учеб реология Арет

Рассмотрим теперь кручение цилиндрического бруса кругового поперечного сече-

ния радиусом R, длиной L при угле закручивания W. Если длину бруса принуди-

тельно оставить постоянной, то эффект Пойнтинга проявиться в том, что на торцах цилиндра появится давление ( нормальные напряжения). Для конечного закручива-

ния, например, используем меру деформации Альманси

Запишем обычное уравнение обобщенного закона Гука в виде

51

где prs - тензор напряжений;

l - модуль упругости Ляме;

ev - объемная конечная деформация;

rs - символ Кронекера;

G - модуль сдвига или модуль жесткости; ers ,er ,e s - тензора конечных деформаций;

Gc - модуль поперечной упругости.

Приведем два из шести компонент тензорного уравнения (2_5_3_13):

Обобщенный закон упругости Рейнера с вводом модуля поперечной упругости может объяснить некоторые экспериментальные реологические эффекты типа Пойнтинга, когда при кручении бруса из некоторых материалов брус не удлиняется ,

а укорачивается. Поскольку эффект Пойнтинга наблюдался в экспериментах Рив-

лин для таких материалов органического происхождения как резина, то это явление целесообразно иметь ввиду при переработке органических пищевых материалов.

Если определить тензор скоростей деформации по Рейнеру в виде

То аналогично обобщенному закону (2_5_3_13) для упругих деформаций Рейнер предложил обобщенный закон для вязкого течения вида

53

где c - коэффициент поперечной вязкости.

В случае вращательного движения жидкости между двумя параллельными пласти-

нами с зазором Н и угловой скоростью W можно получить выражения для напряже-

ний вида

Если в середине верхней пластины имеется отверстие с вертикальной трубкой, то жидкость под действием этих напряжений будет перемещаться к центру диска и поднимается по трубке вверх в полном противоречии с центробежными силами и силами тяжести. Множество подобных эффектов наблюдается в практике перера-

ботки пищевых материалов. Например, сгущенное молоко начинает подниматься по вращающемуся в нем стержню наверх. Этот эффект называется эффектом Вейссен-

берга и следует учитывать при проектировании пищевых машин.

Особые реологические проблемы расчета пищевых машин возникают, когда связь между напряжениями сдвига и деформациями сдвига нелинейная ( неньютоновские жидкости) и когда пищевая среда одновременно при деформациях и течении прояв-

ляет свойства жидкостей и твердых деформируемых тел, ( свойства вязкоупругости и вязкопластичноупругости).

ЛИТЕРАТУРА

1, Филин А. 'П Прикладная механика твердого деформируемого тела.

Том 1, «Наука», М, 1975.

54

2 Мейз Дж Теория и задачи механики сплошных сред. Перевод с англ. Свешнико-

вой Е. И , «Мир», М , 1974

3.Федяевский К. К и др Гидромеханика. «Судостроение», Л., 1968.

4.Голубева О. В. Курс механики сплошных сред. «Высшая школа», М., 1972.

5.Лаптев Г Ф Элементы векторного исчисления. «Наука», М, 1975

6.Реинер М Реология «Наука», М., 1965.

2_6

2.6 Реологические уравнения сдвигового течения Реологические уравнения сдвигового течения связывают между собой напряжение сдвига и скорость сдвига .

с A 2

55

56

Приведенными в таблице реологическими уравнениями сдвигового течения не ограничивается полный набор подобных математических зависимостей между ско-

ростями и напряжениями сдвига. К этим уравнениям можно добавить не менее де-

сятка других из различных публикаций по реометрии. В истории реологии был пе-

риод, когда реологи весьма увлекались составлением таких зависимостей. Этот пе-

риод практически прошел по двум причинам. Во-первых, сложные уравнения тече-

ния затруднительно использовать при аналитическом решении практических инже-

нерных задач с помощью дифференциальных уравнений непрерывности, движения и энергии. В этом смысле составление сложных уравнения течения теряет практиче-

ский смысл и превращается в схоластическую и математически малоинтересную за-

дачу, поскольку любую экспериментальную совокупность данных вискозиметрии можно достаточно точно описать стандартными методами в виде рядов.

Во-вторых, доступность и мощность современных персональных компьютеров и распространенных математических пакетов программ (MathCad, MathLab итп) по-

зволяет практически большинство конкретных инженерных задач решать численно,

даже не задавая отдельно аналитическую зависимость между скоростями и напря-

жениями сдвига.

Короче, реально в реодинамике пищевых машин и процессов используются пер-

вые 4 уравнения течения, для которых получено достаточно много аналитических решений инженерных реодинамических задач. На нецелесообразность построения

57

сложных реологических уравнений сдвигового течения справедливо указывали та-

кие известные реологи, как академик П.А.Ребиндер, профессора В.М. Воларович и А.В. Горбатов , которые внесли су-

щественный вклад в реологию, в том числе в реологию пищевых продуктов.

В тоже время следует отметить, что критические замечания по поводу сложно-

стей реологических уравнений касаются в основном феноменологической реологии и реометрии, нацеленных на решение реодинамических задач расчета процессов и оборудования. Математические зависимости, полученные из обработки данных экспериментов и теории микрореологии и метареологии могут быть сколь угодно сложными. Здесь проблема совершенно иная – добиться максимальной адекватно-

сти математической модели изучаемому объекту и описываемому технологическому процессу.

Графически результаты феноменологической реометрии пищевых сред, не про-

являющих существенно явлений тиксотропии и реопексии, сводятся к набору 7 кри-

вых течения ( рис.2_6_1), где графики 1- ньютоновские жидкости, 2-3 - жидкости Оствальда-Де Виля при различной величине показателя степени в уравнении тече-

ния ( индекса течения), 4 – среды Шведова-Бингама, 5-6 – среды Гершеля-Балкли при различной величине показателя степени в уравнении течения ( индекса тече-

ния), 7 – общий вид кривой течения среды. Особую группу кривых течения и рас-

четную проблему представляют среды, проявляющие свойства тиксотропии и рео-

пексии при сдвиговых деформациях, что дает при реометрии кривые течения (рео-

граммы) с петлей гистерезиса (рис.2_6_2).

58

ных тел, между тем многие пищевые среды в деформационных процессах про-

являют одновременно упруги и вязкостные свойства. Для таких тел можно по-

строить ряд промежуточных моделей и такие пищевые среды называются вяз-

коупругими. Одним из простейших вязкоупругих моделей являются тела или жидкости Максвелла, механическая модель которой представляет собой после-

довательное соединение тел Гука и Ньютона, символьная формула имеет видM N H . Математическая модель Максвелла строится в предположе-

нии, что деформация ( пусть для определенности это будет деформация просто-

го сдвига) в некоторой точке среды представляет собой сумму упругой дефор-

мации и деформации течения и инерционными эффектами пренебрегаем:

где g – общая деформация сдвига; gH -упругая деформация тела Гука

gN - деформация течения тела Ньютона

Из реологических уравнений тел Гука и Ньютона запишем:

где m – коэффициент динамической вязкости,

G - модуль сдвига (модуль упругости второго рода).

Продифференцируем уравнение (1) по времени и подставим выражения (2):

H N ;

60