15.Який прилад називають аналізатором? Поляризатором? Сформулюйте закон Малюса.
16.У чому полягає відміна між нормальною та аномальною дисперсією світла?
17.Як пояснити блакитний колір неба за допомогою закону Релея?
18.Що таке теплове випромінювання? У чому полягає його відміна від люмінесценції? Дайте означення основних характеристик теплового
випромінювання.
19.Сформулюйте закон Кірхгофа. Закони теплового випромінювання абсолютно чорного тіла: закон Стефана – Больцмана; закон Віна.
20.Як і у скільки разів зміниться потік випромінювання абсолютно чорного тіла, якщо максимум випромінюваної енергії з червоної границі видимого спектра (λ=780 нм) до фіолетової(λ=390 нм)?
21.У чому полягає зовнішній фотоефект? Сформулюйте його закони? 22.Запишіть рівняння Ейнштейна для зовнішнього фотоефекту та поясніть закони фотоефекту, спираючись на теорію Ейнштейна.
23.У чому полягає ефект Комптона? Які умови його спостереження? 24.Поясніть збільшення інтенсивності зміщеної компоненти зі зменшенням атомного номера речовини при комптонівському
розсіянні.
2.1.4. Повчання по вивченню розділів „Елементи квантової механіки“, „Атомна фізика“, „Фізика атомного ядра та елементарних частинок“
При вивченні розділу „Елементи квантової механіки ” необхідно звернути увагу на джерела виникнення квантової теорії (досліди Резерфорда, дискретний характер спектру атомів і т. ін.), засвоїти ідею де Бройля, щодо корпускулярно-хвильового дуалізму матерії, і формулу, яка дозволяє визначити хвильові властивості мікрочастинок, уміти пояснити фізичний зміст хвильової функції мікрочастинки та її властивості, що є наслідками цього змісту. Знати рівняння Шредінгера для стаціонарних станів, математичні властивості його розв’язків, що є наслідками фізичного змісту хвильової функції, та граничні умови для хвильової функції; ознайомитися з розв’язками рівняння Шредінгера для одновимірних задач квантової механіки (частинка у нескінченно глибокій потенціальній ямі, проходження крізь потенціальний бар’єр, гармонічний осцилятор).
Вивчення матеріалу розділу „Атомна фізика” не пов’язане з математичними труднощами. Надважливими питаннями є фізична суть явищ електромагнітного випромінювання атомами речовини (спектрів), впливу на них зовнішніх електричного та магнітного полів. При цьому основну увагу слід приділити фізичним поняттям (квантові числа) та
14
законам (правила відбору, принцип тотожності частинок та симетрія хвильової функції, принцип Паулі і т. ін.), які описують ці явища.
При вивченні розділу „Фізика атомного ядра та елементарних частинок ” особливу увагу необхідно звернути на основні характеристики ядра – заряд, масове число, розміри, спін та магнітний момент; добре вивчити властивості і специфіку ядерних сил, а також розібратися в моделях, що використовуються для опису ядер.
Слід засвоїти і урозуміти явище радіоактивності, закон радіоактивного розпаду і правила зміщення. Необхідно звернути увагу на труднощі, що виникли при поясненні β-розпаду на основі закону збереження енергії, та їх подолання.
При вивченні основних типів ядерних реакцій особливо слід розібратися в суті важливих для практики реакцій ділення і синтезу атомних ядер. Необхідно також засвоїти типи взаємодій і класифікації елементарних частинок.
Питання для самоконтролю засвоєння матеріалу
1.Сформулюйте ідею де Бройля. Запишіть формулу де Бройля.
2.У чому полягає ймовірнісний зміст хвильової функції мікрочастинок? Укажіть властивості хвильової функції та запишіть умову її нормування.
3.Який фізичний зміст має співвідношення невизначеностей? Чи можливо охарактеризувати локалізовану частинку однією довжиною хвилі?
4.Запишіть загальне рівняння Шредінгера та рівняння Шредінгера для стаціонарних станів. Що називають власними значеннями і власними функціями?
5.Що визначають головне, орбітальне, магнітне та спінове квантові числа електронів у атомі? Які значення вони приймають?
6.Скільки електронів в атомі можуть мати однакові квантові числа n, l, ml? Яким принципом визначається їх кількість?
7.З яких частинок складається ядро? Чим визначається зарядове та масове число ядра?
8.Дайте означення ізотопів та ізобар. Наведіть приклади.
9.Що таке дефект маси та енергія зв’язку ядра?
10.Укажіть властивості ядерних сил.
11.Що таке радіоактивність? Які види радіоактивних процесів вам відомі?
12.Сформулюйте закон радіоактивного розпаду. Що таке період та постійна розпаду?
13.Дайте означення активності препарату. У яких одиницях фона вимірюється?
14. Запишіть схеми α- та β- розпадів та поясніть їх закономірності.
15
15.Що таке γ-випромінювання. Які його властивості?
16.Що таке ядерна реакція? Які закони збереження виконуються при ядерних реакціях?
17.У чому полягає реакція ділення ядер? За якими умовами може здійснюватись ланцюгова реакція ділення?
18.У чому полягає реакція синтезу легких ядер? Які труднощі здійснення керованої термоядерної реакції?
2.2. Перелік завдань, пояснення до контрольних робіт та приклади розв’язання задач
2.2.1. Загальні поради та вибір варіанту контрольної роботи
ЗАГАЛЬНІ МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО ВИКОНАННЯ КОНТРОЛЬНИХ РОБІТ
При виконанні контрольних робіт із фізики слід дотримуватись низки дуже важливих правил.
1 Перед виконанням контрольної роботи, що пов’язана з певним розділом фізики, слід вивчити теоретичний матеріал усього розділу. Не слід намагатися розв’язати задачі, не засвоїв теорію. Рекомендовані підручники вказані в переліку літератури.
2.Перш за все слід переписати повністю умову задачі, а також записати її у скороченому вигляді, виразивши всі величини у Міжнародній системі одиниць (СІ). Виключення можна зробити тільки для тих величин, одиниці вимірювання яких, як видно відразу, скоротяться.
3.Розв’язання задач (особливо з механіки та електромагнетизму) частіше за все треба починати з рисунка. Вірний рисунок набагато полегшує розв’язання задачі. В деяких випадках він є основою розв’язку. Рисунок повинен бути чітким та акуратним, його не слід захаращувати цифрами. Використовуйте загально прийняті буквені позначки.
4.Після детального аналізу умови задачі та визначення суті фізичного явища, якому вона присвячена, обміркуйте, які закони та формули можна використати при розв’язанні. Якщо ви бачите декілька шляхів розв’язку, намагайтеся вибрати найбільш раціональний.
5.Починайте розв’язання завжди із загальновідомих законів та формул. Якщо формула не є загальновідомою, а стосується тільки конкретних умов задачі, її слід вивести. Обов’язково необхідно пояснити, що означають величини ( позначки величин), що входять до формули.
6.Задачу слід розв’язувати у загальному вигляді. Тільки після отримання для шуканої величини кінцевої формули до неї підставляють цифрові значення (в одиницях СІ) та проводять обчислення.
16
7.Одиниці вимірювання необхідно обов’язково перевірити. Це можна зробити двома способами:
А) підставити у формулу значення величин разом з одиницями вимірювання;
Б) підставити у формулу тільки числа, а потім, окремо, одиниці вимірювання та переконатися у відповідності отриманої розмірності одиницям вимірювання шуканої величини.
Якщо отримані одиниці вимірювання не відповідають шуканій величині, це означає, що при розв’язанні задачі допущена помилка. Таким чином, перевірка розмірності відповіді є додатковим методом самостійного контролю слушності розв’язання задачі.
8.Усі задачі розв’язуйте тільки в Міжнародній системі одиниць. Використання цієї системи в розділах з електрики та магнетизму пов’язане із записом формул у раціоналізованому вигляді. Винятки допускаються тільки у випадках, коли за умовою задачі необхідно визначити якусь величину в одиницях, що не входять до СІ (наприклад, енергію – в електрон-вольтах).
9.Розрахунок відповіді слід виконувати із ступенем точності, що відповідає точності завдання умови задачі. Наприклад, якщо в умові задана відстань 3,00 м, то відповідь треба обчислювати до трьох значущих цифр. Пам’ятайте, що відповідь, яка містить надлишок кількості цифр не краща за занадто (грубо) округлену.
10.Проведіть аналіз отриманого чисельного результату; подумайте, чи є він реальним, чи відповідає він законам фізики та здоровому глузду. Дотримання наведених правил допоможе вам успішно розв’язати всі задачі.
ВИМОГИ ДО ВИКОНАННЯ КОНТРОЛЬНИХ РОБІТ
1.За програмою студент заочної форми навчання на другому курсі повинен виконати 2 контрольних роботи: № 3, №4.
2.Номера задач вибирають із таблиці із завданням до відповідної контрольної роботи за номером залікової книжки (шифру) студента та першими чотирма буквами українського алфавіту, якими позначені стовпчики таблиці.
Для цього треба записати число, яке складається з останніх двох цифр шифру, і дописати до них останні дві цифри результату його множення на “n” (таблиця А).
Таблиця А
Навчальний |
2012 |
2013 |
2014 |
2015 |
2016 |
2017 |
2018 |
2019 |
2020 |
рік |
/13 |
/14 |
/15 |
/16 |
/17 |
/18 |
/19 |
/20 |
/21 |
Число “n” |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
17
Під отриманим чотирьохзначним числом слід підписати по порядку букви алфавіту. Тоді цифра, що відповідає кожній букві, вказуватиме на номер строки, із якої треба взяти номер задачі у відповідному стовпчику.
Наприклад, номер залікової книжки студента 03257. Відповідно таблиці А у 2012 – 13 навчальному році n = 2. Тому останні дві цифри шифру – 57 множимо на 2: 57×2 = 114. Від результату беремо останні дві цифри – 14 і дописуємо їх до 57. Отримане чотирьохзначне число становить 5714. Записуємо під ним по порядку букви алфавіту
5 7 14.
а б в г Це означає, що зі стовпчика „а” таблиці завдання треба взяти задачу із
строки номер 5, зі стовпчика „б” – задачу із строки номер 7 і далі.
3.Вимоги до виконання та оформлення контрольної роботи:
1)Контрольні роботи виконуються у зошиті, на обкладинці якого приводяться відомості за зразком:
Контрольна робота №1 по фізиці
студента 1 курсу екологічного факультету гр. Е-11 Іваненко В.О.
Шифр Адреса:
2)Умови задач треба наводити повністю без скорочень, а також виписувати дані задачі (для зручності) у скороченому виді. На сторінках залишати поля для зауважень викладача.
3)Задачі слід розв’язувати у загальному вигляді, тобто перш за все слід отримати формулу для розрахунку шуканої величини, після чого провести за нею обчислення.
