ms

За формулою (4.23) знайдемо нормуючий множник:

Сумуємо знайдені величини за формулами (4.34) та знаходимо середні кількості вимог в СМО:

M1 = 3,003, M 2 = 0,14, M 3 = 4,344, M 4 = 0,257 .

Обчислюємо частоти порожніх перегонів:

Знайдені частоти порожніх перегонів є невеликими – близько 4,5% для пунктів А і В та близько 5,5% для пунктів В і С.

Відповідь: частота порожніх перегонів вантажівок між А і В складає

4,5%, а між В і С – 5,5%.

Задача 4. Складіть мережу Петрі для наступної задачі та дослідіть, чи являється вона збережуваною.

Виробничий процес обслуговують три пристрої, які час від часу страждають від поломки. Якщо є запасний справний пристрій, то поламаний пристрій вилучається з виробничого процесу і відправляється на ремонтування, а замість нього у виробничий процес встановлюється запасний пристрій. Після ремонту пристрій знову може бути використаний у виробничому процесі.

141

Розв’язання. Виділимо множину подій, що виникають у системі: o виникла поломка в одному з пристроїв;

o заміна несправного пристрою на відремонтований; o ремонт пристрою.

Подія „виникла поломка в одному з пристроїв” здійснюється за умови, що є працюючий пристрій. Подія „заміна несправного пристрою на відремонтований” здійснюється за умови, що є наспівний пристрій і є відремонтований пристрій. Отже, множина умов:

∙є працюючий пристрій;

∙є зламаний пристрій;

∙є відремонтований пристрій;

∙є вилучений з виробництва пристрій;

З’єднуємо події та умови і отримуємо мережу Петрі, яка представлена на рисунку 4.20.

є вилучений з виробництва пристрій

Рисунок 4.20. Мережа Петрі, що представляє процес виникнення та усунення несправностей

Пронумеруємо позиції та переходи (рис. 4.21) та складемо матриці входів та виходів.

P4

Рисунок 4.21. Формалізована мережа Петрі, що представляє процес виникнення та усунення несправностей

142

Покажемо, що мережа Петрі, яка представлена на рисунку 4.21, володіє властивістю зберігання:

Складемо матрицю змінювань:

Розв’яжемо систему рівнянь для відшукання вектора w, який задовольняє умові (4.41):

Оскільки усі компоненти вектора w цілі додатні чиста, досліджувана мережа Петрі являється збережуваною. Зауважимо, що властивість зберігання має фізичний зміст. Наприклад, в даній мережі Петрі, сумарна кількість маркерів в позиціях за будь-якого досяжного маркірування, дорівнює 4. Тобто, загальна кількість поламаних та справних пристроїв в розглядуваній системі завжди складає 4.

4.5. Завдання для самостійної роботи

1. Знайдіть, при якій кількості каналів можливий сталий режим в мережі МО, яка представлена на рисунку 4.22, при заданих наступних пара-

метрах λ0=10, μ1=2, μ2=4, μ3=1, μ4=4:

1/3λ0

2/3λ0

1/9

Рисунок 4.22. Мережа МО до завдання 1

143

2. Телевізори, що зібрані, на заключній стадії виробництва проходять ряд пунктів контролю. В останньому з цих пунктів здійснюється перевірка настроювання телевізорів. Якщо при перевірці виявилося, що телевізор працює неякісно, він направляється в пункт настроювання, де настроюється наново. Після повторного настроювання телевізор знову направляється в останній пункт контролю для перевірки якості настроювання. Телевізори, що відразу або після декількох повернень у пункт настроювання пройшли фазу заключної перевірки, направляються в цех упаковування. Середній час між надходженнями телевізорів у пункт контролю дорівнює 5,5 хвилин У пункті заключної перевірки паралельно працюють два контролери. Час, необхідний на перевірку одного телевізора, складає в середньому 9 хвилин У середньому 85% телевізорів проходять перевірку успішно з першого пред'явлення і направляються на упаковування. Інші 15% повертаються в пункт настроювання, який обслуговується одним робітником. Час настроювання в середньому дорівнює 30 хвилин

Визначити час, що витрачається на обслуговування кожного телевізора на останньому етапі виробництва, а також завантаження контролерів і настроювача.

