учеб реология Арет

Последнее уравнение (3) называется реологическим уравнением тела Максвел-

ла.С помощью этого уравнения, например, можно проанализировать процесс релак-

сации напряжений в среде при постоянной деформации:

Решение дифференциального уравнения (4) ищем в виде:

откуда

Константу интегрирования С на ходим из условия, что в начальный момент вре-

Тогда процесс релаксации напряжений при постоянной деформации описывается уравнением

гда называется временем релаксации. (Рис. 1)

61

k32 t, 3 , 2 d 3d 2 3 2 1

k321 t, 1, 2 , 3 d 3d 2d 1 ...

где - деформация;

t – момент времени, в который определяется деформация;

- текущее время, переменная интегрирования;

- напряжение;

k – ядра интегрального уравнения.

Более простые выражения, как частные случаи уравнения (2_8_14), предложили Ли-

дерман [332] и Разовский [227]

где Е - мгновенный модуль упругости,

Арутюняном [31]

Работновым [9]

63

Этими уравнениями описывалась ползучесть разнообразных материалов – поли-

меров, бетона, металлов. Если нет явной необходимости использовать более слож-

ные интегральные уравнения, то для описания вязкоупругих свойств пищевых мате-

риалов можно использовать теорию линейно-наследственной ползучести [224], со-

гласно которой закон деформирования материал можно записать в виде уравнения

ядро которой можно просто определить испытаниями на ползучесть при постоян-

ных напряжениях.

Математически ядро этого уравнения часто представляют в виде линейной комби-

нации экспоненциальных функций :

В некоторых случаях можно использовать ядро Дюффинга

Для описания процесса релаксации напряжений можно уравнение (2_8_19)

с помощью преобразования Лапласа привести к виду

где R t - ядро интегрального уравнения (2_8_24) является резольвентой интегрального уравнения (2_8_19).

Подставим напряжение из уравнения (2_8_24) в уравнение (2_8_19)

64

f p - изображение;

p - параметр.

С помощью преобразования Лапласа можно доказать следующие простейшие свой-

ства, которые будут использованы в дальнейшем:

f x a e pa f p ,a 0.

Пользуясь выражениями (2.8.31), применим преобразование Лапласа к правой и ле-

вой части интегрального уравнения (2.8.28)

Откуда

1 K (p)

Применив к (2.8.33) обращение изображения получим искомый оригинал резольвен-

ты интегрального уравнения R(t ). Например, пусть ядро интегрального уравне-

ния линейной наследственной ползучести выражено через экспоненциальную функ-

цию и совершим преобразование этого оригинала:

p

Согласно формуле (2.8.33) получим изображение ядра резольвенты и совершим об-

ращение изображения, пользуясь свойствами преобразования Лапласа (2.831)

p

66

Тогда процессы деформации и изменения напряжений, согласно формулам (2.8.19) и

(2.8.24) можно описать выражениями

Эти выражения позволяют предложить простой способ определения ядра инте-

грального уравнения (2.8.19) из опытов на ползучесть при постоянном напряжении.

Пусть предистория материала таково, что перед опытом он находится в естествен-

ном начальном состоянии, которое в дальнейшем не вызывает в нем никаких изме-

нений, что математически можно выразить следующим образом:

Тогда уравнение (2.8.19) перепишем при условии, что до опыта было равно нулю, в

нулевой момент отсчета времени изменилось от нулевого напряжения до какого-то

Измерив непосредственно после приложения напряжений начальную деформацию,

можно вычислить модуль Е:

Продифференцируем уравнение (2.8.39) по времени и получим выражение для ядра интегрального уравнения:

Изложенный здесь подход использования интегральных уравнений применили Дорогин А.Д., Мальцев Л.Е. и Кучерюк В.И.[1] при исследовании вязкоупругих

67

свойств аортального клапана сердца человека. Авторы наблюдали нелинейную пол-

зучесть, однако кривые ползучести были удовлетворительным образом подобны,

поэтому опыты описывались аналитически в квазилинейной форме

Ядро уравнения принято в виде ядра Ржаницына-Колтунова

K(t) A tet t

Были найдены коэффициенты a=0,280; А=0,0274; b=0,166; Ek' =79,3 кгс/см2

и получено уравнение релаксации для линейной области тоже в виде интегрального уравнения типа Вольтерры.

1.Дорогин А.Д., Мальцев Л.Е., Кучерюк В.И. Вязкоупругие свойства ткани аортального клапана сердца человека// Механик композитных материалов.-1980.- №4.-С.692-698

Следует заметить, что в реологии вязкоупругость очень часто моделируется с помощью дифференциальных уравнений, состовляемых на базе символьных фор-

мул и наглядных механических моделей, великое множество которых имеют обще-

принятые названия авторов моделей, как то модели Максвелла, Кельвина-Фойгта,

Пойнтинга-Томсона , Шоффильда-Скотт-Блэраи другие модели. Однако период раз-

вития реологии, когда изобретали все новые и новые более сложные мехнические модели, видимо прошел также как период изобретения математических моделей неньютоновских жидкостей. Современный математический аппарат предлагает к этим проблемам деформаций и течения общие подходы, а вычислительные трудно-

сти стали более легко преодолимыми с распространением мощных персональных компьютеров. Тем не менее, механические модели полезны в силу своей наглядно-

сти и качественной сопоставимости с решениями многих проблем вязкоупругости

68

с помощью дифференциальных уравнений, как уже примере модели Максвелла бы-

ло показано в начале этого раздела.

Распространенность такого механического и математического моделирования де-

монстрирует работа Маковецкого Ю.В., Смолина Ю.Н. и Чуича , которые исследо-

вали механических свойств печени методом деформации сжатием.

Использована была модель Куна, состоящая из двух вязко-упругих элементов Мак-

свелла, соединенных параллельно.

s – общее напряжение в системе

s1 s2 - величины напряжений, полученных экстраполяцией к нулевому времени двух условно прямолинейных участков полулогарифмических графиков lns-t. t-

времена релаксации

E и E E - общий и релаксационные модули упругости.

Однако в диапазоне относительных деформаций 0.29 – 0.73 модель не работает.

Получены были эмпирические нелинейные зависимости для модулей упругости и вязкости первого демпфера.

А1=1990; А2=2300; В1=9; q1=7; q2=5,2; k=14

t2 – почти не зависит от деформации и равна 22,6 с

69

Маковецкий Ю.В., Смолин Ю.Н.,Чуич Г.А. Исследование механических свойств печени методом деформации сжатием. Вязко-упругие свойства.- Биофизика, М., т.25, вып.5, с. 877-881

Символьная формализация достаточно удобна для составления этих дифференциальных уравнений, поэтому полезно будет рассмотреть механическое и символьное моделирование вязкоупругих свойств типовых материалов немного подробнее.

2_9

2.9 Общая классификация реологических моделей пищевых сред

Классификация реологических моделей пищевых сред

70