KonspektOKPMRES

6. Статический режим электронных схем

Вы знаете Закон Ома? Ома – знаю. Закон – нет.

6.1. Понятие статического режима

Электрическая схема состоит из моделей элементов и соединений между ними. Модели элементы сводятся к некоторому соединению источников тока и напряжения, а также индуктивностей, конденсаторов и сопротивлений. Параллельно включенные элементы образуют ветви (flow). Соединения образуют узлы (Node). Всегда должен присутствовать общий узел (земля), который обозначается через 0. Остальные n узлов могут обозначаться в произвольном порядке.

Статический режим – это расчет схемы по постоянному току. В этом случае емкости представляют собой разрыв цепи, а индуктивности – короткое замыкание.

6.2. Линейная схема с временной и частотной точки зрения

Линейная схема ничего не добавляет во входной сигнал, кроме его масштабирования.

1) Схема является линейной с временной точки зрения, если выполняется принцип суперпозиции:

Пусть на вход схемы подан сигнал x1 и на выходе наблюдается сигнал y1=y(x1); пусть на вход схемы подан сигнал x2 и на выходе наблюдается сигнал y2=y(x2). Тогда схема будет линейной, если при подаче на вход сигнала x1+x2 на выходе получим сигнал y1+y2:

y(x1+x2)=y1+y2

2) Схема является линейной с частотной точки зрения, если спектр выходного сигнала F(y) не содержит иные, чем на входе частотные составляющие:

Fi(y)=kiFi(x)

При подаче на вход линейной схемы гармонического сигнала во всех точках схемы сохраняется гармонический сигнал.

31

6.3. Алгоритм расчета статического режима линейных схем

В основе расчета схемы по постоянному току лежат методы контурных токов и узловых потенциалов:

где R = [ Rij ], i,j=1,n – матрица контурных сопротивлений; G = [ Gij ], i,j=1,n – матрица узловых проводимостей; V = [Vi], i,j=1,n – вектор-столбец узловых потенциалов; I = [Ii], i,j=1,n - вектор-столбец источников тока;

n – количество узлов схемы, не считая нулевого узла заземле-

ния.

На практике чаще используется метод (6.2). Здесь I – заданные источники тока, а вектор V необходимо найти.

Математическая модель схемы полностью определяется матрицей узловых проводимостей G и вектором задающих источников тока I. Вектор узловых проводимостей V не известен; его компоненты необходимо найти путем решения системы уравнений. Матрица G формируется следующим образом:

1.Диагональные элементы Gii называются собственной проводимостью узлов и определяются по правилу: собственная проводимость i-го узла равна сумме проводимостей всех ветвей, подключенных к i-му узлу.

2.Внедиагональные элементы Gij называются взаимной проводимостью между узлами i,j и определяются как взятой со знаком минус суммой проводимостей всех ветвей, включенных между i- м и j-м узлами (i≠j).

32

6.4. Алгоритм расчета статического режима нелинейных схем

На рис. 6.1 дана графическая интепретация алгоритма расчета статического режима.

5V Eп/R

R1

1k

D1

I*

Iнач

U* Eп

Рис. 6.1. Графический метод расчета статического режима

Расчет СХ нелинейной схемы осуществляется в виде многошагового итерационного процесса:

1.Выбирается точка начального приближения Iнач.

2.Производится линеаризация в этой точке.

3.Решается линейное уравнение методом узловых потенциалов U*

4.Подставляется в функционал для нелинейной модели I’=f(U*) и

определяется относительная ошибка ε=|I’-I*|/I*.

5. Повторяются итерации 2-4, пока ε превышает допустимую величину ε0 или число шагов меньше максимально допустимого Nmax. Последнее необходимо для исключения зацикливания.

6.5. Последовательность моделирования статической характеристики в пакете Circuit Maker

Моделирование статической характеристики проводится в следующей последовательности.

1. Вводится принципиальная схема и редактируются ее компоненты.

Источник Vs3 нужен для переворота фазы получаемого тока.

33

Рис. 6.2. Стенд для снятия статической характеристики

2. Вызывается окно установок статического режима Simulation -> Analyses Setup -> DC.

Рис. 6.3.Окно установок режима DC

В окне Primary указывается источник напряжения, который будет откладываться по оси X.

Вводятся значения минимальное, максимальное и шаг. В окне Secondary вводится источник, который будет отражаться на графике параметрически. Здесь берется значительный шаг, чтобы число линий на графике было небольшим.

3.Запускается моделирование нажатием кнопки «Бегущий человечек» на панели инструментов.

4.Пробником-курсором указывается точка схемы для измерения тока.

5.Анализируются полученные графики статических характеристик.

34

Контрольные вопросы

1.Что такое статический режим работы схемы?

2.Дайте понятие линейности схемы с временной и частотной точки зрения.

3.Опишите методы расчета линейных схем.

4.Каков алгоритм расчета нелинейной схемы?

5.Какова последовательность моделирования статического режима?

35

7. Моделирование частотных характеристик

Что такое АЧХ? – Амплитудно-частотная характеристика!!! А точнее. – Ну, это уже вопрос на засыпку.

7.1. Расчет фильтра в домашнем задании к лабораторной работе №3

Задано: Частота среза или центральная частота фильтра f0 равна номеру варианта в кГц. Добротность фильтра равна 10. Характеристическое сопротивление равно 1кОм.

Расчет: Из уравнений 2πf0L=1k и 1/2πf0С=1k находим L и C. Если в схеме один резистор, то резистор последовательно с реактивным элементом в Q раз меньше характеристического сопротив-

ления, т.е. 100 ом. Резистор параллельно реактивному элементу – 10 кОм.

Если в схеме два резистора, то последовательный резистор равен 50 Ом, а параллельный – 20 кОм.

