8.2 Расчет валов на жесткость

При расчете динамических прогибов вала необходимо учитывать: радиальные перемещения сечений из-за имеющихся зазоровив подшипниках (таблицы 11, 12), начальную изогнутостьиз-за погрешностей его изготовления (таблица 13) и эксцентриситетыe1 и e1i

Рисунок 17 - Зависимость критической скорости от параметров: относительной приведенной массыустановленных элементов и относительной податливости пролетадля вала, имеющего на консоли постоянное поперечное сечение и ступенчатое в пролете

сосредоточенных масс и (рисунок 19).

Таблица 11 - Радиальные зазоры (Ад и А б), мкм, по основному ряду в радиальных подшипниках

Внутренний диаметр подшипников, мм	Подшипники качения
	однорядный шариковый	однорядный роликовый *		двухрядный сферический роликовый **
		взаимозаменяемый	невзаимозаменяемый
30—40	12—26	20—55	30—45	25-40
40—50	12—29	20—55	30—45	30-45
50—65	13—33	25—65	35—55	30—50
65—80	14—34	30—70	40—60	40—60
80—100	16—40	35-80	45—65	45—70
100—120	20—46	40—90	50—75	50—80
120—140	23—53	45—100	60—90	60—90
140—160	23—58	50—115	70—105	65-100
160—180	24—65	60—125	75—115	70—110
180—200	29—75	65—135	80—120	80—120
200—225	33—83	75—150	90—135	90-140
225—250	35—90	90—165	100- 150	100—150
250—280	40—100	100—180	110—165	110—170
280—315	45—105	110—195	120—180	120—180
315—355	50—115	125—215	135—205	140—210
355—400	55—125	140—235	150—225	150—230
400—450	—	160—260	165—245	170—260
450—500	—	180—290	185—275	190—290
* Короткие цилиндрические ролики и цилиндрическое отверстие. ** Цилиндрическое отверстие.

На основании развития метода привидения получены важные соотношения:

; (59)

Таблица 12 - Радиальные зазоры в подшипнике скольжения Номинальные диаметры вала в подшипнике скольжения при посадке Н7/е8 Зазоры ΔА и ΔБ, мкм (предельные) max min Св. 30 до 50 » 50 » 80 » 80 » 120 » 120 » 180 » 180 » 250 » 250 » 315 » 315 » 400 114 136 161 188 218 243 271 50 60 72 85 100 110 125	Таблица 13 - Начальная изогнутость ε (z) вала Отношение длины вала к его диаметру L/d Радиальное биение вала в точке приведения εВ, мм До 20 Св. 20 до 50 » 50 0,04 0,05 0,06 П р и м е ч а н и е. Радиальное биение шеек под ступицы перемешивающих устройств и нерабочих поверхностей вала не должно превышать данных значений, увеличенных в 1,5 раза.
	Рисунок 18 - Графики для определения безразмерных прогибов а - в пролете консольного вала ;, где;б - на консоли консольного вала;; в - однопролетного вала

для пролета АБ консольного и однопролетного валов:

; (60)

; (61)

для консоли БВ консольного вала:

; (62)

, (63)

где е_пр, е_iпр и е_1iпр - приведенные эксцентриситеты соответственно системы и сосредоточенных масс m_i и m_1i. Знак плюс в формуле (61) принимается для докритической, а минус - для закритической областей работы вала. Начальная изогнутость вала в точке приведения ε_В задается из соображений технологии изготовления вала. Параметр ε_В связан с изогнутостью (таблица 14) в любом сечении вала соотношением

(64)

Смещение Δ_В вала в точке приведения связано с зазорами в подшипниках соотношениями:

консольный вал

; (65)

однопролетный вал

. (66)

Формулы (64) и (65) вытекают из следующих более общих зависимостей: для пролета АБ консольного вала

; (67)

Рисунок 19 - Смещение оси вала и центров сосредоточенных на нем масс а - консольного вала; б - однопролетного вала

консольного участка БВ

; (68)

однопролетного вала

; (69)

