KonspektOKPMRES
.pdfЗадача: Черный ящик с «прямоугольной АЧХ». Имеется устройство размером со спичечный коробок. Измеряем АЧХ одним тоном и получаем ФНЧ с прямоугольной АЧХ. Что в черном ящике?
-Ищу трехфазную жену: чтобы на кухне была хозяйка, в постели - любовница, в гостях – красавица.
-Ну, и как, нашел?
-Нашел, но только со сдвигом по фазе: Она на кухне - красавица, в постели - хозяйка, в гостях - любовница!
Контрольные вопросы
1.Дайте определение и физический смысл комплексного коэффициента передачи.
2.Какие Вам известны алгоритмы расчета частотной характеристики?
3.Опишите последовательность моделирования АЧХ в Circuit Maker.
4.Как экспериментально снять АЧХ и ФЧХ устройства?
5.Как снять АЧХ и ФЧХ устройства с помощью компьютера?
41
7. Анализ чувствительности электронных схем
Воробьянинов почувствовал, что его сейчас будут бить и, возможно, ногами…
Чувствительностью схемы называют степень изменения выходного параметра от изменения входного или внутреннего параметра.
Входная чувствительность определяет минимальный уровень входного сигнала, при котором устройство выполняет свою работу.
Внутренняя чувствительность показывает зависимость изменения выходного параметра от изменения выходного параметра. Так, одной из основных задач расчета схем является определение допуска на элементы, исходя из заданного диапазона изменения АЧХ. В перечень элементов заносят не только имя и номинал элемента, но и его допуск: R1 10k ±5%. Допуск на элемент зависит от:
•диапазона отклонения выходного параметра;
•чувствительности схемы к изменению внутреннего параметра.
8.1. Понятие внутренней чувствительности схем
Анализ чувствительности используется для оценки отклонений выходных параметров от номинальных значений за счет нестабильностей параметров элементов объекта. Это позволяет:
•определить процент выхода годных объектов, требования к точности реализации параметров элементов;
•найти наихудшие режимы работы объекта с точки зрения выполнения технического задания;
•оценить стабильность выходных параметров объектов при наличии дестабилизирующих факторов в виде колебаний температуры, напряжений источников питания и т.п.;
•сравнить различные варианты объекта проектирования, имеющих одинаковые номинальные значения выходных параметров, на основе которого можно выбрать вариант менее чувствительный к изменениям внутренних и внешних параметров.
8.2. Матрица и коэффициенты чувствительности
Анализ чувствительности заключается в определении матрицы чувствительности Аi, элементами aij которой являются коэффи-
42
циенты чувствительности i-го выходного параметра по j-му внутреннему (или внешнему) параметру
aij = ∂yi /∂xj , |
(8.1) |
где yi - i-й выходной и xj - j-й внутренний параметры. Формулы, явно выражающие коэффициенты чувствительности
через известные параметры объекта, могут быть получены в редких случаях, когда имеется аналитическая зависимость выходных параметров от внутренних параметров Y=F(X). В общем случае формулы Y=F(X) не известны и для анализа чувствительности применяют численные методы.
Универсальным методом расчета коэффициентов чувствительности, т.е. применимым для любых выходных параметров, является метод приращений. Этот метод основан на численном дифференцировании зависимости yi(xi) в некоторой точке x0:
aij = ∂yi∂xj ≈ yi/ xj |
(8.2) |
при i=1,2,...,l; j=1,2,...,m; l— число выходных параметров, чувствительность которых определяется; m - число изменяемых внутренних параметров; xj - малое приращение j-го внутреннего параметра.
Достоинство метода приращений заключается в простоте реализации, универсальности и возможности распараллеливания вычислительного процесса. Однако этот метод имеет и ряд существенных недостатков. Во-первых, это невысокая точность расчета коэффициентов чувствительности, связанная с тем, что зависимости yi(xi) являются, как правило, нелинейными, а (8.2) основана на линейной аппроксимации этих зависимостей. Во-вторых, для вычисления коэффициентов чувствительности по m внутренним параметрам требуется m+1 раз рассчитывать численным методом вектор выходных параметров с использованием ММ объекта, что связано со значительными затратами машинного времени.
