учеб реология Арет

вой среды может изменять свою форму произвольным образом, поскольку скорости час-

тиц пищевой среды являются функциями времени и координат точки пространства, однак объем внутри контрольной поверхности содержит постоянную массу пищевой среды.

Тогда, поскольку по второму закону Ньютона скорость (производная по времени) измене ния количества движения элемента равняется сумме сил, действующих на этот элемент,

можно записать :

где F - главный вектор поверхностных сил, действующих только на частицы, лежа-

щие на внешней поверхности рассматриваемого объема жидкости, например силы гидро-

статического давления, действующие нормально к поверхности, а также касательные си-

лы трения об окружающую объем жидкости или силы трения об стенки канала аппарата

G - главный вектор массовых или объемных сил, действующие на все частицы рассмат-

риваемого объема жидкости. Например, силы тяжести, электростатические или магнитны силы.

Поверхностные и объемные силы можно тоже представить в виде интегралов :

G gdV

V

F n dS

S

где g - зависящий от пространственных координат приходящаяся на единицу массы век-

тор внешней силы;

n - поверхностная сила, отнесенная к единице площади; s – тензор напряжений в рассматриваемой точке.

22

Следовательно, второй закон Ньютона в интегральнодифференциальной форме теоре мы об изменении количества движения (см. курс теоретической механики) для рассматри ваемого элемента жидкости можно записать в виде :

При выводе уравнения энергии рассматривается также тот же элемент жидкости внутр произвольной замкнутой поверхности, которая движется вместе с жидкостью, представля собой термодинамически замкнутую систему . Следовательно, скорость изменения общей энергии элемента жидкости должна быть равна сумме количества тепла, передаваемого элементу в единицу времени и работе, совершаемой над элементом в единицу времени.

Этот энергетический баланс можно записать по аналогии с законами сохранения веществ и количества движения в следующей форме

V S

где U - внутренняя (потенциальная) энергия;

q – вектор теплового потока, направленный по внешней нормали к поверхности.

Влевой части уравнения записаны, соответственно, скорости изменения потенциальной

икинетической энергии элемента жидкости, отнесенные к единице массы жидкости В правой части уравнения первый интеграл представляет собой скорость притока тепла че-

рез полную поверхность выделенного элемента жидкости ( знак минус обусловлен направ лением вектора теплового потока по внешней нормали к поверхности), второй интеграл представляет работу в единицу времени массовых сил ,отнесенных к единице объема, дей ствующих на все частицы, заключенные внутри контрольной поверхности, третий инте-

грал представляет собой работу в единицу времени поверхностных сил приходящих на

23

единицу площади в любой точке поверхности. Поскольку все названные работы отнесены к единице времени, то это уравнение можно назвать уравнением баланса мощностей.

2_3

2.3 Дифференциальные уравнения неразрывности, движения и энергии Единообразная форма трех законов физики позволяет с помощью теоремы о ди-

вергенции интегралы по поверхности преобразовать к интегралам по объему, а за-

тем по правилу Лейбница дифференцирования определенных интегралов по пара-

метру поменять последовательность дифференцирования и интегрирования. Полу-

ченные уравнения дают возможность записать дифференциальные уравнения нераз-

рывности, движения и энергии пищевой среды, спроектировать эти уравнения на оси координат и решать различные краевые задачи течения, если известны дополни-

тельно реологические уравнения или уравнения состояния дисперсной пищевой среды,

Итак, после названных преобразований законы физики могут быть записан в ви-

де :

24

В прямоугольных координатах дифференциальный оператор и полный диффе-

ренциал определяются равенствами

i =1,2,3; vi - проекция скорости потока на ось хi

Тогда уравнение неразрывности для пищевой среды приобретает вид

v 0t

Следуя определению полной производной и раскрывая выражение для слагаемого,

содержащего дивергенцию, запишем

D v 0

Dt

ив проекциях на прямоугольную систему координат х,у,z

vx vy vz 0t x y z

Аналогично запишем уравнение движения

25

Проектируя это уравнение на оси прямоугольных координат x,y,z, получим уравне-

ния движения пищевой среды в скалярной форме :

После ряда подобных преобразований можно получить уравнение энергии в прямо-

угольных координатах

27

системы координат (рис.1 ). Ориентация площадки определяется единичным векто-

ром n , скорость течения среды вектором v . n - расстояние от начала координат до произвольной площадки, до основания тетраэдра.

На рисунке показаны три напряжения, которые вызваны силами, действующими в направлении оси x1. Первый индекс указывает на ориентацию поверхности, к кото-

рой приложена сила, а второй индекс на направление, вдоль которой действует сила.

Например, 31 обозначает тангенциальную силу, отнесенную к единице площади ,

т.е напряжение, действующую на грань, перпендикулярную оси x3 в направлении вдоль оси x1. Если обозначить площади граней тетраэдра, находящихся в координат-

ных плоскостях, через S1, S2 , S3 и стянуть тетраэдр в точку начала координат,

то можно составить уравнения равновесия для компонент силы, действующей на наклонную площадку:

F1 S1 11 S2 21 S3 31

F2 S1 12 S2 22 S3 32

F3 S1 13 S2 23 S3 33

29

Обозначив площадь наклонной площадки через S , то уравнения равновесия

можно записать так :

F1 S n1 11 n2 21 n3 31 S ni i1

F2 S n1 12 n2 22 n3 32 S ni i2

F3 S n1 13 n2 23 n3 33 S ni i3

где n1, n2 ,n3 - проекции нормального единичного вектора на оси координат.

Вектор силы можно представить в виде суммы компонент:

F i Fi

i

где di – единичные вектора вдоль ортогональных осей координат.

Подставив в это уравнение выражения компонент вектора силы из уравнений равно-

весия, получим

FS i nj ij

ij

Заметим, что для симметричного тензора s произведение на единичный нормальный вектор к наклонной площадке имеет вид:

n i nj ji i j

Значит сила, приходящаяся на единицу площади, может быть выражена следующим образом:

F nS

30