4)Чисельні значення величин при підстановці у формулу слід виражати тільки в одиницях СІ. При записі відповіді чисельні значення отриманих величин наводити у стандартному вигляді, тобто як добуток десятинного дробу з однією значущою цифрою перед комою на відповідний ступень десяти. Наприклад, замість 5680 Дж слід записати 5,68·10 3 Дж, або 5,68
кДж; замість 0,000327м записати 3,27 10−4 м.
5)Для перевірки розв’язання до правої частини отриманої формули необхідно підставити замість символів величин позначки їх одиниць вимірювання, провести з ними відповідні дії і впевнитися в тому, що отримана при цьому одиниця вимірювання відповідає шуканій величині.
6)Якщо контрольна робота не зарахована, студент повинний надати її на повторну рецензію після виправлення помилок та урахування всіх зауважень викладача.
18
Контрольна робота № 3
V. КОЛИВАННЯ ТА ХВИЛІ Основні формули
Кінематичне рівняння механічних гармонічних коливань
матеріальної точки має вигляд: |
|
х = Аcos(ωt + ϕ0 ) , |
(5.1) |
або |
|
х = Аsin(ωt + ϕ0 ) , |
(5.2) |
де х – зміщення точки від положення рівноваги; А – |
амплітуда коливань; |
ω - кутова або циклічна частота; ϕ0 – початкова фаза. Рівняння (5.1) і (5.2) рівноправні, але відрізняються значенням початкової фази. При виконанні контрольної роботи пропонується за вихідне прийняти рівняння (5.1).
Швидкість точки, яка здійснює гармонічні коливання за законом
(5.1) |
V =x′= −Aωsin (ωt+ϕ0) |
(5.3) |
|||
|
|||||
Прискорення точки: |
а =x′′= −Aω2cos (ωt+ϕ0) |
(5.4) |
|||
Циклічна частота: |
|
2π |
|
|
|
|
ω = |
, |
(5.5) |
||
де Т – період коливань. |
Т |
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
Для коливань, які відбуваються під дією пружної сили |
|
||||
|
T = 2π |
m |
(5.6) |
||
|
|
|
k |
|
|
де k – коефіцієнт пружності; т – маса точки. |
|
||||
Для математичного маятника: |
|
|
|||
|
Т = 2π |
l |
(5.7) |
||
|
|
|
g |
|
|
де l – довжина маятника, g – прискорення вільного падіння. Кінетична енергія точки, яка здійснює гармонічні коливання
W |
|
= mv2 |
= mω2A2 |
sin2 (ωt +ϕ |
). |
(5.8) |
||||||
к |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
Потенціальна енергія: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
W |
= kx2 |
= mω2A2 |
cos2 (ωt +ϕ |
). |
(5.9) |
|||||||
p |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Повна енергія: W = |
|
mω2A2 |
= |
kA2 |
. |
|
|
|
(5.10) |
|||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
19
При складанні двох однаково напрямлених гармонічних коливань x1=A1cos(ωt+ϕ1 ) і x2=A2cos(ωt+ϕ2 ) однакової частоти утворюється
гармонічне коливання тієї ж частоти з амплітудою
|
A= |
A2 |
+ A2 + 2A |
1 |
A |
2 |
cos(ϕ |
2 |
− ϕ ) |
(5.11) |
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||
і початковою фразою φ яка визначається із співвідношення |
|
|||||||||||||||||||||
|
tgϕ = |
A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2 |
|
|
|
|
(5.12) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
A cosϕ + A |
2 |
cosϕ |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Траєкторія точки, яка бере участь у двох взаємно перпендикулярних |
||||||||||||||||||||||
коливаннях x=A1cosωt і y=A2cos(ωt+ϕ) має вигляд |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y = A2 x, |
|
|
|
|
якщо ϕ = 0 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ = ±π |
|
|||
|
|
|
|
y = − A1 |
, |
|
|
|
|
якщо |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
x2 |
+ |
y2 |
|
=1, |
|
|
|
|
якщо |
ϕ = ± |
π |
|
||||||
|
|
|
|
A2 |
A2 |
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рівняння згасаючого коливального руху |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
x = A0e−βtcos (ωt +ϕ0 ) , |
|
|
(5.13) |
|||||||||||||||
де β– коефіцієнт згасання. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
При цьому |
β = |
r |
|
|
і |
|
|
ω= ω02 |
|
−β2 , |
|
|
|
(5.14) |
||||||||
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де r – коефіцієнт тертя; ω0 – частота власних (незгасаючих) коливань.
Величина δ=βT називається логарифмічним декрементом згасання.
Рівняння плоскої біжучої хвилі |
|
||
y=A cos ω(t – |
x |
), |
(5.15) |
|
|||
|
v |
|
|
де у – зміщення точки з координатою х у момент часу t; v – швидкість поширення хвилі.
Довжина хвилі пов’язана зі швидкістю поширення
λ = νT. |
|
(5.16) |
Зв’язок різниці фаз ϕ коливань двох точок, |
які розташовані на |
|
відстані x у напрямку поширення хвилі |
|
|
ϕ = 2π |
x . |
(5.17) |
λ |
|
|
Період електромагнітних коливань у контурі, який складається з опору R, котушки індуктивності L і конденсатора С, дорівнює
20
T= |
|
2π |
(5.18) |
||
|
|
|
|
||
|
1 |
− |
R |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
LC |
|
|||
|
|
2L |
|
||
Якщо активний опір R несуттєвий, то |
|
|
|
||||||||
|
T=2 π LC , |
|
|
(5.19) |
|||||||
У випадку згасаючих коливань у контурі різниця потенціалів U на |
|||||||||||
обкладинках конденсатора змінюється за законом |
|
|
|||||||||
|
U=U0e −βt cos ωt, |
|
|
(5.20) |
|||||||
де β = R / 2L – коефіцієнт згасання. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Закон Ома для змінного струму |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Iеф = |
Uеф |
|
, |
|
|
|
|
(5.21) |
||
|
Z |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
де Іеф і U еф – ефективні значення |
струму |
і напруги, |
які |
пов’язані з |
|||||||
амплітудними значеннями співвідношеннями |
|
|
|
||||||||
Іеф= I0 ; |
U= U0 |
i |
|
Z= R 2 |
+ (ωL − 1 |
)2 |
(5.22) |
||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
ωC |
|
|
де Z – повний опір кола. При цьому зсув фаз між напругою і силою струму |
|||||||||||
визначається співвідношенням |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
ωL − |
|
|
|
|
|
||||
|
tg ϕ = |
|
ωC |
|
|
(5.23) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|||
Потужність змінного струму |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
P = IефUeфcosϕ. |
|
|
(5.24) |
|||||||
VI. ОПТИКА
Основні формули
Фотометрія
Потік енергії випромінювання Фе визначається енергією, що
переноситься через дану площину за одиницю часу, |
|
Φe = dW , |
(6.1) |
dt |
|
де dW – енергія, що переноситься за час dt. |
|
Світловий потік – потік енергії, який оцінюється за зоровим |
|
сприйманням. Для інтервалу довжин хвиль dλ |
|
dΦ = V(λ)dΦe , |
(6.2) |
де V(λ) – функція видності, dΦe – потік енергії випромінювання. |
|
21
Сила світла І – світловий потік, що припадає на одиничний тілесний
кут, |
|
dΦ |
|
|
|
|
|
|
||
|
I = |
|
, |
|
|
(6.3) |
||||
|
dΩ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для ізотропного джерела |
I = Φ = |
|
Φ |
. |
(6.3а) |
|||||
|
|
|||||||||
|
Ω |
|
4π |
|
||||||
Тілесний кут пов’язаний з плоским кутом 2θ розхилу конуса: |
|
|||||||||
|
Ω = 2π(1 − cos θ). |
(6.4) |
||||||||
Освітленість |
|
|
dΦпад |
|
|
|||||
|
E = |
, |
(6.5) |
|||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
dS |
|
||||||
де dΦпад – світловий потік, що падає на поверхню dS. |
|
|||||||||
Для точкового ізотропного джерела |
|
|
|
|
|
|||||
|
E = |
I |
cosα, |
(6.6) |
||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
||
де r – відстань від джерела до поверхні, на яку падає світло, α – кут між нормаллю до поверхні і напрямом на джерело (кут падіння).
Характеристики протяжних джерел. Світність
R = |
dΦвипр |
, |
(6.7) |
|
dS |
||||
|
|
|
де dΦвипр – потік, що випромінюється елементом dS поверхні в один бік.
Якщо світність поверхні зумовлена її освітленістю, то |
|
R =ρE , |
(6.8) |
де ρ – коефіцієнт відбиття.
Яскравість В у заданому напрямі – світловий потік, що випромінюється з одиниці видимої поверхні в межах одиничного тілесного кута в заданому напрямі, або сила світла, віднесена до одиниці видимої
поверхні джерела випромінювання, |
|
|
|
|
|
B = |
dΦ |
= |
I |
, |
(6.9) |
dΩ dS cosθ |
dS cosθ |
||||
де θ – кут між нормаллю до поверхні та напрямом випромінювання; dScosθ–видима в даному напрямі поверхня випромінювача.
В окремому випадку (закон Ламберта) яскравість є однаковою за всіма напрямами В=const. Звідки умова виконання закону Ламберта: сила
світла елементарної площадки в будь-якому напрямі |
|
I = I0cosθ, |
(6.10) |
де І0 – сила світла в напрямі нормалі до поверхні.
22
Світність ламбертових (косинусних) випромінювачів |
|
|||
R = πB . |
(6.11) |
|||
Геометрична оптика |
|
|||
Закон заломлення світла |
|
n2 |
|
|
sini |
= |
= n21 , |
(6.12) |
|
sinr |
|
|||
|
n1 |
|
||
де і – кут падіння; r – кут заломлення; n21 – відносний |
показник |
|||
заломлення середовища 2 відносно середовища 1; n1, n2 – абсолютні показники заломлення.
Абсолютний показник заломлення (показник заломлення середовища
відносно вакууму |
n = |
c |
, |
(6.13) |
|
v |
|||||
|
|
|
|
де с – швидкість світла в вакуумі; v – швидкість світла в даному середовищі.
Відносний показник заломлення n21 |
= |
n2 |
= |
v1 |
, |
(6.14) |
|
n1 |
v2 |
||||||
|
|
|
|
|
де v1 і v2 – швидкості світла у першому та другому середовищі відповідно.
Оберненість променів |
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
sinr = |
= n12 |
; |
n21 = |
1 |
. |
(6.15) |
|||||
|
|
|
|||||||||
sini |
|
n2 |
|
|
n12 |
|
|||||
Граничний кут повного відбиття |
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
||
sin iгр |
= |
|
( n2 < n1 ). |
(6.16) |
|||||||
n1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Оптична сила тонкої лінзи в середовищі з показником заломлення n0
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
− |
|
, |
(6.17) |
|||
|
|
||||||
D = (n − n0 ) |
R1 |
R 2 |
|
||||
|
|
|
|
|
де n – показник заломлення матеріалу лінзи; R1, R2 – радіуси кривизни поверхонь лінзи.