В практических приложениях широко используется понятие относительного коэффициента чувствительности
aij = ∂yi /∂xj xi /yj,, |
(8.3) |
43
где xj и yi - номинальные значения внутреннего и выходного параметров. Если номинальные значения xj или yi могут принимать нулевые значения, то формула (8.3) непригодна. В этом случае используют понятие полуотносительного коэффициента чувствительности
aij = xj ∂ yj /∂ xj или aij = (1/ yj) ∂ yj /∂ xj |
(8.4) |
8.3. Анализ чувствительности при расчете частотной характеристики с помощью функции Parameter Sweep
Чтобы найти коэффициенты чувствительности, например, на основе АЧХ, в пакете CM нужно выполнить следующие действия:
1.Ввести схему и установить моделирование частотной характеристики цепи (Simulation -> Analyses Setup -> AC)
2.Установить окно сканирования параметров: Simulation -> Analyses Setup -> Parameter Sweep. Например, для чувствительности по R1 стартовое значение устанавливается номинальным, а конечное – на 10% больше.
Рис. 8.1. Окно Parameter Sweep
3. В режиме редактирования вызывается пробник и указывается точка схемы при моделировании (например, выход схемы). В пробнике должен быть знак U (напряжение). Далее появляется окно (рис.8.2.), в котором надо поставить отметку в квадрате возле AC(dB).
44
Рис. 8.2. Окно Run-Time Test Point
4. Запускаем моделирование и получаем два графика: при R1=10k и при R=11k. На графике находим частоту, на которой разность частотных характеристик U(дБ) максимальна. Тогда полуотносительный коэффициент чувствительности схемы
a(R1) = Umax(дБ)/10% [дБ/%] =0.4 дБ/% (к примеру)
5. Если задано допустимое отклонение частотной характеристики Uдоп, то величина допуска на элемент равна ± Uдоп/a, т.е. при Uдоп=2 дБ допуск на элемент составляет
R/R =± Uдоп/a(R1) = ±2/0.4 = ±5%
8.4. Статистический метод анализа чувствительности методом Monte-Carlo
Опция Monte-Carlo позволяет анализировать схему методом статистического моделирования (рис.8.3). Устанавливая Simulation -> Analyses Setup -> Monte-Carlo, получаем окно, в котором выбирается число статистических испытаний (Simulation Runs), начальное значение генератора случайных чисел (Seed), законы распределения этих чисел Uniform – равномерный, Gaussian – нормальный, Worst Case –крайние значения.
Далее устанавливается общий допуск на резисторы, емкости, индуктивности, транзисторы и источники питания. Можно также установить индивидуальный допуск на элементы схемы.
45
Рис. 8.3. Окно установок метода Monte-Carlo
В типовом случае число моделирований M≥20 (<5% статистической погрешности), закон распределения – гауссовый. Допуски на элементы задаются согласно рассчитанным коэффициентам чувствительности. При этом допустимое отклонение на один элемент выбирается из условия U1=Uдоп/√K, где K – количество элементов в схеме.
После установки опций метода Monte-Carlo пробником указывают анализируемую точку схемы как при оценке чувствительности и запускают моделирование. В результате получаем M графиков частотной характеристики. Если из M испытаний N оказались за пределами допуска, то оценка вероятности выпуска годного изделия составит P = (M – N)/M
Контрольные вопросы
1.Что такое допуск на элемент?
2.Что такое чувствительность электронной схемы?
3.Дайте определения коэффициентов чувствительности схемы.
4.Как рассчитывается чуствительность с помощью функции Parametre Sweep?
5.Как проанализировать параметрическую чувствительность схемы методом Monte-Carlo?
46
9. Оптимизация параметров электронных схем
На вопрос "Как настроение?" компьютерщик дает ответ:
-Имеет оптимальные настройки, подходящие большинству пользователей.
9.1.Постановка задачи оптимизации при схемотехническом проектировании
Поиск рационального технического решения при выбранном физическом принципе действия относится к задачам структурного синтеза. Если ищется наилучший вариант структуры, то говорят о задаче структурной оптимизации. Это наиболее сложные задачи проектирования, слабо поддающиеся формализации.