7.2. Понятие частотной характеристики

Понятие частотной характеристики вытекает из определения схемной функции.

Передаточная функция по напряжению для схемы

где U1(p) и U2(p) – изображения по Лапласу входного и выходного напряжения.

Для цепей с сосредоточенными параметрами передаточная функция может быть представлена в виде отношения полиномов K(p)=N(p)/D(p). Корни полинома числителя N(p) называются нулями, а корни полинома знаменателя D(p) – полюсами передаточной функции. На комплексной плоскости нули обозначаются кружочками, а полюсы – крестиками.

Из понятия передаточной функции (7.1) вытекает определение комплексной частотной характеристики. Заменяя p на jω, получим соответствующие частотные характеристики схемы. Частотные характеристики характеризуют свойства линейных цепей в частотной области. При возбуждении гармоническим источником тока или напряжения, сигнал во всех точках схемы также остается гармони-

36

ческим, но с разными амплитудой и фазой. Важнейшей частотной характеристикой является комплексный коэффициент передачи по напряжению K(jω):

K(jω)=K(p) p=jω=K(ω)exp{jϕ(ω)} (7.2)

Физический смысл K(jω). Коэффициент характеризует изменение амплитуды и фазы гармонического сигнала от частоты при его прохождении через линейную схему. При этом зависимость модуля комплексного коэффициента передачи K(ω) от частоты называют амплитудно-частотной характеристикой цепи (АЧХ). Зависимость разности фаз входного и выходного сигнала ϕ(ω) от частоты называют фазовой характеристикой цепи (ФЧХ).

Формы представления K(jω). Экспоненциальная форма (7.2) может быть преобразована в алгебраическую форму:

K(jω)=ReK(jω)+jImK(jω)=A(ω)+jB(ω), (7.3)

где A(ω) – четная, а B(ω) – нечетная функция от ω;

A(ω) = K(jω) cosϕ(ω), B(ω) = K(jω) sinϕ(ω);

K(jω) =√(A2(ω)+ B2(ω)), ϕ(ω)=arctgB(ω)/A(ω);

L(jω)=20lg K(jω) .

Построение графиков K(jω). При построении АЧХ в широком диапазоне частот используется логарифмический масштаб как по оси Y=|K(jf)|, так и по оси частот X=f, f=ω/2π. Модуль |K(jf)| выражается в децибеллах и откладывается линейно по оси Y. Необходимо знать, что 3дБ – это 2 раза по мощности и √2 раз по напряжению.

При построении фазовой характеристики ϕ(jf) по оси X используется линейный масштаб. При построении АЧХ узкополосных фильтров часто также применяют линейный масштаб по оси частот

X.

7.3. Алгоритм расчета частотной и фазовой характеристики

Для расчета ЧХ могут использоваться три метода:

37

а) символьный б) численно-символьный в) численный

Первые два метода основаны на представлении моделируемой ЧХ, например, комплексного коэффициента передачи, в виде

K(jω)=N(jω)/D(jω)=

= (a0+a1(jω)+…+am(jω)m)/( b0+b1(jω)+…+bn(jω)n) (7.4)

Всимвольном методе используются алгоритмы, определяющие

коэффициенты ai, bi в (7.4) в виде аналитических выражений (формул), куда входят символические обозначения параметров элементов схемы. Этот метод применяется для схем с небольшим числом

элементов, поскольку объем вычислений и, соответственно, затраты времени на получение формул пропорциональны n4 и с увеличением n резко возрастают. Достоинством символьного метода является возможность расчета ЧХ по формуле (7.4) при произвольных значениях параметров элементов схемы после однократного получения

выражений ai и bi. Возможна аналитическая оптимизация параметров схемы.

Вчисленно-символьном методе также используется представление ЧХ в виде (7.4), однако коэффициенты полиномов предварительно определяются численно через конкретные значения параметров элементов схемы. Этот метод характеризуется меньшими затратами времени ЭВМ, чем символьный, но быстрым ростом погрешностей значений коэффициентов ai и bi при увеличении m и n.

Всовременных пакетах программ схемотехнического проектирования применяется численный метод моделирования ЧХ. Здесь

производится вычисление значений ЧХ, например, K(jω), для заданного множества частот ω1, ω2,…, ωN :

Алгоритмы расчета численных значений K(jω) на различных частотах легко реализуются на ЭВМ, требуют относительно небольших затрат времени и памяти ЭВМ. Для расчета схем из сотни узлов в течение единиц секунд достаточно IBM PC 486.

Суть численного метода расчета ЧХ (например, K(jω)) для нелинейной схемы состоит в следующем:

38

1.Определяются рабочие точки нелинейных элементов схемы.

2.Осуществляется линеаризация схемы в рабочих точках.

3.Задается набор частот ω1, ω2,…, ωN.

4.Для каждой частоты формируется ММ в виде системы уравнений метода узловых потенциалов:

G(jωk)V(jωk)=I(jωk), k=1…N. (7.6)

5.Уравнение (7.6) решается относительно вектора потенциалов

V(jωk).

6.На каждой частоте определятся значение K(jωk)=V2 /V1.

Замечание: источники постоянного тока заменяются ХХ, а источники постоянного напряжения - заменяются на КЗ.

7.4. Последовательность моделирования АЧХ и ФЧХ в CM

Моделирование ЧХ сводится к следующим шагам:

1. Вводится принципиальная электрическая схема. Ко входу подключается генератор гармонического сигнала (клавиша g). Амплитуда и частота не имеют значения.

Рис. 7.1.

2. Устанавливается режим моделирования AC: Simulation -> Analyses Setup -> AC:

Рис. 7.2. Окно установок для расчета частотной характеристики

39