Если принять, что начальные смещения вала равны нулю, а единственная масса m_i=m_1i=m закреплена на идеализированном (без учета массы вала) валу с эксцентриситетом e_i=e_1i=e, т.е., если m_пр=m; ε_В=Δ_В=0, тогда е_пр=е и формула (59) упрощается до уже известного выражения (12)

,

которое, следовательно, является частным случаем более общего условия (59), наглядно характеризующего влияние на динамический прогиб ряда важных параметров. Определив прогиб у_В и учитывая форму оси изогнутого вала по формулам (46), (48), можно найти прогибы у_z, и перемещения А_z других точек вала (см. рисунок 19):

; (70)

; ; (71)

, (72)

а также найти динамические смещения центров масс:

(73)

где ,, ε_li, ,вычисляются по формулам (64) - (70) при z=l_i и z=l_1i. Соотношения (71) позволяют перейти к проверке условий жесткости:

; , (74)

где и- допускаемые перемещения вала соответственно в пролете и на консоли.

В ряде случаев валы подвергаются воздействию постояннодействующей поперечной к оси вала силы Q (силы тяжести горизонтальных роторов, несбалансированные гидродинамические поперечные силы вертикальных валов мешалок и т.п.). И в этом случае метод приведения позволяет достаточно точно учесть ее влияние на прогибы и перемещения вала.

Для пролета АБ валов (см. рисунок 19), нагруженных поперечными силами Q₁, приведенная поперечная сила вычисляется по формуле

, (75)

а для консоли БВ вала (см. рисунок 19, а) - по формуле

. (76)

Тогда динамический прогиб в точке приведения В

. (77)

Это позволяет получить максимальные значения динамических перемещений сечений вала А_zjQ, A_z1jQ и центров масс деталей А_ljQ, A_l1jQ с учетом силы Q:

в пролете АБ однопролетного и консольного валов:

; (78)

;

на консоли БВ консольного вала:

; (79)

; .

Полученные соотношения (70) - (79) позволяют перейти к проверке условий жесткости ротора, если заданы допускаемые перемещения рассматриваемой конструкции ротора:

для пролета АБ

; (80)

для консоли БВ

. (81)

Например, для уплотнения валов аппаратов с мешалками значения иприведены в таблице14.

Таблица 14 - Допускаемые динамические перемещения вала (и, мм) в месте установки уплотнения

Частота вращения вала перемешивающего устройства, об/мин	Уплотнение
	торцовое	сальниковое	манжетное	гидравлический затвор
До 100 100-500 500-750 750-2900	0,25 0,25 0,15 0,10	0,10 - - -	0,15 0,15 0,10 -	0,25 0,25 0,25 -

Прочность. Для составления условий прочности вначале необходимо вычислить сосредоточенные силы (см. рисунок 19):

в пролете АБ

; (82)

на консоли БВ

, (83)

и приведенную центробежную силу собственной массы вала в точке приведения

.

Далее вал рассматривается как обычная двухопорная статически определимая балка, нагруженная сосредоточенными поперечными силами. Для этого строятся эпюры изгибающих и крутящих моментов, выясняются координаты опасных

1 - углеродистая сталь; 2 - легированная сталь Рисунок 20 - Зависимость масштабного фактора εМ от диаметра d и материала вала

сечений вала и проводится расчет на усталостную или статическую прочность по следующему условию:

, (84)

где - эквивалентное напряжение по третьей теории прочности. При нагружении вала поперечными силами Q_i значение допускаемого напряжения [σ] необходимо рассчитывать по формуле

, (85)

где К_σ - эффективный коэффициент концентрации напряжений (см. таблицу 14); n_min - минимальный запас прочности вала; ε_M - масштабный фактор (коэффициент влияния абсолютных размеров вала, см. рисунок 20); σ_-1 - предел выносливости материала вала, .

Если же к валу не приложены постоянно действующие поперечные силы Q_i, то величину [σ] можно рассчитать по формуле

, (86)

где σ_В - предел прочности материала вала (таблица 16).