Формула тонкої лінзи |
D = |
1 |
= |
1 |
− |
1 |
, |
(6.18) |
F |
a2 |
|
||||||
|
|
|
|
a1 |
|
|||
де а1, а2 – відстані предмета та зображення від оптичного центра лінзи. Значення відрізків у формулі – алгебраїчні. Відрізки, які
відраховуються від центра лінзи вздовж променя, вважаються додатними, а проти променя – від’ємними.
Оптична сила D двох тонких лінз з оптичними силами D1 і D2, складених разом D = D1 + D2 . (6.19)
Для сферичного дзеркала оптична сила D визначається формулою
23
1 |
+ |
1 |
= |
2 |
= |
1 |
= D , |
(6.20) |
|
a2 |
R |
F |
|||||
a1 |
|
|
|
|
||||
де а1, а2 – відстані предмета та зображення, які відраховуються від вершини дзеркала; R – радіус кривизни дзеркала; F – його фокусна відстань. Правило знаків для дзеркал таке саме, як і для лінз.
Якщо F виражене у метрах, то D буде виражене у діоптріях (дптр): 1 дптр = 1м-1.
Поперечне лінійне збільшення у дзеркалах та лінзах
k = |
y2 |
= ± |
a2 |
|
, |
(6.21) |
|
y |
|
||||||
|
|
a |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
де знак „+” відповідає прямому зображенню, „–” – оберненому.
Збільшення лупи |
k = L , |
(6.22) |
|
F |
|
де L – відстань найкращого бачення (L=25см); F – фокусна відстань лупи. |
||
|
Хвильова оптика |
|
Інтерференція світла. |
|
|
Оптична довжина шляху світлової хвилі |
|
|
|
L = nl , |
(6.23) |
де l – геометрична довжина шляху світлової хвилі в середовищі з показником заломлення n.
Оптична різниця ходу двох світлових хвиль |
|
= L1 − L2 . |
(6.24) |
Зв’язок між різницею фаз і оптичною різницею ходу |
|
δϕ = 2π λ , |
(6.25) |
де λ – довжина світлової хвилі. |
|
У разі відбивання світла від оптично більш густого середовища фаза коливання змінюється стрибкоподібно на π, відповідна зміна оптичної
різниці ходу складає |
λ . |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Умови інтерференційних максимумів |
|
|
|
|
і мінімумів |
= ±mλ0 (m=0, 1, 2,...) |
(6.26) |
||
|
λ0 |
|
|
|
|
= ±(2m +1) |
(m=0, 1, 2,..). |
(6.27) |
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
Відстань x між двома інтерференційними смугами на екрані, паралельному двом когерентним джерелам світла
24
x = |
L |
λ, |
(6.28) |
|
d |
|
|
де L – відстань від екрану до джерел світла, які знаходяться на відстані d один від одного (при цьому L >> d) .
Оптична різниця ходу світлових хвиль, відбитих від тонкої пластинки (плівки), яка розташована в повітрі
|
= 2d n2 −sin2i ± |
λ0 |
, |
(6.29) |
||
|
|
λ0 |
|
2 |
|
|
або |
= 2dncosr ± |
, |
|
|
(6.29а) |
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
де d – товщина пластинки, n – її показник заломлення, і – кут падіння, r – кут заломлення світла в пластинці.
Радіуси світлих rmmax і темних |
rmmin кілець Ньютона у відбитому світлі |
|||
r |
= |
(2m −1)Rλ |
(m=1, 2, 3,…); |
(6.30) |
mmax |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
rmmin |
= |
mRλ |
(m=1, 2, 3,…), |
(6.31) |
де m – номер кільця, R – радіус кривизни лінзи, λ – довжина світлової хвилі у речовині прошарку.
При спостереженні кілець у світлі, що пройшло через систему, положення світлих і темних кілець протилежне їх положенню у відбитому світлі.
Дифракція світла.
При дифракції Фраунгофера (дифракції у паралельних променях) на щілині у разі нормального падіння світла:
умова максимумів інтенсивності світла
asinϕ = ±(2m +1)λ |
(m = 1, 2, 3,...), |
(6.32) |
|
|
2 |
|
|
де а – ширина щілини, φ – кут дифракції. |
|
|
|
Умова мінімумів інтенсивності світла |
|
|
|
asinϕ = ±mλ |
(m = 1, 2, 3,...). |
(6.33) |
|
При дифракції Фраунгофера на дифракційних ґратках у разі нормального падіння світла:
положення головних максимумів інтенсивності
dsinϕ = ±mλ |
(m = 0, 1, 2, 3,...), |
(6.34) |
|
де d – період ґратки, m – порядок головного максимуму. |
|
||
Положення головних мінімумів інтенсивності |
|
||
asinϕ = ±mλ |
(m = 1, 2, 3,...), |
(6.35) |
|
25
де а – ширина щілини.
Найвищий порядок головного максимуму, що спостерігається, у разі нормального падіння світла
m = E dλ
де функція |
d |
d |
||
E |
|
дорівнює цілій частині числа |
. |
|
|
|
λ |
|
λ |
Кутова та лінійна дисперсія дифракційних ґраток відповідно
Dϕ = δδλϕ = dcosm ϕ
(6.36)
(6.37)
D |
l |
= |
δl |
≈ FD |
|
, |
(6.38) |
|
δλ |
ϕ |
|||||||
|
|
|
|
|
де δϕ - кутова відстань; δl - лінійна відстань між спектральними лініями, які відрізняються довжиною хвилі на δλ; F – фокусна відстань лінзи, що
проектує спектр на екран. |
|
|
|
|
Роздільна здатність дифракційної ґратки |
|
|||
R = |
λ |
= mN , |
(6.39) |
|
dλ |
||||
|
|
|
||
де λ, λ+dλ – довжини хвиль двох спектральних ліній, що розрізняються у спектрі.
Формула Вульфа – Бреггів для дифракції рентгенівських променів на
кристалах |
|
2dsinθ = ±mλ, |
(6.40) |
де θ – кут ковзання променів, що падають на кристал; d – відстань між атомними площинами кристалів.
Поляризація світла.
Площина поляризації – це площина, в якій відбуваються коливання
світлового вектора E . |
|
= n2 |
|
|
Закон Брюстера |
tgiБ |
, |
(6.41) |
|
|
|
n1 |
|
|
де iБ – кут падіння, за яким відбита світлова хвиля є максимально поляризованою; n2 , n1 – показники заломлення середовищ на межі поділу.
Закон Малюса I = I0cos2α , (6.42)
де І та І0 – відповідно, інтенсивність плоскополяризованого світла, що пройшло через поляризатор, та падаючого плоскополяризованого світла; α
– кут між площиною поляризації падаючого світла і площиною пропускання поляризатора.
26
Увипадку проходження природного світла крізь систему
«поляризатор – аналізатор» |
I |
0 |
= |
1 I |
прир. |
і, відповідно, |
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
I = |
1 I |
|
cos2α, |
(6.42а) |
||
|
|
|
|
|
2 |
прир. |
|
||
де Іприр. – інтенсивність природного світла, що падає на поляризатор; α – кут між площинами поляризатора і аналізатора.
Кут φ повороту площини поляризації оптично активними
речовинами: |
ϕ = αl , |
(6.43) |
а) у твердих тілах |
де α – стала обертання; l – довжина шляху, який пройшло світло в оптично активній речовині;
б) у розчинах ϕ=[α]cl , (6.44)
де [α]– питома стала обертання; с – концентрація оптично активної речовини у розчині.
Приклади розв’язання задач
Приклад 1. Повна енергія гармонічних коливань матеріальної точки W = 40мкДж; максимальна сила, яка діє на точку Fmax=2мН. Записати
рівняння цих коливань, якщо період T =1c. Початкову фазу вважати φ0= 0.
|
Розв’язання. |
|
||
Рівняння гармонічного коливання має вигляд (5.1) |
|
|||
|
x = Αcos(ωt +ϕ0 ). |
(1) |
||
Треба знайти циклічну частоту ω і амплітуду А. |
|
|||
Згідно з (5.5) |
ω = 2π = |
2π |
= 2π paд. |
(2) |
|
Τ |
1 |
c |
|
Відомо, що величина максимальної сили
Fmax = mamax
де amax – максимальне прискорення точки. З формули (5.4) випливає, що
величина максимального прискорення точки a max |
= Αω2 , тоді |
||||
|
F |
= mAω2 . |
(3) |
||
|
max |
|
|
|
|
Повна енергія точки (5.10) |
W = |
ω2 A2 m |
. |
(4) |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
||
Розв`язуючи сумісно (3) і (4), знайдемо А: Α = 2FW .
Переконаємось, що А вимірюється в метрах: [A]= ДжН = ННм = м.
Знаходимо числове значення амплітуди.
27
А = |
2 40 10 |
−6 |
2 10 −3 |
= 0,04м |
|
|
|
|
Записуємо рівняння (1) з урахуванням того, що φ0 = 0; |
||
х = 0,04cos 2πt . |
||
Відповідь: х = 0,04cos 2πt . |
|
|
Приклад 2. Записати рівняння результуючого коливання, яке |
||
отримано складанням двох однаково напрямлених коливань |
||
х1 = 0,03cos(2πt + π2) |
і х2 = 0,04 cos 2πt . |
|
|
Розв’язання. |
|
В результаті додавання цих коливань утворюється гармонічне коливання тієї ж частота з амплітудою (5.11).
A = А2 + А2 |
+ 2А |
А |
cos(ϕ |
2 |
−ϕ ) . |
|||
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
1 |
|
Оскільки ϕ2-ϕ2=π/2 |
і cosπ/2=0, |
|
|
|
|
|
||
A = |
А12 + А22 |
= |
(0,03)2 + (0,04)2 |
= 0,05м |
||||
Початкова фаза результуючого коливання визначається з рівняння (5.12)
tgϕ0 = 0,03 sin π/ 2 + 0,04sin 0 |
= 0,75; |
|
|
0,03 cosπ/ 2 + 0,04cos0 |
|
|
|
ϕ0 = arctg0.75 =36° = π/ 5 |
|
|
|
отже х =0,05cos(2πt +π/ 5) |
|
|
|
Відповідь: х = 0,05cos(2πt + π/ 5) |
|
|
|
Приклад 3. Знайти логарифмічний декремент |
згасання |
δ для |
|
математичного маятника довжиною l=1м, якщо за час |
t = 1хв амплітуда |
||
його коливань зменшується у два рази. |
|
|
|
Розв’язання. |
|
|
|
За визначенням δ =βT . Тому треба знайти коефіцієнт згасання β і період
коливань Т. Запишемо амплітуду згасаючих коливань згідно з (5.13) для двох моментів часу t1 і t2:
А = А |
0 |
е−βt |
1 і А = А |
0 |
е−βt |
2 |
|||
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
||
поділимо А1 на А2: |
|
A1 |
= eβ(t2 −t1 ). |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
A2 |
|
|
|
|
|||
За умовами задачі А1/А2=2 |
і t2–t1= |
t, тому 2 =еβ t . |
|
||||||
Логарифмуємо цей вираз: |
ln 2 =β |
t . |
|
|
|
||||
Звідки β = ln2t = 0,60693 =1,16 10−2 1с
28
Період коливань знайдемо за формулою (5.7)
Т = 2π |
l |
= 2 3,14 |
1 |
= 2с. |
|
g |
|
9,8 |
|
Таким чином δ = βТ =1,16 10−2 2 = 2,32 10−2 .
