ms

Таблиця 2.8

Дані спостережень про тривалість обслуговування клієнта

Розв’язання. Гістограма частот має вигляд, представлений на рису-

нку 2.19:

Рисунок 2.19. Гістограма частот

З виду гістограми частот доцільно припустити, що дана випадкова величина має рівномірний розподіл (див. табл. 2.2). Оцінимо параметри рівномірного закону розподілу:

a = floor(max(ζ )) = 28 , b = ceil (min(ζ )) = 44 ,

де floor – функція наближення до найближчого більшого цілого числа, ceil

– функція наближення до найближчого меншого цілого числа.

Приймемо гіпотезу про рівномірний закон розподілу із параметрами 28 і 44. Розрахуємо значення ймовірностей влучення випадкової величини у значення і за формулою (2.5):

оскільки довжина інтервалу складає 2.

51

Результати розрахунків теоретично очікуваної сумарної частоти влучень представлені у таблиці 2.9.

Оскільки кількість спостережуваних значень випадкової величини недостатня (83<100), для оцінки відповідності закону розподілу застосуємо λ-критерій. Розрахунок λ-критерію представлений у таблиці 2.10. За формулою (2.12) розраховуємо спостережуване значення критерію:

λ = n × max wi - wiT = 83 × 0,079 = 0,72 .

i

Розраховане значення λ-критерію менше за табличне значення критерію λкр=1,36 (рівень значимості α=0,05), тому можна стверджувати, що спостережувана випадкова величина ζ із довірчою ймовірністю 0,95 має рівномірний закон розподілу з параметрами 28 і 44.

52

Відповідь. Випадкова величина „тривалість обслуговування клієнта” з довірчою ймовірністю 0,95 має рівномірний закон розподілу в інтервалі від 28 до 44.

Задача 3. За даними спостережень, представленими у таблиці 2.11, знайти апроксимуючу функцію, що має вид y=b0+b1x12+b2x2, та оцінити її якість.

Таблиця 2.11

Дані спостережень

Розв’язання. За даними спостережень та виходячи з виду функціональної залежності складемо матрицю Х та вектор Y системи умовних рі-

внянь (2.20):

За формулою (2.22) розрахуємо параметри функціональної залежності:

æ- 4,915ö b = (X T X )−1 X T Y = çç 2,934 ÷÷ .

çè - 0,323÷ø

Отже, знайдена наступна функціональна залежність:

Yreg=f(x)=-4,915+2,934x12-0,323x2.

Оцінимо якість знайденої функціональної залежності. По-перше, розрахуємо критерій найменших квадратів за формулою (2.15). Розрахунки представимо у таблиці 2.12.

53

Таблиця 2.12 Розрахунок критерію найменших квадратів

Таким чином, значення критерію найменших квадратів досягає значення 21,65, що у порівнянні із значеннями вихідної величини є досить прийнятним значенням. Із наведених розрахунків видно також, що відхилення розрахованого за функціональною залежністю значення від спостережуваного значення не перевищує 1,7, що не перевищує 5% значення вихідної величини.

Проведемо кореляційно-регресійний аналіз функціональної залежності, що знайдена. Обчислимо індекс кореляції за формулою (2.23):

Отже, за шкалою Чеддока зв’язок оцінюється як дуже сильний. Значення індексу детермінації свідчить про те, що 99,7% варіації вихідної змінної у пояснюється змінюванням значень вхідних змінних х1 та х2.

Обчислимо довірчі інтервали за формулами (2.27)-(2.30):

54

Відповідь. Дані спостережень відповідають функціональній залежності f(x)=-4,915+2,934x12-0,323x2 із значенням критерію найменших квадратів 21,65. Результати кореляційно-регресійного аналізу свідчать, що зв’язок між змінними у та х дуже сильний, усі параметри функціональної залежності являються значимими. Довірчі інтервали свідчать про те, що найбільш неточно знайдений перший параметр функціональної залежності (±2,46), а найбільш точно знайдений другий параметр функціональної залежності (±0,08).

