ms

λ-критерій, в якому порівнюються сумарні частоти влучення в інтервали. Зауважимо, що використання λ-критерію не вимагає об’єднання груп. Табличне значення λкр при рівні значимості 0,05 однакове для різних законів розподілу і складає 1,36. Тому функція if формує результат, порівнюючи знайдене значення λ-критерію з 1,36.

Рисунок 2.5. Лістинг Mathcad-програми:

формування масиву значень та оцінювання параметрів закону розподілу)

31

Сформулюємо задачу апроксимації. Розглядається об’єкт, що має одну вихідну змінну у та декілька вхідних змінних, представлених вектором х=(х1 ,х2 ,...хm). Відомі дані спостережень про значення вхідної та вихідної змінної представлені таблицею, яка має вигляд таблиці 2.3:

Таблиця 2.3

Дані спостережень

Задача апроксимації полягає у знаходженні функціональної залежності заданого виду, що найліпше відповідає даним спостережень з точки зору критерію найменших квадратів. Нехай уі – спостережувані значення вихідної змінної, yif = f (xi ) – розраховані за функціональною

залежністю f(xі) значення вихідної змінної. Ідея критерію найменших квадратів полягає у тому, що розбіжність між спостережуваними і розрахованими значеннями вихідної змінної повинна бути мінімальною. Якщо розбіжність вимірювати сумою різниць (yi − yif ), то може статися

так, що навіть при великих, але різних за знаком, різницях загальна розбіжність має мале значення. Тому розбіжність вимірюють сумою квадратів різниць (yi − yif )2 . Одже, критерій найменших квадратів має

де мінімум у загальному випадку розглядається по відношенню до різних пропонованих функцій f(xі).

Графічне представлення змісту критерію найменших квадратів наведено на рисунку 2.11. У випадку багатьох змінних неможливо представити графічно функціональну залежність у=f(x), тому на графіку розлядається тільки залежність у=у(і), де і – номер спостереження.

37

і

і n

Рисунок 2.11. До пояснення змісту критерію наменших квадратів

Апроксимацію функціональної залежності виконують у такий спосіб:

1)формують масив спостережуваних значень;

2)формують припущення про вид математичної функції f(x,b), де b – параметри функціональної залежності;

3)відшукують значення параметрів функціональної залежності b за критерієм найменших квадратів;

4)оцінюють якість знайденої функціональної залежності методами багатофакторного кореляційно-регресійного аналізу.

Послідовність дій, що виконують для апроксимації функціональної залежності, представлена на рисунку 2.12.

Рисунок 2.12. Послідовність дій, що виконують для апроксимації функціональної залежності

Формування масиву спостережуваних значень На відміну від функції однієї змінної, задача апроксимації функції

багатьох змінних має розв’язок тільки за умови, що змінні х1 ,х2 ,...хm не залежать одна від одної. Дійсно, якщо, наприклад, х1=g(х2), то змінна х1 має бути викреслена зі списку змінних. Якщо дослідник помилково включить залежну змінну у список змінних, параметри функціональної залежності не можуть бути знайдені.

38

Формування гіпотези про вид функціональної залежності Застосування методу найменших квадратів вимагає, щоб

функціональна залежність, яка знаходиться, мала лінійний відносно параметрів b вид:

f(x,b)=b0+b1·f1(x) +b2·f2(x)+….+ +bk·fk(x) (2.14)

де х=(х1 ,х2 ,...хm) – вектор змінних.

нелінійна залежність.

Припущення про вид функцій fі(x) дослідник має зробити, грунтуючись на своїх знання та досвіді. Параметри b функціональної залежності f(x,b) вибираються так, що забезепечити мінімум критерію найменших квадратів:

Оцінка значень параметрів функціональної залежності Значення критерію найменших квадратів визначається за

формулою:

Необхідною умовою екстремуму функції багатьох змінних є рівність нулю частинних похідних:

Візьмемо похідні в (2.16) і отримаємо:

39

Зробивши елементарні перетворення, отримаємо систему лінійних рівнянь для відшукання b:

Система (2.18) називається системою нормальних рівнянь. З (2.18)

невідомі b знаходяться, наприклад, методом Гауса.

При розрахунках на комп’ютері для розв’язання системи (2.18) зручно використовувати матричну форму запису рівнянь. Якщо підставити дані xі=(хі1 ,хі2 ,...хіn) та yі і=1,. n у (2.5), то утвориться n

рівнянь, які називаються системою умовних рівнянь:

Утворимо матрицю X зі стовпчиків 1, f1(xi), f2(xi)... fk(xi) у відповідності до доданків функціональної залежності (2.14). Тоді система умовних рівнянь приймає вид:

X·b=y. (2.20)

Неважко упевнитись, що умножив зліва обидві частини рівняння (2.11) на ХТ, отримаємо систему нормальних рівнянь (2.18), записану в матричному виді:

40