3. Проведіть розрахунки задачі 5 при такій зміні в її умовах: “Якщо в пункті В не має вантажу, то вантажівка повертається в пункт А обминаючи пункт С”. Як зміниться мережа МО, що моделює цю задачу? Як вплине введена зміна на частоту порожніх перегонів із А в В? із В в С? Зробіть висновки.

4. Майстерня по ремонту машин складається з цеху ремонту, у який надходять і ремонтуються вузли, і цеху контролю, в якому відремонтовані вузли перевіряються і випускаються з майстерні або направляються на доробку. У цеху ремонту є три однакових робочих місця, а в цеху контролю знаходиться один контролер. Вузли потрапляють у систему через інтервали часу, що розподілені за експоненціальним законом з математичним сподіванням 10 од. часу. Час ремонту вузла в середньому складає 22 од. часу. Перевірка вузла займає приблизно 6 од. часу. Після перевірки вузол відправляється на доробку з ймовірністю 0,15. Спрямовані на доробку вузли стають у чергу до цеху ремонту.

Визначити такі величини: 1) завантаження робочих місць та контролера; 2) середній час очікування в цеху ремонту; 3) загальний час обслуговування вузла в майстерні.

5. Шість верстатів виконують завдання, які надходять із інших відділів цеху у середньому одне завдання на годину. Завдання, виконані на верстаті, вважаються такими, що залишили систему. Верстати страждають від поломок, при яких вони не можуть продовжувати виконання за-

144

вдань. Інтервали між поломками окремого верстата мають експоненціальний розподіл з математичним сподіванням 18. Коли верстат ламається, починається процес усунення поломки, що складається з трьох фаз. Тривалість кожної фази є випадкова величина, що має експоненціальний розподіл з математичним сподіванням 2/3 години. Після усунення поломки процес виконання завдань верстатом продовжується.

Визначити середню кількість верстатів, що знаходяться в робочому стані та середній час усунення поломки окремого верстата.

6. Потік вимог на одержання книг є пуассонівським потоком з інтенсивністю 25 вимог за годину. Вимоги приймає один бібліотекар. Приймання вимоги займає інтервал часу, розподілений за експоненціальним законом із середнім часом 1 хвилина. З імовірністю 0,25 надходять вимоги на наукову літературу, з імовірністю 0,45 – на художню, з імовірністю 0,3 – на періодичні видання. Згідно з типом вимоги направляються до відділів наукової літератури, художньої літератури і періодичних видань. У цих відділах працюють відповідно 3 особи, 2 особи і 2 особи. Час пошуку книги складає в середньому 30 хвилин у науковому і художньому відділах, а час пошуку літератури у відділі періодичних видань - в середньому 25 хвилин. Потім замовлена література надходить у відділ видачі літератури, де працює 2 бібліотекаря. Час видачі літератури складає в середньому 2 хвилини.

Визначити середній час виконання замовлення.

7. Скласти матрицю входів та матрицю виходів для наступної мережі Петрі (рис. 4.23). Знайти результат запуску послідовності переходів T1-T2-T3.

Р2 Т2

Р1 Т1 Р4

Р3 Т3

Рисунок 4.23. Мережа Петрі до завдання 7

8. Складіть матриці входів та виходів для мережі Петрі, яка представлена на рисунку 4.24, та знайдіть результат запуску такої послідовності переходів: Т1 Т2 Т3 Т2.

145

Рисунок 4.24. Мережа Петрі до завдання 8

9. Складіть матриці входів та виходів для мережі Петрі, яка представлена на рисунку 4.25, та знайдіть результат запуску такої послідовності переходів: Т3 Т2 Т1 Т2.

