|
L |
|
Затем с помощью элементарных операций над строками расширенная матрица преобразуется к виду (E | B).
И это все:
A−1 = B .
В данном контексте под элементарными преобразованиями понимается:
1)Умножение строки на любое ненулевое число.
2)Прибавление к одной строке любой другой, при желании предварительно умноженной на любое число.
Пример. Найти обратную матрицу для матрицы |
A = |
|
3 |
4 |
|
|
||||||||
|
|
|
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 4 |
|
1 0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. Преобразуем расширенную матрицу |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
( A | I ) = |
|
|
|
|||||||||||
Вычтем из первой строки удвоенную вторую строку: |
|
|
1 2 |
|
0 1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3 4 |
|
1 0 |
1 0 |
|
1 −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
→ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
0 1 |
|
|
0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обратная матрица
Затем вычтем первую строку из второй строки:
1 0 |
|
1 |
|
−2 |
1 0 |
|
1 |
|
−2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 2 |
|
|
|
|
−1 3 |
|
|
|||||||||||||
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Разделим вторую строку на 2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−2 |
|
|
||||||||||||||||
1 0 |
|
1 |
|
−2 |
|
|
1 0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 . |
|
|
|||||
|
|
|
|
−1 3 |
|
|
0 1 |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
0 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
1 −2 |
|
|
1 2 |
|
− |
4 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
= |
|
− |
1 |
|
3 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 −1 |
3 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
Проверка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
AA−1 = |
1 |
3 4 |
|
|
2 |
|
− 4 |
|
1 |
|
2 0 |
1 0 |
= E |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 2 |
|
|
−1 3 |
|
|
|
|
|
0 2 |
0 1 |
|
||||||||||||||||||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A−1 A = |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
− 4 |
|
3 4 |
|
1 |
|
2 0 |
|
1 0 |
|
= E . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
−1 3 |
|
|
1 2 |
|
|
0 2 |
|
0 1 |
|
|
Метод работает.
Упражнения к главе 3.
1. Найти миноры и алгебраические дополнения элементов второй строки
|
−3 |
2 |
3 |
|
|
||
матрицы |
|
4 |
1 |
6 |
|
|
|
A = |
. |
|
|
||||
|
|
7 |
5 |
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|||
|
|
|
|
−3 |
2 |
3 |
|
2. Дана матрица |
|
|
4 |
1 |
|
. Найти все недиагональные элементы |
|
A = |
6 |
||||||
|
|
|
|
7 |
5 |
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
матричного произведения A adj A . |
|
|
|
|
||
3. |
5 |
4 |
|
2 |
−6 |
Решить для X матричное |
|
Даны матрицы A = |
и |
B = |
7 |
. |
|||
|
3 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
уравнение AX = B. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
5 |
|
4. |
|
|
|
−2 |
4 |
0 |
|
Найти обратную матрицу для A = |
. |
||||||
|
|
|
|
3 |
−1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
46 |
|
|
|
Системы линейных уравнений
4. Системы линейных уравнений
4.1.Ранг матрицы
Говорят, что ранг матрицы A размерности m ×n равен r, если существует хотя бы одна несингулярная подматрица r -го порядка, тогда как любая подматрица более высокого порядка является сингулярной.
Если это определение озвучить в терминах определителей, то оно будет выглядеть примерно так:
Матрица A размерности m ×n имеет ранг r, если существует хотя бы один отличный от нуля определитель r-го порядка, тогда как определитель любой подматрицы более высокого порядка равен нулю.
Очевидно, что
rank A ≤ min{m, n}.
Для вычисления ранга матрицы можно использовать метод элементарных преобразований строк и столбцов – в точности тот самый метод, который применяется для вычисления определителей. Будет уместным напомнить основные операции метода:
1.Перестановка строк или столбцов.
2.Умножение строки ил столбца на ненулевое число.
