Пример 5. Акционерное собрание компании выбирает из 50 человек президента компании, председателя совета директоров и 10 членов совета директоров. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Президента компании можно выбрать 50 способами из 50 человек, тогда председателя компании 49 способами, а остальных членов совета директоров способами.Всего таких соединений можно составить

(по правилу умножения).

Схемы выбора с возвращением означают, что выбранные элементы возвращаются в исходное множество.

Размещения с повторениями. Если в размещении каждый отобранный элемент перед отбором следующего возвращается обратно, то в этом случае рассматриваются размещения с повторениями.

Число размещений с повторениями обозначается и вычисляется по формуле:

,

где черта указывает на возможность повторения элементов.

Пример 6. В конкурсе по 5 номинациям участвуют 10 кинофильмов. Сколько существует способов распределения призов, если по каждой номинации установлены различные премии?

Решение. Каждый из вариантов распределения призов представляет собой комбинацию 5 фильмов из 10, отличающуюся от других комбинаций как составом, так и порядком. Поскольку каждый фильм может получить призы как по одной, так и по нескольким номинациям, одни и те же фильмы могут повторяться. Число таких комбинаций равно

Сочетания с повторениями. Если в сочетаниях из n по k некоторые из элементов или все могут оказаться одинаковыми, то такие сочетания называются сочетаниями с повторениями из n по k. Число сочетаний с повторениями обозначается и вычисляется по формуле:

Пример 7. Сколько наборов из 7 пирожных можно составить, если в продаже имеются 4 сорта?

Решение. Искомое число равно

Перестановки с повторениями. Если множество из n различных элементов разбивается на k групп так, что в первую группу попадают k₁ элементов, во вторую – k₂ элементов, в k-ю группу – k_m элементов, то число таких разбиений равно

где .

Пример 8. Наташа получила в подарок 10 просверленных шариков из оргстекла: пять белых, два красных и три голубых. Она продела в них нитку и надела ее как ожерелье на шею. Потом стала менять порядок расположения шариков, и каждый день ожерелье принимало другой вид. Сколько разных видов ожерелья может получить Наташа?

Решение. Имеем перестановки с повторениями:

(видов).

Замечание. Изменение расположения элементов, не меняющее порядка их следования (первый элемент «следует» за последним), называют циклической перестановкой. Если в примере 8 учесть, что ожерелье замкнуто, т. е. последний шарик примыкает к первому, тогда расположение первого элемента не имеет значения. В этом случае окажется, что возможны только 252 различных вида.

Пример 9. Сколько существует семизначных чисел, состоящих из цифр 4, 5 и 6, в которых цифра 4 повторяется три раза, а цифры 5 и 6 – по два раза?

Решение. Каждое семизначное число отличается от другого порядком следования цифр, при этом фактически все семь мест в этом числе делятся на три группы: на одни места ставится цифра 4, на другие – цифра 5, на третьи места – цифра 6. Таким образом, в нашем случае множество состоит из семи элементов и число таких чисел равно

Запишем основные формулы комбинаторики в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Формулы комбинаторики

	Без повторений	С повторениями
Сочетания
Размещения
Перестановки