Рисунок 4.25. Мережа Петрі до завдання 9

10. Скласти матрицю входів та матрицю виходів для мережі Петрі, що відповідає самостійному завданню 7 розділу 3. Дослідіть властивості складеної мережі Петрі матричним способом. Чи досяжне маркірування, що відповідає стану системи, коли всі верстати зламані? усі верстати працездатні?

11. Побудувати дерево досяжності для мережі Петрі, яка представлена на рисунку 4.26.

12. Побудувати дерево досяжності для мережі Петрі, яка була побудована в задачі 7 розділу 3 (див. рис. 3.34), та дослідити властивості мережі Петрі.

13. Побудувати дерево досяжності для мережі Петрі, що відповідає самостійному завданню 9 розділу 3. Дослідіть властивості складеної мережі Петрі. В яких маркіруваннях виникає символ ω? Яким місцям роботизованої виробничої системи вони відповідають? З’ясуйте рівні активності переходів. Зробіть висновки про властивості системи, що досліджується.

146

t3

Рисунок 4.26. Мережа Петрі до завдання 11

14. Побудувати дерево досяжності для мережі Петрі, що відповідає самостійному завданню 11 розділу 3. Дослідіть властивості складеної мережі Петрі. Чи є досяжним маркірування, при якому танкери всіх типів знаходять в порту? Чи являється мережа Петрі k-обмеженою? Зробіть висновки про властивості системи, що досліджується.

4.6.Контрольні запитання

1)За яких припущень розглядаються аналітичні моделі мереж масового обслуговування?

2)Які параметри задають розімкнуту мережу МО? замкнуту мережу МО?

3)Як розраховується нормуючий множник у випадку розімкнутої мережі МО? у випадку замкнутої мережі МО? Як перевірити правильність розрахунку нормуючого множника?

4)Що таке коефіцієнти передачі? Як вони знаходяться у випадку розімкнутої мережі МО? у випадку замкнутої мережі МО?

5)Як знаходяться ймовірності станів розімкнутої мережі МО? замкнутої мережі МО?

6)Які вихідні характеристики розімкнутої мережі МО? Як вони розраховуються?

7)Які вихідні характеристики замкнутої мережі МО? Як вони розраховуються?

8)Як перевірити правильність розрахунків?

9)Які висновки можна зробити на основі зроблених розрахунків вихідних характеристик мережі МО?

10)З яких елементів складається мережа Петрі?

147

11)У чому полягає умова запуску переходу?

12)Як здійснюється запуск переходу?

13)Як складається матриця входів? матриця виходів? матриця змінювань?

14)Які властивості мереж Петрі Ви знаєте?

15)Як виконується дослідження збережуваності мережі Петрі?

16)Як виконується дослідження досяжності маркірування мережі Петрі?

17)Як визначається рівень активності переходу мережі Петрі?

18)У чому полягає обмеженість застосування матричного підходу до дослідження властивостей мереж Петрі?

19)Що називають деревом досяжності мережі Петрі?

20)Як складається дерево досяжності мережі Петрі?

21)Опишіть алгоритм складання дерева досяжності.

22)Які властивості мережі Петрі можна дослідити за допомогою дерева досяжності?

23)Як виконується дослідження збережуваності мережі Петрі?

24)Як виконується дослідження досяжності маркірування мережі Петрі?

25)Що розуміють під покриттям маркірування?

26)У чому полягає обмеженість застосування дерева досяжності до дослідження властивостей мереж Петрі?

148

Розділ 5 ІМІТАЦІЙНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

Необхідність у використанні імітаційного моделювання може виникнути з наступних причин:

1)методи аналітичного моделювання не можуть бути використані через складність моделі;

2)застосування методів аналітичного моделювання дасть результати, які не задовольняють меті дослідження системі;

3)застосування методів імітаційного моделювання дозволяє універсалізувати рішення множини задач, що розглядається.