Задача 4. Інтенсивність надходження покупців до маркету протягом дня змінюється (табл. 2.13). Знайти апроксимуючу функцію, що наближено моделює інтенсивність надходження покупців в залежності від часу, та визначити якість знайденої функції.

Таблиця 2.13 Дані інтенсивності надходження покупців до маркету протягом дня

Розв’язання. Оскільки спостерігається два піки збільшення інтенсивності надходження покупців (на 9-ту та 18-ту годину), апроксимуюча

функція має бути принаймні 4-ого порядку: y=b0+b1t+b2t2 b3t3+b4t4.

Побудуємо матрицю для відшукання параметрів функціональної залежності:

55

Розрахуємо за формулою (2.22) параметри функціональної залежності:

Таким чином, апроксимуюча функціональна залежність має вид:

Yreg=f(x)=-362,3-86,5t+7,02t2-0,2t3-0,0001t4.

Оцінимо якість знайденої функціональної залежності. По-перше, розрахуємо критерій найменших квадратів за формулою (2.15):

n

F (b) = å ( f (xi ,b) - yi )2 = 873,6 .

i=0

Значення критерію найменших квадратів близько 302.

По-друге, оцінимо якість знайденої функціональної залежності методами кореляційно-регресійного аналізу. Розрахуємо індекс кореляції за формулою (2.23):

Отже, за шкалою Чеддока зв’язок оцінюється як сильний, але не дуже сильний. Значення індексу детермінації свідчить про те, що 64% змінювання інтенсивності надходження покупців пояснюється змінюванням часу.

Оцінимо значимість параметрів функціональної залежності (2.27)- (2.29):

Порівнюючи розраховані значення tj з критичним значенням tкр, знаходимо, що значення параметра b4 є незначимим.

Розрахуємо точність визначення параметрів функціональної залежності, які є значимими, за формулою (2.30):

56

Відповідь. Дані спостережень відповідають функціональній залежності f(x)=-362,3-86,5t+7,02t2-0,2t3-0,0001t4 із значенням критерію найменших квадратів 873,6. Результати кореляційно-регресійного аналізу свідчать, що зв’язок між змінними у та х сильний. Усі параметри функціональної залежності, окрім останнього, являються значимими. Точність визначення довірчих інтервалів першого та другого параметрів функціональної залежності недостатня, тому рекомендується збільшити кількість даних спостережень.

Задача 5. За результатами вимірювання значення середнього часу, що витрачає швачка на обробку шва в залежності від його довжини (табл. 2.14), знайти апроксимуючу функцію для моделювання цієї змінної величини. Оскільки вимірювання середнього часу проводилось для різної кількості швів, різні значення середнього часу мають різну точність вимірювання:

Таблиця 2.14

Результати вимірювання значення середнього часу, що витрачає швачка на обробку шва в залежності від його довжини

Розв’язання. Оскільки точність вимірювання спостережуваної величини сильно відрізняється, доцільно скористатись апроксимацією за критерієм χ2. Із даних спостережень випливає, що спостерігається зростання досліджуваної величини Y в залежності від змінної X. Тому доцільно припустити найпростішу лінійну залежність між цими змінними:

f (õ,b) = b0 + b1x .

Критерій χ2 за формулою (2.31) приймає для цієї функції вигляд:

Візьмемо частинні похідні по параметрам b0 , b1 і прирівняємо їх нулю:

57

Зробимо необхідні розрахунки і отримаємо наступну систему лінійних рівнянь:

ìb0 × 2,78 + b1 × 324,22 = 86,11

íîb0 ×324,22 + b1 × 43319 = 10918

Звідси знаходимо значення невідомих b0 , b1: b0 = 12,57

b1 = 0,16

Отже, знайдена апроксимуюча функція, що має вид:

f (õ,b) = 12,57 + 0,16 x ,

Досягається значення критерію χ2=18,28. Критичне значення складає

χ2кр = qchisq(0.95, 17-1-1)=25.

Оскільки спостережуване значення критерію менше за критичне,

приймається рішення про цілком задовільні результати апроксимації методом χ2.

