Моя РПР
.docРасчетно-проектировочная работа №1
Тема: Расчет на прочность балки при изгибе
Исходные данные
q = 18 кН/м;
[] = 160 МПа (сталь);
Е = 2∙105 МПа;
[]р = 20 МПа (чугун);
[]сж = 80 МПа (чугун);
a = 1 м.
Исходная схема нагружения изображена на рисунке 1.
Рисунок 1 – Исходная схема нагружения
Решение
1. Вычерчиваем расчетную схему балки (рисунок 2). Определяем реакции опор и строим эпюры поперечной силы и изгибающего момента.
Направив реакции опор в точке B вверх и в точке С вверх (горизонтальная реакция НС заведомо равна нулю), составим уравнения моментов относительно опор B и С
(1)
Отсюда находим RВ
Аналогично уравнение моментов относительно опоры В
(2)
Отсюда находим VС
Для проверки составим уравнение равновесия относительно оси y
y = 0: Vc + Rв – q ∙ 3а - F = 0. (3)
2,3qa + 1,7qa – 3qa – qa;
4qa + 4qa = 0:
Условие проверки выполняется, значит проведенные выше вычисления верны.
Разбиваем балку на три силовых участка CD, АC, ВС; для каждого участка применяем метод сечений и составляем уравнения поперечной силы и изгибающего момента.
Определяем характерные ординаты поперечной силы и изгибающего мо-
мента и строим их эпюры (рисунок 2).
Рассмотрим участок CD:
; (4)
;
; (5)
Аналогично рассмотрим участок AС:
; (6)
(7)
Аналогично рассмотрим участок AB:
0 ≤ z3 < 2a;
(8)
(9)
(10)
Эпюра изгибающих моментов построена на растянутом волокне (рисунок 2)
Рисунок 2 – Расчетная схема балки
2 Производим подбор сечений балок из условия прочности по нормальным напряжениям
(11) где Ми мах = ;
Ми мах = = 24,8 кН∙м.
Отсюда находим расчетный осевой момент сопротивления сечения:
(12)
Выполняем подбор сечений стальной балки в следующих вариантах.
а) Стальное двутавровое по ГОСТ 8239-89 (рисунок 3).
По сортаменту выбираем двутавр №18a, для которого Wx = 159 см3.
Площадь сечения двутавра Aдв = 25,4 см2.
Так как расчетный момент сопротивления меньше, чем момент сопротивления для двутавра по сортаменту, следовательно, считаем процент недогрузки двутавра
б) стальное прямоугольное, (рисунок 4).
Р исунок 3 – Двутавровое сечение
Осевой момент сопротивления находим по формуле
(13)
Откуда ширина b равна
(14)
Принимаем b кратное двум, т.е. b = 62 мм, тогда h = 124 мм.
Площадь прямоугольного сечения
(15)
Р исунок 4 – Прямоугольное сечение
в) стальное круглое (рисунок 5).
Осевой момент сопротивления
(16)
Откуда диаметр d
(17)
Принимаем d = 118 мм.
Площадь круглого сечения определяется по формуле
(18)
Рисунок 5 – Круглое сечение
Выполняем сравнение экономичности сечений стальной балки по их площадям
Таким образом, можно сделать вывод о том, что самым целесообразным
является двутавровое сечение.
г) чугунное тавровое сечение (рисунок 6)
Предварительно найдем геометрические характеристики сечения.
Определяем координаты центра тяжести.
Рисунок 6 – Чугунное сечение
Выбираем оси (x, y) начальной системы координат, относительно которых определяем координаты (xi, yi) составных частей сечения:
xi = 0;
yi = 0;
х2 = 0;
.
Находим площади составных частей сечения
(19)
А = A1 + A2; (20)
А = 8b2 + 8b2 = 16b2 .
Определяем координаты центров тяжести. Так как сечение симметричное, то ось у и совпадают:
;
; (21)
,
где - ординаты центра тяжести элементов сечения относительно оси x.
.
Определяем центральный осевой момент инерции сечения на основании теоремы сложения. Через найденный центр тяжести сечения проводим новые вспомогательные оси хс и ус, параллельные осям х и у, и вычисляем осевой момент инерции сечения относительно этих осей, пользуясь формулами перехода к параллельным осям:
(22)
(23)
(24)
где - осевые моменты инерции сечения,
- ординаты центра тяжести элементов сечения относительно оси .
равны:
равны:
Подставляя найденные числовые значения в формулы (23) и (24), получим
Подставляем найденные значения в формулу (22)
Располагаем заданное сечение рационально, учитывая, что чугун хуже сопротивляется растяжению, чем сжатию. Для этого, глядя на эпюру изгибающих моментов, сечение переворачиваем так, чтобы в растянутой зоне напряжения были меньше по модулю, чем в сжатой зоне (рисунок 7).
σсж
усж
н.л.