Значительно проще задача параметрической оптимизации, когда требуется обеспечить наилучшие параметры устройства при заданной его структуре. Оптимизация состоит в поиске вектора внутренних параметров X*, для которых достигается экстремум целевой функции Ψ(X)
Ψ(X*) = maxX Ψ(X) |
(9.1) |
при ограничении на вектор внутренних параметров X X0. Следует отличать оптимизацию от расчета, когда просто реша-
ется уравнение Ψ(X*) = Ψ0.
Решение задачи (9.1) называется критерием оптимизации. Если накладываются ограничения, то это условный экстремум. Иначе - безусловный экстремум.
Аналитическое (явное) решение (9.1) можно получить, например, методом неопределенных множителей Лагранжа. Однако из-за иррациональности функционала Ψ(X) аналитическое решение находится редко.
Задача: Имеется некий источник E с внутренним сопротивлением r, нагруженный внешним сопротивлением R. При условии максимизации мощности в нагрузке найти:
•оптимальное значение R при фиксированном r;
•оптимальное r при постоянном R.
Чаще получают численные решения путем многошаговых итерационных процедур. Поисковые процедуры различаются порядком взятия производных от целевой функции.
47
• методы нулевого порядка (без производной): методы покоординатного спуска и случайного поиска. Наиболее простые и наименее требовательные к виду функционала Ψ(X), однако медленно сходящиеся. Позволяют найти глобальный экстремум.
•методы первого порядка: градиентный (наискорейшего спуска).
•метод второго порядка: метод Ньютона.
Пусть необходимо решить задачу Ψ* = min Ψ. Это эквивалентно решению уравнения dΨ/dX=0 при условии dΨ2/d2X>0.
dΨ/dX
X
Рис. 9.1 Метод Ньютона
Решение задачи находят методом последовательных приближений (итераций). Берут первую точку Ψ` и строят для нее касательную Ψ`` до пересечения с нулевой осью X=X*. Значение Ψ`(X*) является следующей точкой приближения. Процедура останавливается, когда |Ψ`(X*)| окажется меньше наперед заданного числа ε0.
9.2. Оптимизация частотной характеристики по критерию Байеса
Критерий Байеса имеет целевую функцию |
|
ΨБ = ΣI=1,kCi|K*(jωi)- K(jωi)|2, |
(9.2) |
которая представляет собой взвешенное коэффициентами Ci среднеквадратическое отклонение желаемой АЧХ K*(jω) от реальной АЧХ K(jω) на множестве частот ω1, ω2,... ωk.
48
Смысл оптимизации Байеса состоит в минимизации среднеквадратического отклонения желаемой от реальной АЧХ
Ψ*Б = minx ΨБ
при ограничениях на вектор внутренних параметров X X0 (например, номиналы элементов не могут принимать отрицательные значения).
Критерий Байеса дает наилучшее в среднем приближение, хотя отклонения в отдельных точках могут быть велики.
K(f)
f
Рис. 9.2 Оптимизация АЧХ по критерию Байеса
9.3. Оптимизация частотной характеристики по минимаксному критерию
Целевая функция минимаксного критерия представляет собой наибольшее отклонение в пространстве квадратичных отклонений АЧХ:
Ψмм = maxi{|K*(jωi)- K(jωi)|2} |
(9.3) |
Цель минимаксного критерия – обеспечение минимума максимального отклонения:
Ψ*mm = minx Ψm при ограничении X X0.
Как правило, решение сводится к одинаковым и минимальным отклонениям на всех частотах ωi.
49
9.4.Метод границ
Вметоде границ задается верхнее K2 и нижнее K1значение АЧХ как функция от частоты (коридор)
K1(jωi)< K*(jωi)< K2(jωi).
Предполагается, устройство состоит из некоторого количества последовательно включенных типовых звеньев. Программа методом случайного и направленного поиска перебирает значения параметров элементов звеньев. Фиксируются такие вектора параметров, для которых АЧХ устройства попадает в заданный коридор. Если заданный коридор не обеспечивается выбором параметров элементов, то увеличивают количество звеньев фильтра. Таким образом, метод границ является примером простейшей структурной оптимизации.
Контрольные вопросы
1.Чем оптимизация отличается от расчета?
2.Сформулируйте задачу оптимизации при схемотехническом проектировании.
3.Что такое критерий Байеса?
4.Что такое минимаксный критерий?
5.Что такое метод границ?
50