14_08_18_ТАУ_1,2_Лекционный курс

где Ai , ψi – новые постоянные.

При αI < 0 получаются затухающие колебания (рис. 4.4, г), а при αI > 0

– расходящиеся колебания (рис. 4.4, е).

При αI = 0 корни будут мнимыми и в системе возникают незатухающие колебания (рис. 4.4, д).

32

Рисунок 4.5 - Переходные процессы в звеньях второго порядка Вычисление корней просто лишь для характеристических уравнений

первой и второй степени. Существуют общие выражения для корней уравнений третьей и четвертой степени, но эти выражения громоздки и практически не применяются. Для уравнений более высоких степеней вообще невозможно написать общие выражения для корней через коэффициенты характеристического уравнения.

4.3. Частотные оценки качества

Продолжительность переходного процесса и перерегулирование можно приближенно оценить по виду амплитудно-частотной характеристики.

В переходном процессе возникает перерегулирования, если график А(ω )

имеет «горб» (рис. 4.6).

δ

Рисунок 4.6 - Зависимость величины перерегулирования от вида АЧХ

33

Переходной процесс будет монотонным, если dA(ω ) < 0 (рис. 4.7). dω

Рисунок 4.7 - Зависимость величины перерегулирования от вида АЧХ (переходной процесс без перерегулирования)

На основе частотных характеристик (АФХ, АЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ) могут быть получены следующие динамические оценки систем при гармонических воздействиях:

установившееся значение yуст,

показатель колебательности H ,

резонансная (собственная) частота ω p ,

полоса пропускания ωп ,

частота среза ωс ,

частота фазового сдвига ωπ ,

запас устойчивости по амплитуде H и по фазе ϕ .

Начальное значение амплитудно частотной характеристики определяет

Показатель колебательности характеризует склонность системы к колебаниям. Считается допустимым, если 1 H 1.5 .

Частота ω p , при которой АЧХ замкнутой системы имеет максимальное

значение, называется резонансной частотой, на этой частоте гармонические колебания проходят через систему с максимальным усилением.

34

Понятие полосы пропускания ωп , частоты среза ωс , запаса устойчивости по амплитуде и по фазе наиболее просто может быть дано на основе логарифмических частотных характеристик замкнутой устойчивой системы (рис. 4.8, 4.9).

Рисунок 4.8 - Полоса пропускания Полоса пропускания ωп (рис. 4.8) - диапазон частот, в пределах которого

амплитудно-частотная характеристика достаточно равномерна для того, чтобы обеспечить передачу сигнала без существенного искажения его формы. В полосе пропускания сосредоточена основная энергия сигнала (не менее 90%). Ширина полосы обычно определяется как разность верхней и нижней

ω = 0. Этот уровень соответствует 20lg(0.707) = −3.01 дБ.

Точка пересечения ЛАЧХ с осью абсцисс (рис. 4.9) называется частотой

этой точке входной сигнал проходит через систему без изменения (поэтому говорят, что на частоте среза система теряет усилительные свойства).

Частота среза ωс косвенно характеризует длительность переходного

35

L(ω )

ωC H

ϕ (ω )

ϕ ωπ

Рисунок 4.9 - Логарифмические частотные характеристики замкнутой устойчивой системы

Если переходной процесс имеет одно–два колебания, то время достижения переходной характеристикой первого максимума также можно определить по частоте среза:

π

ωc

Точка пересечения ЛФЧХ с линией ϕ = −180O (−π ) называется частотой

фазового сдвига ωπ . Если ЛАЧХ на этой частоте проходит через ноль или имеет положительное значение, то система не устойчивая.

Склонность системы к колебаниям характеризуется запасом устойчивости по амплитуде H и по фазе ϕ (рис. 4.9). Запас по фазе определяется на частоте

среза ωс , запас по амплитуде - на частоте фазового сдвига ωπ .

Допустимым считается запас по амплитуде не менее 6 дБ и запас по фазе не менее 30 градусов. Системы (звенья), у которых фазовая характеристика не

пересекает ординату 180o (−π ) , всегда устойчивы.

36

Основное влияние на качество переходного процесса оказывает форма средней части частотной характеристики.

В связи с этим логарифмическую частотную характеристику разомкнутой цепи системы L(ω ) делят на три области, причем область низких частот, в

основном, определяет точность работы в установившемся режиме. Область средних частот, в основном, определяет качество переходного процесса.

Наклон L(ω ) близ частоты среза ωс характеризует колебательность переходного процесса. Так наклон −20дБ дек при ω = ωс соответствует

свойствам апериодического звена, что обеспечивает переходной процесс без колебаний в замкнутой системе.

На рис. 4.10 изображена зависимость колебаний в системе от наклона ЛАЧХ в области частоты среза.

δ = 25%

Рисунок 4.10 - Зависимость колебательности системы от наклона ЛАЧХ При наклоне ЛАЧХ 20 дБ на декаду переходной процесс в системе

регулирования апериодический (рис. 4.10, а, б, кривая 1). При наклоне ЛАЧХ 40 дБ на декаду переходной процесс в системе регулирования колебательный с перерегулированием 15% (рис. 4.10, а, б, кривая 2). При росте наклона ЛАЧХ до 60 дБ на декаду перерегулирование возрастает до 25% (рис. 4.10, а, б, кривая 3).

5.Структурные схемы систем автоматического управления

5.1.Элементы структурных схем

Структурной схемой называют схему, составленную из элементов, каждый из которых совершает математическую операцию преобразования

37

входного сигнала в выходной. Элементы структурной схемы не обязательно должны совпадать с конструктивным выполнением реальных устройств.

Основные элементы структурных схем.

•Элемент функционального преобразования. Наиболее часто функциональное преобразование записывают в виде передаточной функции, где выходной сигнал определяют через входной сигнал в виде зависимости:

Рисунок 5.1 - Элемент преобразования (стрелкой показано направление передачи сигнала)

• Узел сравнения:

X1(S) Y(S)

X2 (S)

Рисунок 5.2 - Узел сравнения.

• Суммирующий узел:

X1(S) Y(S)

X2 (S)

Рисунок 5.3 - Узел суммирования.

• Узел разветвления:

X1(S) X1(S)

X2 (S)

Рисунок 5.4 - Узел разветвления

5.2. Преобразование структурных схем

38

При анализе и синтезе систем автоматического управления очень часто цепи последовательного и параллельного соединения звеньев преобразовывают в одно звено, которое имеет эквивалентную передаточную функцию сложной схемы соединения звеньев. Для этого существуют правила преобразования структурных схем.

5.2.1. Последовательное соединение звеньев

Таким образом, эквивалентная передаточная функция цепочки последовательно соединенных звеньев равняется произведению передаточных функций этих звеньев.

5.2.2. Параллельное соединение звеньев

xn(s)

WN(S)

Рисунок 5.6 - Цепь параллельно соединенных звеньев

39

При параллельном соединении звеньев эквивалентная передаточная функция равняется сумме передаточных функций, входящих в эти звенья:

Таким образом, эквивалентная передаточная функция цепочки параллельно соединенных звеньев равняется сумме передаточных функций этих звеньев.

5.2.3. Звено, охваченное отрицательной обратной связью

Рисунок 5.7 - Звено, охваченное отрицательной обратной связью

Для определения выходного сигнала Y(S) запишем систему уравнений:

Цепь звеньев от входа до выхода системы называется прямым каналом регулирования.

Цепь звеньев от выхода до входа в обратном направлении называется обратной связью.

40