Імітаційне моделювання системи передбачає, що процес функціонування системи відтворюється за допомогою алгоритму, який реалізується за допомогою комп’ютера.

Англійський термін імітаційного моделювання „simulation modeling” підказує суть цього методу. Моделлю системи у разі імітації є комп’ютерна програма, яка прикидається (симулює), що вона є реальна система.

Будь-яка реальна система функціонує в часі, змінювання якого відбувається незалежно від людини. Якщо дослідник збирається відтворювати функціонування системи, то йому доведеться, по-перше, моделювати змінювання часу, і тільки, по-друге, моделювати зміни в моделі відповідно до змінювання часу.

Особливо корисною виявилась імітація для дослідження стохастичних систем, в яких переплітається вплив багатьох випадкових величин. Моделювання випадкових величин в комп’ютерних програмах пов’язано із побудовою генераторів випадкових величин. Тому від дослідника, який займається проблемами імітаційного моделювання систем, потрібно насамперед досконале знання методів та способів побудови генераторів випадкових величин.

5.1. Генератори випадкових величин

Способи генерування випадкових величин Імітаційні моделі складних систем містять випадкові величини, що

мають різні закони розподілу. При побудові алгоритму імітації ці випадкові величини реалізуються генераторами випадкових чисел. Від якості генераторів випадкових чисел, що використовуються, залежить точність результатів імітаційного моделювання.

Відомі наступні способи генерування випадкових величин:

§зберігання у комп’ютері таблиці випадкових чисел і отримання потім з неї даних для імітаційного моделювання;

§використання деякого фізичного пристрою, наприклад електронної лампи, для генерації випадкового шуму;

149

§ застосування рекурсивних формул коли на підставі і-того випадкового числа обчислюється і+1-ше випадкове число.

Недоліком першого способу є зберігання великого обсягу інформації та повільна швидкість. Недоліком другого способу - неможливість направленого експерименту з параметрами моделі. Третій спосіб не має недоліків попередніх способів і в теперішній час є найбільш прийнятним.

Генерування рівномірно розподілених в інтервалі (0;1) випадкових величин на основі рекурсивних формул

Генератори випадкових чисел, що рівномірно розподілені на інтервалі (0; 1), зазвичай є вбудованими в програмне забезпечення. Тому досліднику, як правило, не доводиться самостійно будувати такі генератори. Але розуміти, як побудовані такі генератори випадкових чисел і уміти перевірити, чи задовольняють вбудовані генератори властивостям, які йому потрібні для цілей моделювання, необхідно.

До генераторів випадкових чисел, що використовуються у цілях імітаційного моделювання, висуваються наступні вимоги:

1)числа рівномірно розподілені на інтервалі (0;1) і незалежні;

2)генерується достатньо велика кількість чисел, що не повторюються;

3)послідовність випадкових чисел може бути відтворена;

4)швидкодія;

5)обсяг пам’яті, що використовується, достатньо малий.

Очевидно, що комп’ютер може генерувати хоч і велику, але обмежену кількість чисел на інтервалі (0;1). Розглянемо, як той факт, що генеровані за допомогою комп’ютера числа не досить щільно займають заданий інтервал, впливає на основні характеристики випадкової величини.

Неперервна випадкова величина ξ, яка рівномірно розподілена на інтервалі (0;1) має:

ì1,0 ≤ x ≤ 1,

щільність розподілу f ( x ) = í

î0,x < 0,x > 1;

Комп’ютер оперує з n-розрядними числами, тому замість неперервної сукупності рівномірних випадкових чисел інтервал (0;1) використовується дискретна послідовність 2n випадкових чисел ζі :

ζ i = 2ni-1 , i=0, …2n-1.

Випадкові числа ζі приймають і-те значення з ймовірністю pi = 21n .

150