Іі. Інтеграли виду

, ,(5.6)

Для знаходження інтегралів (5.6) рекомендуються наступні заміни

: заміна ;

: заміна ;

: заміна .

Приклад 5.4. Знайти інтеграли

1) ; 2); 3).

Розв’язання.

1)

.

2)

.

3)

.

Зокрема, при обчисленні інтегралів виду

(5.7)

(– натуральне число)

доцільно застосувати формули

, звідки ; (5.8)

, звідки . (5.9)

Формули (5.8) та (5.9) дозволяють послідовно знизити степінь тангенса або котангенса.

Приклад 5.5. Знайти інтеграли

1) ; 2).

Розв’язання.

1)

.

2)

.

Ііі. Інтеграли виду

(5.10)

у випадках

ІІІ.1. (5.11)

ІІІ.2. (5.12)

ІІІ.3. (5.13)

Ііі.1. , де .

Підинтегральна функція змінює знак при заміні на(тобто є непарною відносно).

Рекомендована заміна: . Зокрема, це відноситься до інтегралів виду

, (– цілі числа,).

Приклад 5.6. Знайти інтеграли

1) ; 2); 3).

Розв’язання.

1) Підинтегральна функція містить у непарному степені (тобто є непарною відносно), тому застосуємо заміну, звідки.

Зручно спочатку перетворити підинтегральний вираз так, щоб виділити і диференціал нової змінної.

.

2) Підинтегральна функція є непарною відносно .

.

.

3)

.

Розклад підинтегральної функції на елементарні дроби має вигляд:

.

.

звідки .

звідки .

; ;

; ;.

Отже,

.

.

Тому

ІІІ.2. , де .

Підинтегральна функція змінює знак при заміні на(тобто є непарною відносно).

Рекомендована заміна: . Зокрема, це відноситься до інтегралів виду

, де (– цілі числа).

Приклад 5.7. Знайти інтеграли

1) ; 2).

Розв’язання.

1. Підинтегральна функція є непарною відносно .

.

2)

.

ІІІ.3. , де .

Підинтегральна функція не змінюється при заміні знаків у іодночасно (тобто є парною відносноіодночасно).

Рекомендована заміна: . Зокрема, це відноситься до інтегралів виду

і , де(– ціле).

Зауважимо, що умова означає: степені чисельника і знаменника є одночасно парними або непарними числами. Для інтегралів

більш ефективною є підстановка

.

Для підстановки з тригонометричних формул

випливає, що .

Аналогічно для підстановки

.

Отже, справедливо

(5.14)

(5.15)

Приклад 5.8. Знайти інтеграли

1) ; 2);

3) ; 4).

Розв’язання.

1) Підинтегральна функція є парною відносно іодночасно:

.

Застосуємо підстановку .

.

2) Підинтегральна функція є парною відносно іодночасно

.

Застосуємо підстановку .

.

3) Підинтегральна функція є парною відносно іодночасно. Застосуємо підстановку.

.

4) Підинтегральна функція не змінюється з одночасної заміни натана. Застосуємо підстановку(5.14).

;

;

Отже,

.

У випадку – парне число для інтегралів видузастосовують заміну (5.14), а для інтегралів видузастосовують заміну (5.15).

Приклад 5.9. Знайти інтеграли

1) ; 2).

Розв’язання.

.

2)

.