Відповідь: δ = 2,32 10-2.
Приклад 4. До електричної мережі напругою U=220В і частотою ν=50 Гц підключено котушку опором R=100 Ом, яка споживає потужність Р=200 Вт. Знайти ефективний струм І, який протікає через котушку, а також її індуктивність L, якщо зсув фаз між напругою і струмом ϕ=60°.
Розв’язання.
В умовах задачі йдеться про ефективні значення струму і напруги. Оскільки потужність змінного струму (5.24) P = Iеф Ueф cos ϕ,
Iеф = |
Р |
= |
200 |
=1,82А |
|
Uеф cos ϕ |
220 0,5 |
||||
|
|
|
|||
Повний опір ділянки кола (5.44) з урахуванням того, що С=0. |
|||||
|
Z = |
R 2 + ω2L2 |
|
|
|
(1) |
З іншого боку (5.21) повний опір Z = Uеф / Iеф |
|
|
(2) |
|||
Порівняємо (1) і (2): |
R2 + ω2L2 = Uеф / Iеф |
|
|
|
||
Розв’яжемо це рівняння відносно L: |
L = |
Uеф |
2 −Iеф2 R 2 |
, де ω=2πν. |
||
|
Iω |
|||||
Перевіримо одиницю вимірювання: |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
|
[L]= |
В2 − А2Ом2 |
= В с |
= Гн |
|
|
|
|
А 1/ с |
А |
|
|
|
Підставимо числові значення:
L = 
(220)2 −(1,82 100)2 = 0,022Гн = 22мГн 1,82 2 3,14 50
Відповідь: І=1,82 А, L=22 мГн.
Приклад 5. Незгасаючі коливання відбуваються за законом у=5cos100πt і поширюються зі швидкістю v=300 м/с. Знайти зміщення у від положення рівноваги точки, яка віддалена від джерела коливань на відстань х=3м у момент часу t=0,02 с після початку коливань, а також довжину хвилі λ.
Розв’язання.
Згідно з (5.15)
у= Аcosω(t −x / v),
тому зміщення
29
у=5cos100π(0,02 −3/ 300)=5cosπ= −5см
Довжина хвилі згідно з (5.16) λ=vT.
Оскільки ω = 100π, то Т = 2π/ω = 0,02 с. Тоді λ = 300 0,02 = 6 м.
Відповідь: у = –5см, λ = 6 м.
Приклад 6. |
Півсфера радіусу R=2м освітлюється двома однаковими |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
лампами, які підвішені на |
||||
S1 |
А |
S2 |
|
висоті |
2R |
над |
поверхнею |
||||
|
β |
|
|
|
|
|
землі |
симетрично відносно |
|||
r1 |
r2 |
|
|
|
|
півсфери. |
Відстані |
між |
|||
|
|
|
|
лампами також дорівнює 2R. |
|||||||
|
|
α |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2R Визначити |
|
освітленість |
|||
|
В |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
півсфери в точках, які |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
знаходяться |
на |
мінімальній |
||
|
|
|
|
|
|
|
відстані від одного з джерел, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
якщо повний світловий потік |
||||
|
|
O |
|
|
|
|
кожної |
лампи |
дорівнює |
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Ф=1200 лм. |
|
|
|
||
|
|
2R |
|
|
|
|
|
Розв’язання. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Точка В (рис. 6.1), яка має |
|||||
|
|
Рис. 6.1. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
мінімальну |
відстань |
від |
|||
|
|
|
|
|
|
|
одного |
з |
джерел |
S1, |
|
знаходиться на лінії S1О, що з’єднує джерело з центром півсфери. Промені |
|||||||||||
від цього джерела падають на поверхню сфери перпендикулярно. |
|
||||||||||
За формулою (6.6) освітленість в точці В дорівнює |
|
|
|
||||||||
|
|
E = |
I |
+ |
I |
cosα, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
r2 |
r2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
де І – сила світла джерел; r1 і r2 – відстані джерел від точки В; α – кут падіння променів від джерела S2.
З урахуванням формули I = 4Φπ, що надає зв’язок між силою світла та
світловим потоком Ф у випадку ізотропного джерела, яким можна вважати лампу,
|
Φ |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
E = 4π r2 |
+ r2 |
cosα . |
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
Перевіряємо одиницю вимірювання |
|
|
|
|
|
|
|||
|
[Φ] |
|
лм |
|
|
|
|||
[E]= [r2 ]= |
м2 |
= лк. |
|
||||||
Визначаємо r1, r2 та cosα. |
S1OA за теоремою Піфагора |
|
|||||||
З прямокутного трикутника |
|
||||||||
30
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(S O)2 = (2R)2 |
+ R 2 =5R2 ; |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
r1 =S1O − R = R |
5 − R =1,24R ; |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cosβ = S1A |
= |
R |
= |
1 . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S O |
|
R |
5 |
|
5 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З |
S BS |
2 |
за теоремою косинусів |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
= r2 + 4R 2 − 4r Rcosβ =3,32R2 . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S S 2 |
= 4R 2 = r2 |
+ r2 |
− 2r r cosα |
, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
1 2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 + r2 |
− 4R 2 |
|
|
|
|
|
||||
звідки |
|
|
|
|
|
cosα = |
1 |
2 |
|
|
= 0,188. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2r1r2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Підставляємо значення в формулу (1) і отримуємо освітленість Е |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Φ |
|
1 |
|
|
|
|
|
0,188 |
|
|
|
|
|
|
Φ |
= 0,056 1200 =16,8 лк. |
|||
|
E = |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
= 0,056 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
4 3,14 |
|
1,54 R |
|
|
|
3,32 R |
2 |
|
|
|
|
R |
2 |
|
4 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Відповідь: Е = 16,8 лк.
Приклад 7. Промінь світла падає на плоско паралельну пластинку з скла, показник заломлення якого n=1,73, під кутом і=300. Визначити товщину пластинки h, якщо зміщення променя при виході з пластинки становить d=20 мм.
|
|
|
|
|
Розв’язання. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Хід променя показаний на рис. 6.2. |
|||||||||||
i |
|
|
|
|
Виразимо h =AD з прямокутного |
|||||||||||
A |
|
|
трикутника АDС: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
h = AC cosr ; |
|||||||||
h |
r |
|
|
B |
де r – кут заломлення променя світла. |
|||||||||||
|
|
|
За законом заломлення світла (6.12) |
|||||||||||||
|
D |
|
C |
|
|
|
|
sini |
= n . |
|
|
|
||||
|
|
d |
|
sinr |
0 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
sini |
|
|
|
sin60 |
|
|
|||||
|
Рис. 6.2. |
|
Звідки sinr = |
= |
|
= 0,5 ; |
||||||||||
|
|
n |
|
1,73 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
r = arcsin0,5=30 |
0 |
. Відстань АС знаходимо з |
ABC: AC |
|
|
d |
||||||||||
|
= |
|
. Тоді |
|||||||||||||
|
sin(i − r) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
h = |
dcosr |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin(i − r) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
h = |
2 10−2 cos300 |
=3,46 10 |
−2 |
м . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
sin(600 −300 ) |
|
|
|
|
|
|||||||
Відповідь: h =3,46 10−2 м .
31
Приклад 8. Визначити радіус кривизни R вгнутого сферичного дзеркала, якщо зображення предмета, який знаходиться перед ним на відстані a1 = −20 см, збільшене у 5 разів і пряме (k=5).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розв’язання. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пряме зображення, отримане за |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
допомогою |
|
дзеркала, |
є |
уявним. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Відповідний |
хід променів |
зображений |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на рис. 6.3. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
За формулою сферичного дзеркала |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(6.20) |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
= |
, |
|
(1) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
|
a2 |
R |
|
|
|||
|
|
a2 |
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
де, відповідно правилу вибору знаків, а1 |
||||||||||||||||||||||
|
|
Рис.6.3. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
– від’ємне, а2 – додатне. |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лінійне збільшення у дзеркалі за |
|||||||||||||||||||
формулою |
(6.21) з урахуванням знаків а1 і а2 дорівнює |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k = |
|
a2 |
|
= − |
a2 |
|
> 0. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Звідки |
|
|
|
|
a1 |
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
a2 = −ka1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
||||||||||||||
З формул (1) і (2) отримуємо |
1 |
− |
1 |
= |
|
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
a1 |
ka1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
R = |
2ka1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
R = |
− 2 5 0,2м |
= −0,5 м. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Відповідь: R = −0,5м.
Примітка. У випадку отримання дійсного оберненого зображення з таким
самим за величиною |
збільшенням k=-5, |
а2<0, тобто a2 = ka1 і за |
||
формулою (3) |
R = |
2 (−5) (−0,2)м |
= −0,33м. |
|
(−5)−1 |
|
|||
Приклад 9. Між двома плоско паралельними прозорими пластинками поклали дуже тонкий дріт. Дріт паралельний лінії дотику пластинок і знаходиться на відстані а=20см від неї. При спостереженні у відбитому світлі (λ0=750нм) на верхній пластинці спостерігаються інтерференційні смуги. Промені світла падають перпендикулярно до поверхні пластинок. Визначити діаметр D перерізу дроту, якщо на відстані L=1см спостерігається m =10 світлих смуг.
32
Розв’язання.
D Між пластинками завдяки дроту
|
утворюється повітряний клин. (Рис.6.4а). |
||
|
|||
Рис. 6.4а. |
Тоді діаметр дроту |
D = a tgα (1), де α – кут |
|
при основі клину. Визначимо α.. |
|||
|
|||
|
Інтерференційні |
смуги спостерігаються |
|
при малих кутах клина, тому відбиті від верхньої та нижньої поверхонь клина промені 1 і 2 практично паралельні. Різниця ходів цих променів
може бути обчислена за формулою (6.29а): = 2dm n cos r ± |
λ0 |
. |
|||
2 |
|||||
|
|
|
|||
За умовою інтерференційних максимумів (6.26) 2dm n cos r + |
|
λ0 |
|
= mλ0 (2), |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|||
де dm – товщина клину в
|
|
|
місці, де спостерігається |
|||||
|
α |
dm+10-dm |
світла смуга з номером |
|||||
m |
m+10 |
|
m; |
n |
– |
|
показник |
|
|
заломлення |
клину |
(для |
|||||
|
|
|
повітря n=1); r – кут |
|||||
|
|
|
заломлення, |
|
який |
за |
||
|
L |
|
умовою дорівнює нулю, |
|||||
|
Рис. 6.4б. |
|
відповідно |
|
|
cosr =1; |
||
|
|
λ0 |
–додаткова |
різниця |
||||
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
ходи, яка виникає при відбитті другого променя від поверхні нижньої |
||||||||
пластинки (середовища з більшим показником заломлення). |
|
|
|
|
||||
Смузі з номером m відповідає товщина повітряного клина dm , а смузі з |
||||||||
номером m+10 – товщина dm+10 . За умовою десять смуг містяться на
відстані L. Тоді шуканий кут α (див. рис. |
(6.4б)) дорівнює |
||
α = |
dm+10 − dm |
, |
(3) |
|
|||
|
L |
|
|
де внаслідок малої величини кута клину sinα ≈ tgα ≈ α. |
|
||
Знаходимо dm |
і dm+10 |
з формули (2) і підставляємо їх до формули (3). |
|||||||||
Отримуємо |
|
|
|
m +10 |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ0 − |
λ0 |
|
5λ0 |
|
|||
|
α = |
|
2n |
2n |
= |
(4) |
|||||
|
|
|
L |
|
|
L |
|||||
|
|
|
5λ0 |
|
|
|
|
|
|||
і за формулою (1) |
D = |
|
a . |
|
|
|
|
|
|
||
|
L |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
33
D = 5 7,5 10−7 0,2 м=7,5·10-5м. 0,01
Відповідь: D =7,5·10-5м.