ур
σр
Рисунок 7 – Расположение сечения оптимальным образом
Определяем осевые моменты сопротивлений для растянутых и сжатых слоев сечения балки
(25)
(26)
Подставляем числовые значения, получим
Определим размеры сечения чугунной балки по сжимающим и растягивающим волокнам
(27)
(28)
Откуда получим:
Подставляем числовые значения, получим
Найдем площадь сечения
Анализируя выше рассмотренные сечения, видим, что наиболее экономичным является двутавровое сечение, т.к. в этом случае будет меньший расход материала; это показывает следующее соотношение площадей
3 Построим все сечения в одном масштабе с эпюрами нормальных напряжений (рисунок 8). Для чего найдем нормальные напряжения для всех сечений по формуле:
(29)
Результаты вычислений приведены в таблице 1.
Таблица 1 – Результаты расчета нормальных напряжений
-
Двутавр
Прямоугольник
Круг
Тавровое
сечение
159
158,9
161,2
155,9
156
153,76
20,3
155,9
156
153,76
46,15
Рисунок 8 – Сечения стальной, чугунной балки с эпюрами нормальных
напряжений
4 Проводим полную проверку прочности для балки двутаврового профиля.
4.1 Выполняем проверку прочности по опасным точкам второго типа (т.С), используя следующие данные и формулы: h=180мм; b = 100 мм; b0 = d = 5,1 мм; t = 8,3 мм; Ix = 1430 см4; Sx = 89,8 см3; Qmax = 1,3qa.
(30)
Допускаемое касательное напряжение найдем по III теории прочности:
τ = 0,5 ∙ [σ]; (31)
τ = 0,5 ∙ 160 = 80 МПа.
Подставляем числовые значения, получим
Отсюда следует, что условие прочности выполняется
4.2 Определяем нормальные , касательные и главные напряжения в опасных точках сечения балки (т.А), где одновременно возникает неблагоприятное сочетание большого изгибающего момента и поперечной силы по формулам:
(32)
(33)
(34)
где
- площадь отсеченной части сечения, см2;
Sxотс – статический момент отсеченной части сечения, см3; bi – ширина сечения, см;
Ix – момент инерции сечения, см4.
Полученные данные сводим в таблицу 2.
Таблица 2 – Результаты расчета напряжений двутавровой балки
|
уi, см |
, МПа |
см2 |
см |
см3 |
см |
МПа |
МПа |
МПа |
1 |
-9 |
-147,3 |
0 |
- |
0 |
- |
0 |
0 |
-147,3 |
2 |
-8,17 |
-133,7 |
8,3 |
8,58 |
71,2 |
10 |
0,27 |
0,0005 |
-133,7 |
2| |
0,51 |
5,27 |
0,2074 |
-133,9 |
|||||
3 |
0 |
0 |
- |
- |
89,8 |
0,51 |
6,65 |
6,65 |
-6,65 |
4| |
8,17 |
133,7 |
8,3 |
8,58 |
71,2 |
0,51 |
5,27 |
133,9 |
-0,2074 |
4 |
10 |
0,27 |
133,7 |
-0,0005 |
|||||
5 |
9 |
147,3 |
0 |
- |
0 |
- |
0 |
147,3 |
0 |
Статический момент отсеченной части сечения определяется по формуле
. (35)
По полученным значениям напряжений строим эпюры нормальных , касательных и главных напряжений (рисунок 9).
Рисунок 9 – Эпюры нормальных, касательных и главных напряжений для двутавровой балки
4.3 Для опасной точки третьего типа определяем графически главные напряжения, для чего строим круг Мора (рисунок 10). Опасными точками 3-го типа являются точки 4| и 2|, выбираем точку 4|, для которой = -0,2074 МПа.
4.4 Проверяем прочность в точке 4| по четвертой теории прочности согласно неравенству:
Таким образом, сечение прочно по главным напряжениям.
Рисунок 10 – Расчетная схема напряженного состояния
5 Пользуясь универсальным уравнением метода начальных параметров, определим линейные и угловые перемещения.
Составляем универсальное уравнение упругой линии балки (УУУЛБ), используя универсальное уравнение
(37)
где y(z) - прогиб на последнем участке заданной балки, мм;
y0 - геометрический начальный параметр, прогиб, мм;
- угол поворота в начале координат, град;
- статический начальный параметр, момент,
Q0 – поперечная сила в начале координат,
- действующий внешний момент,
Fi – внешняя сила, Н;
qi – внешняя равномерно распределенная нагрузка, Н/м;
- абсциссы точек приложения внешних нагрузок, м.
Выбираем начало координат в крайнем левом сечении балки и считаем его общим для всех участков. До этого переворачиваем балку точкой опоры В влево в начало координат (рисунок 11).
Рисунок 11 – Схема нагружения для определения прогиба и угла поворота
Для последнего правого участка заданной балки составляем УУУЛБ
(38)
Находим начальные параметры у0 и из граничных условий