2. Основні методи інтегрування

2.1. Метод безпосереднього (табличного) інтегрування

Безпосереднім (табличним) інтегруванням називається обчислення інтегралів за допомогою таблиці основних інтегралів і основних властивостей невизначеного інтеграла.

Розв’язані в розділі 1 приклади 1.3 – 1.4 ілюструють цей метод. Розглянемо ще певну кількість прикладів.

Приклад 2.1. Знайти інтеграли:

1) ; 2); 3).

Розв’язання. Зауважимо, що приклади 1) і 2) було розв’язано в складі прикладів 1.4 (9 і 10) з використанням властивості 6 невизначеного інтеграла. Застосуємо до знаходження цих інтегралів інший підхід.

1) Наявність в підинтегральному виразі множника 9 не дає змогу ототожнити його з табличним інтегралом 11. Слід в підкоренному виразі винести цей множник за дужки:

2) Наявність в підинтегральному виразі множника 3 не дає змогу ототожнити його з табличним інтегралом 15. Отже,

3)

Приклад 2.2. Знайти інтеграли

1) ; 2).

Розв’язання

1) Спочатку застосуємо властивості невизначеного інтеграла 4 і 5, тобто представимо інтеграл від алгебраїчної суми функцій у вигляді алгебраїчної суми інтегралів і винесемо сталі множники за знаки інтегралів. Потім скористуємось табличними інтегралами 2 і 4:

.

Зауважимо, що на практиці не прийнято записувати проміжкові довільні сталі, що виникають при окремому інтегруванні доданків. В кінцевому результаті записують єдину довільну сталу С, позначаючи нею алгебраїчну суму всіх окремих довільних сталих.

2) Аналогічно попередньому прикладу спочатку застосуємо властивості невизначеного інтеграла 4 і 5, а потім скористуємось табличними інтегралами 3, 4 і 7:

В наступних прикладах знаходження інтегралів розпочи­нається з перетворення підинтегральних виразів.

Приклад 2.3. Знайти інтеграли:

1) ; 2);

3) ; 4);

5) ; 6).

Розв’язання.

1)

.

2)

.

3)

.

4)

.

5)

.

6)

.

2.2. Метод заміни змінної (підстановки)

Суть цього методу полягає у введенні нової змінної інтегрування, що дає змогу звести інтеграл, який не обчислюється безпосередньо, до табличного або відомого інтеграла. Метод ґрунтується на властивості інваріантності формул інтегрування.

2.2.1. Властивість інваріантності формул інтегрування

Теорема.

Будь-яка формула інтегрування зберігає свій вигляд при підстановці замість незалежної змінної х довільної функції , що має неперервну похідну, тобто якщо

,

то

. (2.1)

Зауваження

1. Твердження (2.1) теореми можна записати у розгорнутому вигляді:

. (2.2)

2. В основі доведення цієї теореми лежить властивість інваріантності форми першого диференціала.

Приклад 2.4.

(табличний інтеграл 2, ).

На основі (2.1) справедливо:

, де – довільна функція з неперервною похідною.

Зокрема, підставляючи послідовно ,,, маємо

;

;

і т.д.

Отже, властивість інваріантності формул інтегрування значно розширює таблицю інтегралів.

З відомих формул для диференціалів

випливає справедливість наступних рівностей:

; (2.3)

; (2.4)

. (2.5)

Перехід

називають введенням функцій під знак диференціала. В рівностях виразів (2.4) і (2.5) під знак диференціала введеноі, відповідно.

Операція введення функції під знак диференціала виконується з ціллю використання властивості інваріантності формул інтегрування у вигляді (2.2). Розглянемо умови їх застосування і наведемо приклади.