Примітка. Значення кута α за формулою (4) визначається у радіанах.
Правило переводу з радіан у градуси має вид αград = |
180 |
αрад . |
|
π |
|
Приклад 10. Період дифракційної ґратки d = 2,5 мкм. З якою найменшою кількістю штрихів має бути ґратка, щоб розділити компоненти дублету жовтої лінії натрію, довжини хвиль яких λ1 = 589,0 нм і λ2 = 589,6 нм? Визначити найменшу довжину l робочої частини ґратки.
Розв’язання.
За формулою (6.39) роздільна здатність дифракційної ґратки R
R = |
λ |
= mN . |
(1) |
|
dλ |
||||
|
|
|
Мінімальному значенню кількості штрихів Nmin відповідає мінімальне значення Rmin і максимальне значення порядку спектра mmax, який можна спостерігати за допомогою цієї ґратки, тобто
Nmin = |
R |
. |
(2) |
|
|||
|
mmax |
|
|
Мінімальна роздільна здатність, яка є необхідною для розділення компонент дублету, за формулою (1) дорівнює
|
λ1 |
|
R min = |
λ2 − λ1 . |
(3) |
Число mmax виражаємо з умови максимуму для дифракційної ґратки (6.34), поклавши в ній sinϕ =1 и λ = λ2 (вибір у якості λ більшого з двох значень
гарантує, що обидві компоненти дуплету з номером mmax будуть спостерігатися). Оскільки m – завжди ціле, за формулою (6.36), отримуємо
|
|
d |
|
2,5 10−6 |
|
= E(4,24)= 4 . (4) |
|
m |
max |
= E |
= E |
|
|
|
|
|
−7 |
||||||
|
λ |
|
5,896 10 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
Підставляємо (3) і (4) в формулу (2). Отримуємо
Nmin = |
λ |
1 |
|
= |
5,890 |
10 |
−7 |
= 2,5 102 . |
|
mmax (λ2 − λ1 ) |
4 6 |
10−10 |
|||||||
|
|
|
|||||||
Мінімальна довжина l робочої частини ґратки дорівнює
l = d Nmin = 2,5 10−6 м 2,5 102 = 6,25 10−4 м.
Відповідь: l = 6,25 10−4 м.
34
Приклад 11. У скільки разів η послаблюється світло, яке проходить через два ніколі, площини яких утворюють кут α=450, якщо в кожному з них втрачається k=10% падаючого на нього світлового потоку?
Розв’язання.
Природне світло інтенсивності Іприр. при попаданні на першу призму Ніколя (поляризатор) внаслідок явища подвійного заломлення поділяється на два промені – звичайний і незвичайний. Обидва промені мають
однакову інтенсивність 12 Iприр. і лінійно поляризовані, але в різних
площинах. Звичайний промінь внаслідок повного внутрішнього відбиття на межі двох частин ніколя відбивається на внутрішню поверхню призми і поглинається нею. Незвичайний промінь проходить через призму, а його інтенсивність зменшується за рахунок втрат енергії в призмі.
Таким чином, інтенсивність світла, яке пройшло через поляризатор
I0 |
= |
1 Iприр. (1 |
−k), |
(1) |
|
|
2 |
|
|
де k – відносна втрата інтенсивності природного світла, яке пройшло через поляризатор.
Далі поляризований промінь інтенсивності І0 попадає на аналізатор (другий ніколь) і також поділяється на звичайний і незвичайний промені. Звичайний промінь повністю поглинається призмою, а інтенсивність незвичайного променя І визначається законом Малюса (6.42). Без урахування втрат енергії в другій призмі
I = I0cos2α, |
(2) |
де α – кут між площинами поляризатора і аналізатора, тобто площинами, в яких прибори пропускають коливання світлового вектора.
З виразів (1) і (2), з урахуванням втрат інтенсивності в другій призмі, отримуємо
|
|
I = I0 (1 – k)cos2α = |
1 Iприр. (1 – k)2 cos2α. |
(3) |
||||||||||
|
|
|
|
Iприр. |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
Звідки |
|
|
|
= |
|
2 |
|
|
. |
|
||||
|
|
|
|
I |
|
(1− k)2 cos2α |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Підставляємо значення та обчислюємо результат: |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Iприр. |
= |
|
|
|
2 |
|
|
|
= 4,94. |
|
|
|
|
|
I |
|
(1−0,1)2 cos2 |
450 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Відповідь: |
Iприр. |
= 4,94. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
35
Завдання до контрольної роботи №3.
Таблиця для визначення номерів задач, які входять до складу контрольної роботи №3.
Варіант |
|
|
|
|
Номери задач |
|
|
|
|
|
1 |
3.1 |
3.11 |
3.21 |
3.31 |
3.41 |
3.51 |
3.61 |
3.71 |
3.81 |
3.91 |
2 |
3.2 |
3.12 |
3.22 |
3.32 |
3.42 |
3.52 |
3.62 |
3.72 |
3.82 |
3.92 |
3 |
3.3 |
3.13 |
3.23 |
3.33 |
3.43 |
3.53 |
3.63 |
3.73 |
3.83 |
3.93 |
4 |
3.4 |
3.14 |
3.24 |
3.34 |
3.44 |
3.54 |
3.64 |
3.74 |
3.84 |
3.94 |
5 |
3.5 |
3.15 |
3.25 |
3.35 |
3.45 |
3.55 |
3.65 |
3.75 |
3.85 |
3.95 |
6 |
3.6 |
3.16 |
3.26 |
3.36 |
3.46 |
3.56 |
3.66 |
3.76 |
3.86 |
3.96 |
7 |
3.7 |
3.17 |
3.27 |
3.37 |
3.47 |
3.57 |
3.67 |
3.77 |
3.87 |
3.97 |
8 |
3.8 |
3.18 |
3.28 |
3.38 |
3.48 |
3.58 |
3.68 |
3.78 |
3.88 |
3.98 |
9 |
3.9 |
3.19 |
3.29 |
3.39 |
3.49 |
3.59 |
3.69 |
3.79 |
3.89 |
3.99 |
0 |
3.10 |
3.20 |
3.30 |
3.40 |
3.50 |
3.60 |
3.70 |
3.80 |
3.90 |
3.100 |
|
а |
б |
в |
г |
а |
б |
в |
г |
а |
б |
3.1.Написати рівняння x(t) гармонічного коливання з амплітудою А=2см,
частотою ν=0,5Гц і початковою фазою ϕ0=π/6. Знайти зміщення точки у момент часу t=0 і побудувати графік x(t) у межах двох періодів Т.
3.2.Написати рівняння x(t) гармонічного коливання з амплітудою А=2см,
періодом Т=8с і початковою фазою ϕ0=π/4. Побудувати графік x(t) у межах двох періодів Т.
3.3. Через який час t від початку руху точка, яка здійснює гармонічні коливання за законом косинуса, відхилиться від положення рівноваги на половину амплітуди? Період коливань Т=12с. Початкова фаза ϕ0=0.
3.4. Через яку частку періоду швидкість точки, яка здійснює гармонічні коливання, досягне половини її максимального значення. Час
відраховувати від початку руху. ϕ0=0. |
точки масою m=10г має вигляд |
|||||||
3.5. Рівняння |
коливання |
матеріальної |
||||||
x = 0,05cos |
πt + π |
м. Знайти максимальну силу F |
, яка діє на точку. |
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
max |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
3.6. Рівняння |
коливання |
матеріальної |
точки масою m=16г має вигляд |
|||||
x = 0,05cos |
π |
t + |
π |
м. Знайти максимальний імпульс pmax цієї точки. |
||||
|
4 |
|
||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
3.7.Матеріальна точка масою m = 20г здійснює гармонічні коливання за законом x = 0,1cos(4πt + π4), м. Визначити повну енергію W цієї точки.
3.8.Записати рівняння гармонічних коливань матеріальної точки з
періодом Т=4с і початковою фазою ϕ0=π/6, якщо її повна механічна енергія W=494мкДж і максимальне значення діючої на неї сили Fmax=49,4мН.
36
3.9. Матеріальна точка здійснює гармонічні коливання з періодом Т=2с. Відомо, що в початковий момент часу (t=0) її зміщення х0=5см, а
швидкість v0=20 см/с. Записати рівняння цих коливань. |
|
||||
3.10. |
Знати жорсткість пружини, яка здійснює |
гармонічні коливання з |
|||
амплітудою А=2см, якщо її максимальна кінетична енергія W тах=100мДж. |
|||||
3.11. Написати рівняння коливання, яке отримане |
в результаті додавання |
||||
двох |
гармонічних коливань |
одного напрямку |
x1 =3cos(2πt)см і |
||
х2 = |
|
π |
|
|
|
4 cos 2πt + |
см. |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3.12. |
Знайти різницю фаз двох гармонічних коливань |
однакової частоти |
|||
ω, амплітуди А і напрямку, якщо |
при їх складанні утворюється коливання |
||||
з такою ж частотою і амплітудою.
3.13. Знайти траєкторію точки, яка бере участь у двох взаємо перпендикулярних коливаннях х =3sinωt і у = 3соs ωt . Накреслити
графік.
3.14. Знайти амплітуду А і початкову фазу ϕ гармонічного коливання,
отриманого |
від |
складання двох однаково напрямлених |
коливань |
||||||
х1 = |
|
πt + |
π |
і |
х2 |
|
π |
Записати |
рівняння |
2 cos |
|
= 3 cos πt + |
. |
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
результуючого коливання. |
|
|
|
|
|
||||
3.15. |
Точка бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях |
||||||||
х = 2sin πt і |
у = |
|
πt + |
π |
Визначити |
траєкторію результуючого |
|||
3sin |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
коливання і зобразити її на рисунку. |
|
|
|
||||||
3.16. |
Написати рівняння коливання, отриманого |
в результаті додавання |
|||||||
двох однаково напрямлених гармонічних коливань з однаковим періодом Т=4с і однаковою амплітудою А=5см. Різниця фаз цих коливань Δϕ=π/3. 3.17. Матеріальна точка бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях х = 2 sin πt см і у = −соsπt см. Визначити рівняння траєкторії
руху точки, побудувати графік точки і показати на ньому напрям руху точки.