Таблица 15 - Эффективный коэффициент К_σ концентрации напряжений

Предел прочности материала σВ, МПа
		Кσ
		для валов со шпоночной канавкой, выполненной фрезой								для валов с метрической резьбой
		торцовой				дисковой
400 500 600 700 800 900 1000 1200		1,30 1,38 1,46 1,54 1,62 1,69 1,77 1,92				1,51 1,64 1,76 1,89 2,01 2,14 2,26 2,50				1,45 1,78 1,96 2,20 2,32 2,47 2,61 2,90
Предел прочности материала σВ, МПа
	Кσ
	для валов с выточкой при h/r
	0,5								0,1
	при r/d
	0,01		0,02	0,03			0,05	0,10			0,01		0,02
400 500 600 700 800 900 1000 1200	1,88 1,93 1,98 2,04 2,09 2,15 2,20 2,31		1,79 1,84 1,82 1,95 2,00 2,06 2,11 2,22	1,72 1,77 1,82 1,87 1,92 1,97 2,02 2,12			1,61 1,66 1,71 1,77 1,82 1,88 1,93 2,04	1,44 1,48 1,52 1,55 1,59 1,62 1,66 1,73			2,09 2,15 2,21 2,27 2,37 2,39 2,45 2,57		1,99 2,05 2,11 2,17 2,20 2,28 2,35 2,49
Предел прочности материала σВ, МПа	Кσ
	для валов с выточкой при h/r
	1				2							3
	при r/d
	0,03		0,05	0,01			0,02	0,03			0,01		0,02
400 500 600 700	1,91 1,97 2,03 2,08		1,79 1,85 1,91 1,97	2,29 2,36 2,43 2,50			2,18 2,25 2,32 2,38	2,10 2,16 2,22 2,28			2,38 2,47 2,56 2,64		2,28 2,35 2,42 2,49
1	2		3	4			5	6			7		8

Продолжение таблицы 15

1	2	3	4	5	6	7	8
800 900 1000 1200	2,14 2,19 2,25 2,36	2,03 2,09 2,15 2,27	2,56 2,63 2,70 2,84	2,45 2,51 2,58 2,71	2,35 2,41 2,47 2,59	2,73 2,81 2,90 3,07	2,56 2,63 2,70 2,84

Таблица 16 - Предел прочности материала валов при поставке

Марка стали	σВ, МПа	Марка стали	σВ, МПа
Ст5 20 20Х 45 40Х 40ХН 12ХН3А	520 400 650 560 730 820 950	12Х2Н4А 18ХГТ 15ХМ 12Х18Н10Т 30ХГТ 25Х2ГТН	1100 1150 450 500 950 1500

Приложение 1

Таблица 1.1 - Плотность твердых материалов [7]

Материал	Плотность, кг/м3	Материал	Плотность, кг/м3
Алебастр Антрацит Апатит Асбест Бетон Винипласт Гипс кристаллический Глина сухая Гранит Зола Земля сухая Известняк Каолин Каучук Кварц Керамика кислотоупорная Кирпич обыкновенный Кокс Колчедан серый Кожа сухая Литьё каменное Мел кусковой Мрамор Парафин Паронит	2500 1600 3190 2600 2300 1380 2240 - 2700 2200 1800 2650 2200 930 2650 2600 1500 1300 5000 860 3000 2200 2600 900 1200	Песок сухой Поташ Пробка Резина Селитра натриевая Сода кристаллическая Соль каменная Сосна Стекло Текстолит Уголь древесный Уголь каменный Фаолит Цемент Эмаль Металлы Сталь чугун серый Медь катанная Латунь Алюминий Свинец	1500 2260 240 1500 2260 1450 2350 500 2500 1380 1450 1350 1730 2900 2350 7850 7250 8800 8500 2700 11400

Таблица 1.2 - Плотность жидких веществ и водных растворов в зависимости от температуры [7]

