IV Інтеграли виду

(5.16)

де – цілі невід’ємні числа.

Підинтегральна функція має вигляд добутку парних невід’ємних степенів синуса і косинуса. В цьому випадку застосовують формули зниження степеня:

, (5.17)

, (5.18)

(5.19)

Приклад 5.10. Знайти інтеграли

1) ; 2); 3).

Розв’язання.

1)

.

2) Використовуючи тригонометричні формули зниження степеня (5.17) – (5.19), будемо послідовно зводити заданий інтеграл до табличного.

.

3)

.

V. Інтеграли виду

, ,

де m і n – дійсні числа

Для обчислення інтегралів даного виду використовуються тригонометричні формули:

, (5.20)

, (5.21)

(5.21)

Приклад 5.11. Знайти інтеграли

1) ; 2).

Розв’язання.

1) .

За формулою (5.20)

2) Розглянемо .

Підинтегральний вираз перетворюється наступним чином:

За формулою (5.20)

.

За формулою (5.22)

Тому

.

5.3. Інтеграл виду

Даний інтеграл раціоналізується заміною . Дійсно

,

де – раціональна функція від.

Приклад 5.12. Знайти інтеграли

1) ; 2).

Розв’язання.

1) ;

.

2) .

.

.

Таким чином,

.

Отже,

.

6. ІНТЕГРУВАННЯ ІРРАЦІОНАЛЬНИХ ФУНКЦІЙ

Розглянемо інтеграли від деяких простіших ірраціональних функцій, які за допомогою певних підстановок можна звести до інтегралів від раціональних функцій.

6.1. Інтеграли виду

, (6.1)

де – натуральні числа;

–раціональна функція аргументів .

Такі інтеграли раціоналізуються підстановкою

, (6.2)

де – найменше спільне кратне знаменників дробів

.

Дійсно,

,

де – раціональна функція від(оскільки– цілі числа).

Приклад 6.1. Знайти інтеграли

1) ; 2);

3) ; 4).

Розв’язання.

1) Найменшим спільним кратним знаменників дробів іє 6:

НСК(2,3) = 6. Тому застосуємо підстановку .

.

2) Представимо даний інтеграл у вигляді:

.

Найменшим спільним кратним знаменників дробів іє 4. Тому застосуємо підстановку.

.

Виділимо цілу частину

.

3)

.

Запишемо розклад підинтегральної функції на елементарні дроби:

.

.

Таким чином,

.

Повернемося до змінної ():

.

4) .

Одержано інтеграл від неправильного раціонального дробу. Виділяючи цілу частину, маємо

.

Для знаходження останнього інтегралу запишемо розклад підинтегральної функції на елементарні дроби:

,

звідки

.

Маємо,

.

Повертаючись до змінної (), одержимо кінцевий результат:

.