3.18. Додаються два гармонічних коливання одного напрямку, рівняння
яких мають вид: x1 =3cos2πt , см та |
x2 |
=3cos |
|
2πt+ |
π |
, см. Визначити для |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
4 |
|
результуючого коливання: 1) амплітуду; 2) початкову фазу. Записати рівняння результуючого коливання.
3.19. Точка приймає участь одночасно у двох гармонічних коливаннях, які відбуваються у взаємно перпендикулярних напрямках і описуються
37
рівняннями: x=3cos2ωt ,см і y=4cos(2ωt+π), см. Визначити рівняння
траєкторії точки та зобразити її у відповідному масштабі.
3.20. Точка бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях
x = 4cos2πt і |
y = 2sin |
|
2πt + |
π |
. Визначити траєкторію результуючого |
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
коливання і зобразити її на рисунку.
3.21.Амплітуда згасаючих коливань маятника за час t=2 хв. зменшилась у два рази. Визначити коефіцієнт згасання δ.
3.22.Амплітуда згасаючих коливань математичного маятника за час t=1 хв. зменшилась у три рази. Визначити у скільки разів вона зменшиться за 4 хвилини.
3.23.Початкова амплітуда згасаючих коливань маятника А0 дорівнює 3см. Через t1 = 10c А1= 1см. Визначити, через який проміжок часу амплітуда коливань дорівнюватиме А2=0,3см.
3.24. Записати рівняння згасаючих гармонічних коливань, які відбуваються за законом синуса з періодом Т=2с і логарифмічним декрементом згасання δ=0,2. Зміщення точки через t=0,5с від початку руху х=5см. Початкова фаза ϕ0=0. Побудувати графік у меж двох періодів.
3.25.Амплітуда коливань математичного маятника довжиною l=1м за час t=1хв зменшилась у 2 рази. Знайти логарифмічний декремент згасання δ.
3.26.У скільки разів зменшиться амплітуда коливань математичного
маятника за один період, якщо його логарифмічний декремент згасання
δ=0,2?
3.27.Амплітуда згасаючих коливань математичного маятника за час t1=1хв зменшилась вдвічі. У скільки разів зменшиться амплітуда коливань за час t2=2хв.?
3.28. Математичний маятник довжиною l=25см здійснює згасаючі гармонічні коливання з логарифмічним декрементом згасання δ=0,5. За який час t повна енергія маятника зменшиться у 10 разів?
3.29.Логарифмічний декремент згасання коливань маятника δ=0,02. Визначити у скільки разів зменшиться амплітуда цих коливань після N=100 повних коливань маятника.
3.30.Амплітуда коливань математичного маятника довжиною l=0,5м за час t =2хв зменшилась у 3 рази. Знайти логарифмічний декремент згасання δ.
3.31. Коливальний контур |
складається з котушки |
індуктивністю |
L=30мкГн і конденсатора з площею пластини S=100см2, |
відстань між |
|
якими d=0,1мм. Чому дорівнює діелектрична проникність ε середовища між пластинами, якщо контур налаштовано на довжину хвилі λ=750м? 3.32. Коливальний контур радіоприймача складається з котушки індуктивністю L=1,2мГн і конденсатора, ємність якого може змінюватись
38
від С1=8,9пФ до С2=90пФ. У якому діапазоні може приймати радіостанції цей приймач?
3.33. Різниця потенціалів на обкладинках конденсатора у коливальному контурі змінюється за законом U=50cos104πt B. Ємність конденсатора С=0,1мкФ. Знайти: період Т коливань у контурі; індуктивність L контуру; довжину хвилі λ, на яку налаштовано контур.
3.34.Соленоїд індуктивністю L=0,2Гн і опором R=90 Ом підключений до джерела з напругою U=170sin100πt B. Визначити амплітудне значення сили струму, який тече крізь соленоїд.
3.35.Електричне коло складається з конденсатора ємністю С=18мкФ і активного опору R=100 Ом. Ефективне значення прикладеної напруги
U=120 В; частота ν=50Гц. Визначити силу струму І у колі; cosϕ; потужність Р струму.
3.36.Конденсатор підключено до мережі змінного струму, частота якого ν=50Гц, а амплітудне значення напруги U=400 В. Ефективне значення сили струму у колі І=2А. Знайти ємність С конденсатора.
3.37.У мережі змінного струму напругою U=220 В і частотою ν=50Гц підключені послідовно конденсатор (С=35,4 мкФ), активний опір (R=100 Ом) і індуктивність (L=0,7 Гн). Визначити силу струму І у колі і напругу на конденсаторі; активному опорі і індуктивності.
3.38.Сила струму в коливальному контурі, який містить котушку індуктивністю L=0,1Гн і конденсатор, з часом змінюється згідно з
рівнянням I = −0,1sin 200πt А. |
Визначити: 1) період |
коливання; 2) |
електроємність конденсатора; |
3) максимальну напругу на |
конденсаторі. |
3.39. Сила струму в коливальному контурі, який містить котушку індуктивністю L=0,1Гн і конденсатор, з часом змінюється згідно з рівнянням I = −0,1sin 200πt А. Визначити максимальну енергію магнітного
та електричного поля.
3.40. Електричне коло складається з конденсатора ємністю С=18мкФ і активного опору R=100 Ом. Ефективне значення прикладеної напруги U=120 В; частота ν=50Гц. Визначити cosϕ та потужність Р струму.
3.41.Знайти зміщення від положення рівноваги точки, яка віддалена від джерела коливань на відстань l=λ/12 для моменту часу t=Т/6. Амплітуда коливань А=10 см.
3.42.Знайти довжину хвилі λ, якщо зміщення точки, що відстоїть від джерела коливань на відстані l=4 см у момент часу t=Т/6 дорівнює половині амплітуди.
3.43.Коливальний процес поширюється вздовж прямої лінії зі швидкістю V=40м/с. Частота коливань ν=5 Гц. Визначити (у радіанах і градусах) різницю фаз коливань між джерелом і точкою, яка віддалена від джерела на відстань l=3 м.
39
3.44.Якою буде різниця фаз Δϕ двох точок, які розташовані на промені
поширення коливань на відстані від джерела коливань l1=10 м і l2=16 м відповідно. Частота коливань ν=25 Гц, швидкість поширення коливань
V=300м/с.
3.45.Знайти різницю фаз Δϕ коливань двох точок, розташованих на лінії
поширення коливань, якщо відстань між ними дорівнює l=1,5 м, а довжина хвилі λ=1 м.
3.46. Знайти зміщення від положення рівноваги точки, яка віддалена від джерела коливань на відстань l =λ/6 для моменту часу t=Т/3. Амплітуда коливань А=20 см.
3.47. Дві точки знаходяться на відстані x = 50 см одна від одної на прямій, вздовж якої поширюється хвиля зі швидкістю v=50 м/с. Період Т коливань дорівнює 0,05 с. Визначити різницю фаз коливань ϕ .
3.48. Визначити швидкість поширення хвилі в пружному середовищі, якщо різниця фаз ϕ коливань двох точок середовища, які знаходяться на
відстані х= 10см, дорівнює π/3. Частота коливань ν=25 Гц.
3.49.Хвиля розповсюджується в пружному середовищі зі швидкістю v=100м/с, Найменша відстань хміж точками середовища, фази коливань яких є протилежними, дорівнює 1м. Визначити частоту ν коливань.
3.50.Пружна хвиля розповсюджується вздовж прямої зі швидкістю v=20м/с. Знайти зміщення від положення рівноваги точки, яка віддалена від джерела коливань на відстань х=45м для моменту часу t=4с після початку коливань. Амплітуда коливань А=10 см.
3.51.Прожектор випромінює пучок світла у вигляді конуса, кут розхилу якого 2θ = 300. Світловий потік Ф прожектора розподілений усередині конуса рівномірно і становить 80 клм. Визначити силу світла І прожектора.
3.52.Визначити середню силу світла I лампи потужністю N = 120 Вт,
якщо її світлова ефективність η=15 лм/Вт.
3.53.Освітленість Е1 поверхні землі при кутовій висоті Сонця над горизонтом φ1=450 дорівнює 80 лк. Визначити освітленість Е2 при кутовій висоті φ2=300.
3.54.Лампа, сила світла якої І=200 кд, знаходиться на відстані r=1,0 м від екрану. На якій відстані позаду лампи слід поставити паралельно екрану
дзеркало, щоб освітленість в центрі екрана збільшилась на E =50 лк?
3.55.Над центром круглого стола радіуса R=0,8 м висить лампа. На якій висоті h слід підвисити лампу, щоб освітленість краю стола була максимальною?
3.56.В центрі квадратної кімнати площею S=16м2 висить лампа. На якій висоті h від підлоги слід підвисити лампу, щоб освітленість в кутах кімнати була максимальною?
40
3.57.При фотографуванні предмет освітлюють лампою, яка знаходиться
від нього на відстані r1= 1,5 м. У скільки разів необхідно збільшити час експозиції, щоб отримати таке саме зображення, якщо лампу відсунути від предмета на відстань r2= 2,25 м?
3.58.Над поверхнею розплавленої платини знаходиться непрозорий екран
зкруглим отвором радіусом r= 4,0 мм. Сила світла І, яке проходить через отвір в перпендикулярному до поверхні платини напряму, складає 30кд. Визначити яскравість В відкритої поверхні платини.
3.59.Електроосвітлювальна лампа силою світла І = 150кд знаходиться у матовому плафоні діаметром d=10 см, який поглинає η=10% світлового потоку, що випромінює лампа. Визначити світність R і яскравість В світильника.
3.60.У кінотеатрі на екран розміром 7х5 м з об’єктива кінопроектора падає світловий потік Ф = 3500 лм. Коефіцієнт відбиття екрана ρ=0,9. Визначити освітленість Е, світність R та яскравість В кіноекрана, якщо для нього виконується закон Ламберта.
3.61.Прямокутна скляна пластинка завтовшки 4,0см має показник заломлення n=1,6. На її поверхню падає промінь світла під кутом і=500. Визначити зміщення променя після виходу з пластинки у повітря.
3.62.На дні посудини, заповненій водою до висоти h=20 см, знаходиться точкове джерело світла. Визначити найменший радіус дерев’яного кола, який слід помістити над джерелом на поверхні води, щоб світло не виходило з води. Показник заломлення води n=1,33.
3.63.На скляну пластинку з показником заломлення n=1,6 падає промінь
світла. Визначити кут падіння променя, якщо кут α між відбитим та заломленим променями дорівнює 900.