Вещество	Плотность, кг/м3
	0 С°	20 С°	40 С°	60 С°	80 С°	100 С°
Азотная кислота, 100% » » 50% Аммиак жидкий Аммиачная вода, 25% Анилин Ацетон Бензол Бутиловый спирт Вода Гексан Глицерин, 50% Диоксид серы (жидк.) Дихлорэтан Диэтиловый эфир Изопропиловый спирт Кальций хлористый, 25% раствор	1547 1334 639 918 1039 813 900 824 1000 677 1136 1434 1282 736 801 1239	1513 1310 610 907 1022 791 879 810 998 660 1126 1383 1254 714 785 1230	1478 1287 580 897 1004 768 858 795 992 641 1116 1327 1224 689 768 1220	1443 1263 545 887 987 746 836 781 983 622 1106 1264 1194 666 752 1210	1408 1238 510 876 969 719 815 766 972 602 1006 1193 1163 640 735 1200	1373 1212 462 866 952 693 793 751 958 581 996 1111 1133 611 718 1190
1	2	3	4	5	6	7

Продолжение таблицы 1.2

1	2	3	4	5	6	7
μ-Ксилол Метиловый спирт, 100% » » 40% Муравьиная кислота Натр едкий, 50% раствор » » 40% » » » 30% » » » 20% » » » 10% » Натрий хлористый, 20% раствор Нитробензол Октан Олеум, 20% Пропиловый спирт Серная кислота, 98% » » 92% » » 75% » » 60% Сероуглерод Соляная кислота, 30% Толуол Уксусная кислота, 100% » » 50% Фенол (расплавленный) Хлорбензол Хлороформ Четыреххлористый углерод Этилацетат Этиловый спирт, 100% » » 80% » » 60% » » 40% » » 20%	882 810 946 1244 1540 1443 1340 1230 1117 1157 1223 718 1922 819 1857 1845 1689 1515 1293 1161 884 1072 1074 ― 1128 1526 1633 924 806 857 904 947 977	865 792 935 1220 1525 1430 1328 1219 1109 1148 1203 702 1896 804 1837 1824 1669 1498 1263 1149 866 1048 1058 1075 1107 1489 1594 901 789 843 891 935 969	847 774 924 1195 1511 1416 1316 1208 1100 1189 1183 686 1870 188 1817 1803 1650 1482 1233 1138 847 1027 1042 1058 1085 1450 1556 876 772 828 878 923 957	831 756 913 1171 1497 1403 1303 1196 1089 1130 1163 669 1844 770 1798 1783 1632 1466 1200 1126 828 1004 1026 1040 1065 1411 1517 851 754 813 864 910 946	796 736 902 1147 1483 1389 1289 1183 1077 1120 1143 653 1818 752 1779 1765 1614 1450 1165 1115 808 981 1010 1022 1041 1380 1471 825 735 797 849 897 934	796 714 891 1121 1469 1375 1276 1170 1064 1110 1123 635 1792 733 1761 1744 1597 1434 1125 1103 788 958 994 1003 1021 1326 1434 797 716 783 835 885 922

Таблица 1.3 - Динамические коэффициенты вязкости воды [7]

Температура, С°	Динамический коэффициент вязкости, мПа·с (сП)	Температура, С°	Динамический коэффициент вязкости, мПа·с (сП)	Температура, С°	Динамический коэффициент вязкости, мПа·с (сП)
0 1 2 3 4 5 6 7	1,792 1,731 1,73 1,619 1,567 1,519 1,473 1,428	33 34 35 36 37 38 39 40	0,7523 0,7371 0,7225 0,7085 0,6947 0,6814 0,6685 0,6560	67 68 69 70 71 72 73 74	0,4233 0,4174 0,4117 0,4061 0,4006 0,3952 0,3900 0,3849
1	2	3	4	5	6

Продолжение таблицы 1.3

1	2		3		4		5		6
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20,2 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32		1,386 1,846 1,308 1,271 1,236 1,203 1,171 1,140 1,111 1,083 1,056 1,030 1,005 1,000 0,9810 0,9579 0,9358 0,9142 0,8937 0,8737 0,8545 0,8360 0,8180 0,8007 0,7840 0,7679		41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66		0,6439 0,6321 0,6207 0,6097 0,5988 0,5883 0,5782 0,5683 0,5588 0,5494 0,5404 0,5315 0,5229 0,5146 0,5064 0,4985 0,4907 0,4832 0,4759 0,4688 0,4618 0,4550 0,4483 0,4418 0,4355 0,4293		75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100	0,3799 0,3750 0,3702 0,3655 0,3610 0,3565 0,3521 0,3478 0,3436 0,3395 0,3355 0,3315 0,3276 0,3239 0,3202 0,3165 0,3130 0,3095 0,3060 0,3027 0,2994 0,2962 0,2930 0,2899 0,2868 0,2838