Відповідь. Дані спостережень значення середнього часу, що витрачає швачка на обробку шва, в залежності від довжини шва відповідають функціональній залежності у=12,57+0,16х (у – середній час, х – довжина шва).

2.4.Завдання для самостійної роботи

Задача 1. З’ясуйте, чи є випадкові числа рівномірно розподіленими на інтервалі (0,1), якщо гістограма частот представляється наступними значеннями кількості влучень в інтервали (табл. 2.15):

Таблиця 2.15

Частота влучень в інтервали випадкової величини

Задача 2. Визначте закон розподілу випадкової величини, якщо ряд спостережуваних значень випадкової величини наступний:

10, 7, 8, 8, 8 ,8, 10,10, 9, 10, 7, 10, 7, 10, 9, 9, 8, 8, 8, 9, 6, 6, 5, 8, 7, 8, 8, 7, 8, 9, 9, 9, 8, 7, 8, 7, 6, 9, 9, 9.

58

Задача 3. Визначте закон розподілу випадкової величини, якщо гістограма частот представлена наступними значеннями:

Задача 4. Визначте закон розподілу випадкової величини, якщо ряд спостережуваних значень випадкової величини наступний:

121, 76, 65, 252, 85, 36 ,137, 80, 40, 48, 99, 101, 113, 124, 111, 66, 19, 170, 148, 42, 107, 184, 83, 0, 29, 34 ,74, 103, 70 ,83, 127, 111, 120, 42, 45, 45, 80, 34, 0, 163, 139, 107, 49, 53, 56, 113, 80, 165, 31 ,119.

Задача 5. Побудуйте апроксимуючу функцію виду y = b0 + b1 1x + b2 x12 за такими результатами спостережень:

Задача 7. Побудуйте апроксимуючу функцію за такими результатами спостережень:

Задача 8. Побудуйте апроксимуючу функцію, що відповідає наступним результатам спостережень, за критерієм χ2 :

59

2.5.Контрольні запитання

1)У який спосіб дослідник може визначити закон розподілу випадкової величини?

2)Дайте формулювання задачі ідентифікації закону розподілу?

3)Які критерії застосовуються для визначення відповідності обраного закону розподілу досліджуваним випадковим числам?

4)Як розраховується критерій χ2? λ-критерій?

5)Яку інформацію надає досліднику оцінка відповідності обраного закону розподілу досліджуваним випадковим числам?

6)За яких умов для визначення відповідності обраного закону розподілу досліджуваним випадковим числам застосовується критерій χ2?

7)Опишіть дії, що виконуються дослідником при визначенні закону розподілу випадкової величини.

8)Дайте формулювання задачі ідентифікації функціональної залежності.

9)У який спосіб дослідник може визначити функціональну залежність між змінними моделі?

10)За якої умови задача апроксимації не має розв’язку?

11)За якими міркуваннями дослідник обирає вид апроксимуючої функції?

12)Чи існують обмеження на вид функціональної залежності, що дослідник висуває в задачі апроксимації? Які?

13)За яким критерієм визначаються параметри функціональної залежності?

14)Який зміст критерію найменших квадратів?

15)Як складається система умовних рівнянь?

16)Як складається система нормальних рівнянь?

17)За якими формулами розраховуються параметри апроксимуючої функціональної залежності?

18)Яка мета досягається при виконанні кореляційно-регресійного аналізу?

19)За якими формулами виконується кореляційно-регресійний аналіз?

20)Який показник характеризує щільність зв’язку?

21)Що оцінюють за допомогою шкали Чеддока?

22)За яким критерієм оцінюється значимість параметрів функціональної залежності?

23)За яким критерієм визначається істотність індексу кореляції?

24)За якими формулами визначається довірчий інтервал параметра функціональної залежності?

25)Яку інформацію надає знання довірчого інтервалу?

26)В яких випадках використовується апроксимація за критерієм χ2?

27)Як виконується апроксимація функціональної залежності за критерієм χ2?

28)Які відмінності апроксимації за критерієм χ2 від апроксимації за критерієм найменших квадратів?

60