3.64.Пучок монохроматичного світла падає під кутом і=450 на бічну поверхню скляної призми, заломний кут якої α=280. Після заломлення та відбиття від другої грані, яка покрита шаром срібла, промінь повернувся назад у попередньому напрямку. Визначити показник заломлення матеріалу призми.
3.65.Визначити збільшення, яке утворюється вгнутим сферичним дзеркалом з радіусом кривизни R=64 см, якщо предмет знаходиться на відстані а1=–16 см від дзеркала. Надати рисунок.
3.66.Коли предмет знаходиться на відстані а1=–2,0м від вгнутого сферичного дзеркала, його дійсне зображення знаходиться на відстані
а2=0,5м від дзеркала. Де і яким буде зображення цього предмета, якщо його відсунути від дзеркала ще на 1м? Надати рисунок.
3.67.Збиральну лінзу, виготовлену з скла (n=1,6), що має фокусну відстань
у повітрі Fп=12 см, занурили у воду (nв=1,33). Чому буде дорівнювати нове значення Fв її фокусної відстані?
41
3.68.Плоско-опукла лінза з радіусом кривизни R=40см і показником заломлення n=1,5 дає зображення предмета збільшене вдвічі (k=2).
Визначити відстані а1 та а2 предмета і зображення від лінзи. Надати рисунок.
3.69.Визначити радіуси кривизни поверхні лупи, які необхідні для того, щоб вона давала для нормального ока збільшення k=5. Показник заломлення скла, з якого зроблена лупа, n=1,5.
3.70.Предмет знаходиться на відстані а1=–40см від лінзи. При цьому відстань до уявного зображення предмета становить а2=–1,2м. До лінзи приклали іншу лінзу з оптичною силою D=2,0 дптр. Де і яким буде нове зображення предмета?
3.71.На мильну плівку (n=1,33) падає біле світло під кутом α=450. При якій найменшій товщині плівки відбиті промені будуть мати жовтий колір
(λ=600нм)?
3.72.Два когерентних джерела світла, відстань між якими d=0,30мм, знаходяться на відстані L=2,5м від екрана, де спостерігається інтерференційна картина. Чому дорівнює довжина хвилі світла, якщо на відстані x = 5,0см вміщується 10,5 інтерференційних смуг?
3.73.При спостереженні інтерференції світла від двох уявних джерел монохроматичного світла з довжиною хвилі λ =520нм на екрані довжиною x = 4,0см спостерігалось 8,5 інтерференційних смуг. Визначити відстань L від джерел світла до екрана, якщо відстань між джерелами становить d=0,30 мм.
3.74.В досліді з інтерферометром Майкельсона для зміщення інтерференційної картини на m =500 смуг дзеркало переміщують на відстань l =0,161 мм. Визначити довжину хвилі світла.
3.75.На тонкий скляний клин падає у напрямку нормалі до його поверхні монохроматичне світло з довжиною хвилі λ =500нм. Визначити кут між поверхнями клина, якщо відстань між сусідніми інтерференційними мінімумами b=3 мм. Показник заломлення скла n=1,6.
3.76.При освітленні кварцового клина з кутом α =5,0′′монохроматичними
променями з λ =600нм, перпендикулярними до його поверхні, спостерігаються інтерференційні смуги. Визначити ширину цих смуг.
3.77.На поверхню лінзи, показник заломлення якої nс=1,6, нанесли прозору плівку. Показник заломлення плівки nпл=1,3. Якою має бути найменша товщина d цієї плівки для максимального ослаблення відбитого світла у середній частині видимого спектра ( λ =500нм)?
3.78.Відстань r9−10 між десятим і дев’ятим темними кільцями Ньютона у
відбитому світлі дорівнює 0,39мм. Визначити відстань r |
між другим та |
2-1 |
|
першим темними кільцями.
3.79. Установка для спостереження кілець Ньютона освітлюється монохроматичним світлом, що падає по нормалі до поверхні пластинки.
42
Спостереження проводять у відбитому світлі. Визначити довжину хвилі світла, якщо діаметр другого світлого кільця Ньютона d2=5мм, а радіус кривизни лінзи R=6,4м.
3.80. Установку для спостереження кілець Ньютона занурили у воду. Установка освітлюється монохроматичним світлом з довжиною хвилі λ=640нм, що падає нормально до поверхні пластинки. Діаметр другого світлого кільця у відбитому світлі d2=4,3мм. Визначити радіус кривизни R лінзи. Показник заломлення води nв=1,33.
3.81.На пластину з щілиною, ширина якої а = 0,05мм, падає нормально монохроматичне світло з довжиною хвилі λ = 0,65мкм. Визначити кут відхилу променів, який відповідає другому дифракційному максимуму.
3.82.На щілину, ширина якої а = 20мкм, падає нормально паралельний пучок монохроматичного світла (λ = 0, 6мкм). Знайти ширину зображення щілини на екрані, який віддалений від неї на відстань l = 0,5м. Шириною зображення вважати відстань між першими дифракційними мінімумами, які знаходяться по обидва боки від головного максимуму освітленості.
3.83.На дифракційну ґратку, яка має n = 250 штрихів на один міліметр, падає нормально монохроматичне світло, довжина хвилі якого λ=700нм. Скільки максимумів можна спостерігати за допомогою цієї ґратки? Визначити кут дифракції, який відповідає останньому максимуму.
3.84.На дифракційну ґратку падає нормально паралельний пучок променів білого світла. Спектри третього і четвертого порядку частково накладаються. На яку довжину хвилі в спектрі третього порядку накладається фіолетова границя (λ=400нм) спектру четвертого порядку?
3.85.При освітленні дифракційної ґратки світлом λ = 627нм відстань на екрані між центральним і першим максимумами склала b = 39,6см. Визначити період ґратки, якщо відомо, що відстань екрана від ґратки дорівнює l = 120см.
3.86.На дифракційну ґратку, яка має n = 100 штрихів на один міліметр, падає нормально монохроматичне світло. Труба спектрометра наведена на максимум третього порядку. Щоб навести трубу на другий максимум того
самого порядку, її треба повернути на кут ϕ =160 . Визначити довжину світлової хвилі.
3.87.Визначити кутову дисперсію Dφ дифракційної ґратки для довжини хвилі λ = 650нм, якщо кут дифракції ϕ =150 .
3.88.Яку найменшу роздільну здатність R повинна мати дифракційна
ґратка, щоб розділити дві спектральні лінії калію (λ1=578нм і λ2=580нм)? Чому має дорівнювати мінімальна кількість N штрихів у дифракційній ґратці, щоб лінії розділялись у спектрі другого порядку?
3.89.Період дифракційної ґратки d = 4мкм. Яка найменша різниця довжин хвиль δλ двох ліній, що розділяються у жовтій частині (λ=600нм) в спектрі другого порядку? Довжина робочої частини ґратки l = 2см.
43
3.90. На поверхню кристалу КСl, віддаль між атомними площинами якого d = 0,293нм, падає рентгенівське випромінювання. Дифракційний
максимум другого порядку спостерігається, якщо кут падіння і=75040′. Обчислити довжину хвилі рентгенівського випромінювання.
3.91.Промінь світла відбивається від дна скляної посудини, заповненої водою. При якому куті падіння променя на поверхню води відбите світло є максимально поляризованим? (nв=1,33, nск=1,57).
3.92.Кут повної поляризації світла у разі його відбивання від деякої рідини становить іБ = 500. Визначити швидкість світла в рідині.
3.93.Кут повної поляризації світла іБ у разі його відбивання на межі повітря – рідина становить 550. Визначити кут повного внутрішнього відбиття і гр. променя на межі рідини з повітрям.
3.94.Кут між головними площинами поляризатора і аналізатора α1=450. У скільки разів зміниться інтенсивність світла при проходженні крізь систему, якщо кут зменшити до α2=300?
3.95.У скільки разів η послаблюється світло, що проходить через два ніколі, площини яких утворюють кут α=300, якщо в кожному з них втрачається k=15% падаючого на нього світлового потоку?
3.96.Інтенсивність природного світла яке проходить крізь поляризатор і аналізатор зменшується в 6 разів. Визначити кут α між площинами пропускання поляризатора і аналізатора.
3.97.Кут максимальної поляризації світла іБ при відбитті світла від кристала кам’яної солі дорівнює 570. Визначити кут заломлення світла r.
3.98.У кювету цукрометру налито 5%-й розчин цукру, який повертає
площину поляризації на кут φ = 4,50. Визначити концентрацію с1 розчину цукру, який повертає площину поляризації на кут φ1 = 120.
3.99.При проходженні світла крізь трубку довжиною l1 = 15см, яка містить
10%-й розчин цукру, площина поляризації світла повернулася на кут φ1 = 12,90. В іншому розчині цукру, який налитий в трубку довжиною l1 = 10см, площина поляризації світла повернулася на кут φ2 = 10,30. Визначити концентрацію с2 другого розчину.
3.100. Між схрещеними ніколями розміщено кварцову пластинку товщини d=3,3мм. Визначити сталу обертання кварцу α для використаного монохроматичного світла, якщо поле зору стало максимально освітленим.
44
Контрольна робота № 4
VI. ОПТИКА Основні формули
Квантова теорія випромінювання. Фотони.
Характеристики та закони теплового випромінювання.
Випромінювальна здатність тіла Re(Т) – кількість енергії, що випромінюється при заданій температурі з одиниці поверхні тіла за одиницю часу в усьому інтервалі частот:
Re = |
dW |
. |
(6.45) |
|
|||
|
dt ds |
|
|
[Re ]= мВт2 .
Спектральна випромінювальна здатність тіла r(λ,T) або r(ν,T) –
відношення кількості енергії, що випромінюється при заданій температурі з одиниці поверхні тіла за одиницю часу в інтервалі довжин хвиль (λ, λ +dλ) або інтервалі частот (ν,ν +dν), до цього інтервалу:
|
r(λ,T) |
= |
|
dWλ |
; |
|
|
r(ν,T)= |
dWν |
(6.46) |
|||||||
|
dt ds dλ |
|
|
dt ds dν |
|||||||||||||
r(λ,T) |
= |
Вт |
; |
r |
(ν,T) |
= |
Дж . |
|
|||||||||
|
|
|
|
м |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
м |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Повна випромінювальна здатність Re пов’язана із спектральною
випромінювальною здатністю rλ |
співвідношенням |
|
|
Re (T) |
|
∞ |
|
= |
∫ r(λ,T)dλ. |
(6.47) |
|
|
|
0 |
|
Поглинальна здатність тіла а(Т) показує, яку долю падаючого випромінювання поглинає тіло при заданій температурі.
Спектральна поглинальна здатність тіла a (λ,T) або a (ν,T) – показує,
яку частину падаючого |
випромінювання |
в інтервалі довжин |
хвиль |
(λ, λ +dλ) або інтервалі |
частот (ν,ν +dν) |
тіло поглинає при |
заданій |
температурі.