Приложение 2

Пример 1

На центрифуге типа ФГН-180 проводится разделение водного раствора гипса в количестве . Массовое соотношение твердой и жидкой фаз в исходной суспензии Т:Ж=1:3. Влажность образующегося осадка не должна превышать 20% масс (). Экспериментально установлено, что продолжительность центрифугирования=2 мин; выгрузки (среза) осадка=1 мин; объем фильтрата, полученного за один цикл,. Определить коэффициент заполнения ротора осадком и количество центрифуг. Плотность фильтрата пронять равной 1000 кг/м³ ().

1 Техническая характеристика центрифуги ФГН-180 (см. таблицу 8)

внутренний диаметр ротора D=1800 мм

частота вращения n=720 об/мин

фактор разделения Ф=520

рабочий объем ротора V_р=0,85м³

2 Продолжительность питания для достижения максимальной средней производительности

.

3 Продолжительность полного цикла центрифугирования

.

4 производительность центрифуги по фильтрату

.

5 Масса осадка, полученного за один цикл:

кг,

здесь - масса фильтрата, полученного за один цикл.

,

где - концентрация твердой фазы в суспензии (массовые доли).

;

.

6 Объем осадка, полученного за один цикл:

, м³,

где - плотность влажного осадка

,

где = 2240- плотность гипса (таблица 1, приложение 1)

.

7 Коэффициент заполнения барабана центрифуги осадком составит

.

8 Средняя производительность центрифуги по суспензии

,

где - концентрация твердой фазы в суспензии (объемные доли).

,

- плотность суспензии, кг/м³:

;

;

.

9 Количество центрифуг

.

Принимаем две центрифуги.

Пример 2

Отстойная центрифуга типа ОГН-1800 должна работать на водной суспензии мела. Определить производительность центрифуги по питанию. Температура суспензии 40°С. Размер наименьших частиц мела d = 2 мкм. Цикл работы центрифуги составляет 20 мин; из них 18 мин - подача суспензии, 2 мин - разгрузка осадка

Техническая характеристика центрифуги ОГН-1800(см. таблицу 8)

внутренний диаметр ротора D_вн=1800 мм

длина ротора L=700 мм

внутренний диаметр кольцевого слоя (диаметр борта) D₀=1300 мм

частота вращения n=720 об/мин

Производительность определяем по уравнению (7)

м³/ч.

Скорость осаждения частиц находим по выражению Стокса

.

Плотность мела (таблица 1, приложение 1), воды при 40°(таблица 2, приложение 1), коэффициент динамической вязкости воды при 40°(таблица 3, приложение 1).

Скорость осаждения под действием центробежной силы

Проверяем режим осаждения

т.е. режим ламинарный.

Находим

.

Принимаем .

Тогда производительность центрифуги

Пример 3

Выбрать центрифугу для разделения суспензии по следующим данным: требуемая производительность по суспензии ; по сухому осадку; массовая концентрация твердой фазы в суспензии; плотность твердой фазы -, жидкой. Целевой продукт - твердая фаза, размеры частиц ее лежат в пределах 10…100 мкм. Осадок рыхлый, требуется промывка его в центрифуге; измельчение осадка допустимо. Влажность осадка не должна превышать 20% (массовых)

Принять время полного цикла обработки суспензии .

1 Предварительный выбор центрифуги проводится на основе анализа свойств суспензии, указанных в исходных данных, и технических требований. Для этого необходимо рассчитать объемную концентрацию твердой фазы и объемную производительность центрифуги по суспензии.

Плотность суспензии

кг/м³.

Объемная концентрация суспензии

.

Объемная производительность по суспензии

м³/ч.

Необходимость хорошей промывки осадка и низкая его влажность указывает на возможность применения фильтрующих центрифуг общего назначения.

