1.3. Вероятность события

Под вероятностью события понимается некоторая числовая характеристика возможности наступления этого события. Существует несколько подходов к определению вероятности: классическое определение вероятности, статистическая вероятность, геометрическая вероятность.

Согласно классическому определению вероятность события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к общему числу равновозможных элементарных исходов испытания:

Некоторые задачи можно решать разными способами – как по классическому определению вероятности с применением формул комбинаторики, так и с помощью теорем сложения и умножения вероятностей.

Пример 10. Среди 100 лотерейных билетов есть 10 выигрышных. Какова вероятность, что 2 наудачу выбранных билета окажутся выигрышными?

Решение. Решим задачу двумя способами.

1-й способ. Воспользуемся классическим определением вероятности.

Найдем число исходов, благоприятствующих появлению событию А:

определим число всех равновозможных исходов:

Тогда вероятность события А (наудачу выбранные два билета оказались выигрышными) равна

.

2-й способ. Воспользуемся теоремой умножения вероятностей для зависимых событий. Рассмотрим следующие события: А₁ – наудачу выбранный первый билет оказался выигрышным; А₂ – наудачу выбранный второй билет оказался выигрышным. Тогда А = А₁∙А₂.

Обозначим условную вероятность того, что второй билет выигрышный, если первый оказался выигрышным.

Применяя теорему умножения вероятностей для зависимых событий

,

получим

1.4. Случайные величины

Случайная величина является одним из основных понятий теории вероятностей. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин.

Представим основные сведения по теме «Случайные величины» в виде структурно-логической схемы (рис. 1. 5).

При решении многих практических задач важно знать числовые характеристики случайной величины, т. е. числовые параметры, характеризующие наиболее важные черты ее закона распределения. Основными среди них являются характеристики положения (математическое ожидание, медиана и др.) и характеристики рассеяния (дисперсия, среднее квадратическое отклонение и др.).

Рис. 1.5. Случайные величины

Пример 11. Предприниматель рассматривает возможность покупки акций трех предприятий, по каждой из которых известна доходность как отношение величины получаемого дохода за период времени к цене акции и вероятности возможных значений доходности.

Предприятие 1		Предприятие 2		Предприятие 3
Доходность (%), Х	Вероятность рх	Доходность (%), Y	Вероятность рy	Доходность (%), Z	Вероятность рz
5	0,2	3	0,1	1	0,1
7	0,3	7	0,4	6	0,4
9	0,4	10	0,3	10	0,25
11	0,1	15	0,2	20	0,25

Акции какого предприятия следует считать более доходными, если руководствоваться средним значением доходности? Акции какого предприятия являются менее рискованными (считается, что чем выше колеблемость доходности акций, тем больше их рискованность)?

Решение. Найдем математическое ожидание (среднее значение) доходности акций каждого предприятия:

Вычислим дисперсию (колеблемость доходности акций):

Таким образом, если руководствоваться средним значением, более доходными следует считать акции третьего предприятия. При этом менее рискованными являются акции первого предприятия.