Абсолютно чорне тіло – тіло, яке здатне повністю поглинати падаюче на нього випромінювання всіх довжин хвиль при будь-якій температурі, тобто для абсолютно чорного тіла а(Т) = a (λ,T)= a (ν,T) ≡1.
45
Сірим називають тіло, спектральна поглинальна здатність якого не залежить від довжини хвилі (частоти), але < 1.
Закон Стефана – Больцмана для абсолютно чорного тіла
|
Re = σT4 , |
(6.48) |
де Re – |
випромінювальна здатність абсолютно чорного тіла; σ – стала |
|
Стефана |
– Больцмана, σ =5,67 10−8 Вт/(м2·К4); Т – |
температура за |
термодинамічною шкалою температур. |
|
|
Якщо тіло не абсолютно чорне, а сіре, то |
|
|
|
R =аσT4 |
(6.49) |
де а – поглинальна здатність сірого тіла; завжди < 1. |
|
|
Для абсолютно чорного тіла справедливі перший та другий закони
Віна. |
|
|
|
|
Закон зміщення Віна (перший закон Віна) |
|
|||
λmax |
= |
b |
, |
(6.50) |
|
||||
де λmax – довжина хвилі, на |
|
T |
|
|
|
яку припадає |
максимум енергії |
||
випромінювання, тобто яка відповідає максимуму спектральної випромінювальної здатності абсолютно чорного тіла; b – стала закону зміщення Віна, b = 2,89·10-3м·К.
Максимальна спектральна випромінювальна здатність абсолютно чорного тіла зростає пропорційно п’ятому ступеню температури (другий закон Віна):
r = CT5 , |
(6.51) |
λmax |
|
де С = 1,29·10-5 Вт/(м2·К5).
Характеристики фотона.
Енергія фотона ε = hν = hc |
, або ε=hω, |
(6.52) |
λ |
|
|
де h – стала Планка, h=6,63·10-34 Дж·с; h = 2hπ ; ν – частота фотона; ω –
циклічна частота; λ– довжина хвилі фотона; с – швидкість світла в вакуумі.
Вектор імпульсу фотона pr |
= hk , |
r |
|
де k – хвильовий вектор, величина якого дорівнює: k = 2π/λ. Звідки величина імпульсу фотона
p = hλ = hcν ,
де λ – довжина хвилі фотона; с – швидкість світла в вакуумі.
(6.53)
(6.53а)
46
Маса фотона |
m = |
ε |
= |
h |
. |
(6.54) |
||
c2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
cλ |
|
||
Тиск світла у разі нормального падіння на поверхню |
|
|||||||
|
p = |
I |
(1 + ρ)= w(1 + ρ), |
(6.55) |
||||
|
|
|||||||
|
|
c |
|
|
|
|
||
де І – інтенсивність випромінювання, що падає на поверхню, |
I = nhν, n – |
|||||||
кількість фотонів, які щосекунди падають на одиницю площі поверхні; w – об’ємна густина енергії випромінювання; ρ – коефіцієнт відбиття випромінювання поверхнею.
Фотоефект. |
|
|
|
|
Формула Ейнштейна для фотоефекту |
mv2 |
|
||
hν = A + T |
= A + |
|
||
max |
, |
(6.56) |
||
|
||||
max |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
де hν= hcλ – енергія фотона, що падає на поверхню металу; А – робота
виходу електрона з металу; Тmax – максимальна кінетична енергія фотоелектрона.
Червона межа фотоефекту |
|
|
|
|
|
||
ν0 |
= |
A |
, або |
λ0 |
= hc |
, |
(6.57) |
|
|
h |
|
|
A |
|
|
де ν0 – мінімальна частота світла, при якій ще можливий фотоефект; λ0 – максимальна довжина хвилі, при якій ще можливий фотоефект; h – стала Планка; с – швидкість світла в вакуумі.
Ефект Комптона. |
|
|
|
Зміна довжини хвилі фотона під час комптонівського |
розсіяння |
||
фотонів на вільних або слабко зв’язаних електронах |
|
||
Δλ = λ′−λ = λc (1−cosθ), |
|
(6.61) |
|
або |
|
|
|
Δλ = λ′ − λ = 2λcsin2 |
θ |
, |
(6.61а) |
|
|||
2 |
|
|
|
де λ, λ' – довжини падаючої та розсіяної хвиль випромінювання; λс – комптонівська довжина хвилі, θ –кут розсіяння.
Комптонівська довжина хвилі |
|
|
||
λc = |
h |
( λc = 2,436 пм), |
(6.62) |
|
mec |
||||
|
|
|
||
де me – маса спокою електрона.
При комптонівському розсіянні енергія та імпульс електрону описуються формулами релятивістської динаміки.
47
Релятивістська маса та релятивістський імпульс частинки
m = |
m0 |
; |
r |
|
m0 v |
|
, |
|
|
(6.63) |
1 − v2 |
p = |
1 − v2 |
|
|
|
|||||
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
||
де m0 – масса покоя частинки; |
v – її швидкість; с – швидкість світла в |
|||||||||
вакуумі. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Енергія релятивістської частинки: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) власна енергія (енергія спокою) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) кінетична енергія T |
|
E0 = m0c2 ; |
|
|
|
|
|
(6.64) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T = c2 (m − m0 )= m0c |
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
−1 |
; |
(6.65) |
||||
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 − v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) повна енергія, взаємозв’язок між енергією та масою релятивістської частинки:
E = mc2 = |
|
m0c2 . |
|
(6.66) |
||||
|
|
|
1 − v2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
Зв’язок між енергією та імпульсом релятивістської частинки: |
|
|||||||
E2 −p2c2 = m02c4 ; |
|
|
p2c2 |
= T(T + 2m0c2 ). |
(6.67) |
|||
E=c p2 +m02c2 , |
|
|
|
|||||
VIІ. ЕЛЕМЕНТИ КВАНТОВОЇ МЕХАНІКИ. |
|
|||||||
Корпускулярно-хвильовий |
дуалізм. |
Хвилі |
де |
Бройля. |
||||
Співвідношення невизначеностей. |
|
|
|
|
|
|
||
Зв’язок довжини хвилі де Бройля λ частинки з її імпульсом р: |
|
|||||||
λ = |
2πh |
= |
|
2h |
, |
|
|
(7.1) |
p |
|
|
|
|
||||
|
|
|
mv |
|
|
|
||
де р – імпульс фотона; m – маса частинки; v – її швидкість; h – стала Планка; h = 2hπ.
Співвідношення невизначеностей Гейзенберга для координат та
імпульсів: |
|
x px ≥ h, |
(7.2) |
48
де |
x – невизначеність координати xi ; px – невизначеність відповідної їй |
|
проекції імпульсу. |
|
|
|
Співвідношення невизначеностей для енергії та часу: |
|
|
E t ≥ h, |
(7.3) |
де |
E – невизначеність енергії квантового стану; |
t – час життя системи у |
цьому стані. |
|
|
Атом водню. Спектри. Електронні оболонки.
Основною властивістю квантових систем є те, що вони мають дискретну структуру енергетичного спектру. У спектрі найменший рівень зветься основним, а всі інші збудженими.
При переході квантової системи з одного стаціонарного стану в інший випромінюється (поглинається) квант енергії, яка дорівнює різниці енергій відповідних стаціонарних станів:
hν=En – Ek , |
(7.4) |
( En та Ek - енергії стаціонарних станів атому до та після випромінювання
(поглинання)).
Спектри випромінювання атомів хімічних елементів, що знаходяться у газоподібному стані (гази, пари металів), мають лінійчатий характер. Найбільш простий і досліджений спектр має атом водню. Довжини хвиль його спектральних ліній можуть бути обчислені за формулою Бальмера –
Ритца (узагальненою формулою Бальмера): |
|
|
||||
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
= R |
|
– |
|
. |
(7.5) |
λ |
|
n2 |
||||
k2 |
|
|
|
|||
Константа |
R =1,10 107 м−1 |
має назву постійної |
Ридберга; λ– |
довжина |
|
хвилі спектральної лінії; k – номер енергетичного рівня |
атома, |
на який |
|||
переходить |
електрон при |
випромінюванні; n – |
номер |
рівня, |
з якого |
відбувається перехід.
Серія ліній утворюється при переходах електронів на енергетичний рівень із фіксованим значенням k з усіх вищих рівнів (n > k). Перша
лінія кожної серії відповідає мінімальному значенню n та має максимальну довжину хвилі. Границі кожної серії відповідає n=∞.
Повна енергія електрона в атомі водню або воднеподібному атомі (атомі із зарядовим числом Z, внаслідок іонізації якого, в електронній оболонці залишився тільки один електрон):
En = – |
Z2me4 |
|
1 |
, |
n =1,2,3,K |
(7.6) |
|
8ε02h2 |
n2 |
||||||
|
|
|
|
|
49
З формули випливає, що електрон у атомі може мати тільки ті дискретні значення енергії, що визначаються квантовим числом n , яке називають головним квантовим числом.
Випромінюваний квант енергії дорівнює
hν = En – Ek = |
Z2me4 |
|
1 |
– |
1 |
|
, n > k . |
(7.7) |
|||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
8ε0 |
h |
|
2 |
n |
2 |
||||||||
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
||||
n та k – номери орбіт (тобто квантових рівнів енергії), між якими відбувається перехід електрона.
ν= λc
водню (Z=1) або воднеподібного атома(Z>1) можна записати:
1 |
= |
Z2me4 |
1 |
– |
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
(7.8) |
||
|
|
n2 |
|||||
λ |
|
8ε02h3c k2 |
|
|
|
||
З порівняння формули (7.8) при Z=1 із формулою (7.5) випливає, що останній вираз є аналогічним узагальненій формулі Бальмера, а стала Рідберга дорівнює
|
me4 |
|
|
R= |
|
. |
(7.9) |
2 3 |
|||
|
8ε0h c |
|
|
Енергія кванту, що випромінюється атомом водню при переході електрону з однієї орбіти на другу, можна представити у виді
|
1 |
|
1 |
|
, |
(7.10) |
||
ε = Ei |
|
|
– |
|
|
|
||
|
2 |
n |
2 |
|||||
k |
|
|
|
|
|
|
||
де Еі = 13,6 еВ – енергія іонізації атома водню.
Розглянемо фізичні властивості квантових систем. Квантовий стан характеризується дискретними значеннями таких основних фізичних величин, як енергія, момент імпульсу і т. ін.
Квантовий стан електрону в атомі залежить від відстані до ядра r і характеризується чотирма квантовими числами :
n – головне квантове число, визначає енергію Еn електрона в атомі, n=1,2,3,…;
l – орбітальне квантове число, визначає механічний орбітальний момент імпульсу електрона L: L = h
l(l +1). При заданому головному
квантовому числі n приймає значення: l = 0, 1,…, n – 1; |
(7.11) |
ml – магнітне квантове число, визначає проекцію моменту імпульсу на фізично виділений напрямок: Lz =hm . При заданому квантовому числі
l приймає значення: ml =–l, –l+1,…,–1, 0, +1,…, l –1, l. |
(7.12) |
50