Низкая концентрация твердой фазы в суспензии и высокая дисперсность осадка исключают возможность применения центрифуг непрерывного действия. Рыхлость образующегося осадка и допустимость его дробления позволяют проводить разделение суспензии на центрифугах с ножевой выгрузкой осадка (таблицы 2,3).

Сравнивая требуемую производительность с данными таблицы 4, можно принять к установке центрифуги ФГН-90 и ФГН-125.

2 Для окончательного выбора центрифуги определяется коэффициент заполнения ротора центрифуги влажным осадком.

Производительность центрифуги по влажному осадку

кг/ч.

Плотность осадка

кг/м³.

Объемная производительность центрифуги по осадку

м³/ч.

Объем осадка, полученного за один цикл

.

Коэффициент заполнения рабочего объема ротора центрифуги

,

- для центрифуги ФГН-90 (рабочий объем ротора )

;

- для центрифуги ФГН-125 ()

.

Так как для фильтрующих центрифуг , принимаем центрифугу типа ФГН-90.

Приложение 3

Пример.

Подобрать и рассчитать центрифугу по следующим исходным данным:

Производительность по суспензии G_об, кг/ч 4200

Производительность по сухому осадку G_т, кг/ч 610

Концентрация твёрдой фазы х_т,% 15

Плотность твёрдой фазы _т , кг/м³ 1350

Плотность жидкой фазы _ж , кг/м³ 920

Минимальный размер частиц , мм до 30 мкм

Структура осадка – зернисто-рыхлая; суспензия нетоксична, огне- и взрывобезопасна.

Выполнив технологический расчет выбираем центрифугу ФГН-90.

1 Проверка условия виброустойчивости ротора центрифуги

1- плоский диск; 2 - обечайка; 3 - днище; 4 - вал; 5 - подшипник

Рисунок 21 - Ротор центрифуги и расчетная схема его консольного вала

Исходные данные.

Собственной массой вала и его переменным сечением пренебречь. Диаметр вала равен 125мм. Коэффициент заполнения барабана жидкостью =1, плотность обрабатываемой среды Материал барабана и вала – сталь марки 15ХМ (=7800 кг/м³).

Размеры барабана и вала указаны на рисунке 21.

1.1 Масса:

кольцевого плоского диска

цилиндрической обечайки

диска (днища) барабана

жидкости

заполненного жидкостью барабана

1.2 Сила тяжести:

кольцевого плоского диска

цилиндрической обечайки

диска (днища) барабана

жидкости

заполненного жидкостью барабана

1.3 Расстояние:

от центров масс деталей до точки В:

от центра массы барабана до края днища из условия равенства нулю суммы моментов относительно точки В

от центра массы барабана до центров масс деталей:

1.4 Вылет центра массы барабана

1.5 Моменты инерции вращающихся масс:

осевые:

экваториальные:

Следовательно, осевой и экваториальный моменты инерции барабана соответственно составят:

1.6 Критическая скорость вращения вала при условии, что вся масса барабана сосредоточена в точке В его крепления к валу:

1.7 Критическая скорость вала при учёте вылета l_c центра массы барабана от точки В крепления его на валу и с учётом массы барабана:

Критическая скорость с учётом всех действующих факторов:

где

Коэффициенты влияния:

Тогда

1.8 Выводы. Таким образом, критическая скорость вала: _кр=480 рад/с – без учёта вылета l_c и гироскопического момента; ^/_кр=257,4 рад/с – с учётом вылета l_c; ^с_кр=314 рад/с – с учётом вылета l_c и гироскопического момента. Следовательно, пренебрежение при расчётах вылетом и гироскопическим моментом способствовало завышению критической скорости на

100(480-314)/31452%, а пренебрежение гироскопическим моментом способствовало занижению критической скорости на

100(314-257,4)/31418%, что недопустимо в практических работах. Близкую к истинно ^с_кр=314 рад/с следует в заключение сопоставить с рабочей угловой скоростью =178 рад/с (1700об/мин) для проверки условия виброустойчивости /^с_кр=178/314=0,56<0,7. Таким образом, вал центрифуги является виброустойчивым (работает в докритической области).