3.Прибавление к строке (столбцу) другой строки (столбца), предварительно умноженной на любое число.
Строки или столбцы, содержащие одни нули, могут быть опущены. Целью элементарных преобразований является приведение матрицы
к ступенчатой форме, т.е. к квазитреугольному виду вроде того, что представлено ниже:
2 |
7 |
−2 |
0 |
1 |
||
|
0 |
6 |
1 |
−3 |
3 |
|
A = |
|
|||||
|
0 |
0 |
−1 |
4 |
2 |
|
|
|
Очевидно, что определитель третьего порядка, составленный из элементов первых трех строк и столбцов, отличен от нуля, и ранг матрицы равен 3:
2 7 − 2 0 6 1 = 2 6 (−1) ≠ 0 . 0 0 −1
Теорема. В результате элементарных преобразований матрицы ее ранг не изменяется.
Доказательство. Нам предстоит убедиться только в том, что в результате элементарных преобразований нулевой определитель остается нулевым, а ненулевой – ненулевым.
47
Системы линейных уравнений
1.Перестановка строк или столбцов матрицы изменяет только знак определителя.
2.При умножении строки (столбца) матрицы на ненулевое число определитель умножается на это число.
3.Определитель не изменяется, если к строке (столбцу) прибавляется другая строка (столбец).
Таким образом, в результате элементарных преобразований сингулярные матрицы остаются сингулярными, а несингулярные – несингулярными.
Пример. |
|
|
|
|
|
4 |
−1 |
5 |
2 |
|
|
|
1 |
0 |
−3 |
3 |
|
|
|
||||
1) Найти ранг матрицы A = |
7 |
−2 |
13 |
1 |
. |
|
|
||||
|
3 |
−1 |
8 |
−2 |
|
|
|
Решение. Вычтем из третьей строки первую и четвертую строки:
4 |
−1 |
5 |
2 |
|
|
4 |
−1 |
5 |
2 |
|
||
|
1 |
0 −3 3 |
|
|
|
1 |
0 |
−3 3 |
|
|||
|
|
r3 → r3 −r1 −r4 |
|
|
||||||||
A = |
7 |
−2 |
13 1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
. |
||
|
|
|
|
|
||||||||
|
3 |
−1 |
8 |
−2 |
|
|
|
3 |
−1 |
8 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
Если теперь прибавить третью строку, умноженную на (–2), (–3) и 2, соответственно, к другим строкам, то в четвертом столбце возникает максимально возможное число нулей:
4 |
−1 |
5 |
2 |
|
|
→r |
− 2r |
|
4 |
−1 |
5 |
0 |
||
|
1 |
0 |
−3 3 |
r |
|
1 |
0 |
−3 0 |
|
|||||
|
|
1 |
1 |
3 |
|
|
||||||||
|
0 |
0 |
0 |
1 |
r2 →r2 −3r3 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
. |
|||
|
|
|
|
|
r |
→r |
+ 2r |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
−1 |
8 |
− 2 |
|
4 |
4 |
3 |
|
3 |
−1 |
8 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее из четвертой строки вычтем первую строку и затем к полученной строке прибавим вторую:
|
4 |
−1 |
5 |
0 |
|
|
|
4 |
−1 5 |
0 |
|
|
|
|
4 |
−1 5 |
0 |
|
|||||
|
1 |
0 |
−3 0 |
|
|
|
|
1 |
0 |
−3 0 |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
−3 0 |
|
|
|||
|
|
r |
→r − r |
|
|
r |
→r |
+ r |
|
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0 |
0 |
0 |
1 |
4 |
4 1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
4 |
4 |
2 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
−1 |
8 |
0 |
|
|
|
|
−1 0 |
3 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Опускаем нулевую строку и на этом завершаем преобразования, поскольку стало очевидным, что существует подматрица третьего порядка, определитель которой отличен от нуля, и при этом не существует отличных от нуля определителей более высокого порядка:
48