- •Глава 1. Алгебра свободных векторов
- •Свойства операций сложения векторов и умножения на скаляр
- •Линейная зависимость и независимость
- •Ранг системы векторов
- •Базис линейного пространства
- •Свободные векторы на плоскости и в пространстве
- •Свойства скалярного произведения
- •Вычисление скалярного произведения в координатах
- •Применение скалярного произведения
- •Ориентация плоскости и пространства
- •Векторное произведение
- •Свойства векторного произведения
- •Смешанное произведение
- •Свойства смешанного произведения
- •Вычисление смешанного произведения в координатах
- •Применение векторного и смешанного произведения
- •Глава 2. Аналитический метод изучения фигур
- •1. Системы координат
- •1. Фигуры вращения
- •2. Конусы
- •3. Цилиндры
- •4. Метод сечений
- •Специальные виды уравнений прямой на плоскости
- •Основные метрические задачи на прямую на плоскости
- •Специальные виды уравнений плоскости
- •Взаимное расположение плоскостей и точек в пространстве
- •Основные метрические задачи на плоскость
- •Различные способы задания прямой в пространстве
- •Основные метрические задачи на прямую в пространстве
- •Плоскость и прямая в пространстве
- •Глава 4. Алгебраические фигуры второго порядка
- •Приведение уравнений второй степени к каноническому виду
- •Эллипс, гипербола и парабола
- •1. Эллипс
- •2.Гипербола
- •3. Парабола
- •Приведение уравнений второй степени к каноническому виду
- •Линейчатые фигуры второго порядка в пространстве
- •Линии на плоскости
- •Поверхности в пространстве
Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е.
4.Фигуры в пространстве (фигуры вращения, конусы и цилиндры).
1.Фигуры вращения
Определение 7. Фигура вращения — множество, получающееся в результате объединения непустого множества окружностей, центры которых лежат на некоторой прямой — оси вращения, а их плоскости перпендикулярны оси вращения. Окружности, составляющие фигуру вращения, называются параллелями. Сечения фигуры вращения плоскостью, содержащей ось вращения, называются меридианами.
ТЕОРЕМА 2.2 (Об уравнении фигуры вращения). Пусть в плоской декартовой системе координат XOY меридиан определяется уравнением f (x, y) 0 . Тогда уравнение фигуры вра-
щения относительно оси OY
Y
M΄ |
|
C |
|
|
|
||
N |
|
j |
|
|
O |
i |
|
Z |
k |
||
|
|||
|
|
Рис. 5 |
будет иметь вид f ( x2 z 2 , y) 0 .
Доказательство. Пусть f (x, y) 0 — уравнение меридиана (см. рис. 5) фигуры вращения . Так
как yM = yN = yC, xM xN2 zN2 , то получаем сле-
дующую последовательность эквивалентностей:
(N ) (M ) ( f (xM , yM ) 0 )
M |
( f ( |
2 2 |
|
xN zN , yN ) 0 ). |
Повторим эти же рассуждения для диаметрально противоположной точки N΄, получим:
X |
(N ) ( f ( xN2 zN2 , yN ) 0 ). |
Откуда получаем: |
(N ) ( f ( xN2 zN2 , yN ) 0 ).
ТЕОРЕМА 2.3 (Достаточный признак фигуры вращения). Пусть уравнение некоторой фигуры в пространстве относительно декартовой системы
координат имеет вид f (s, y) 0 , где s x2 z 2 . Тогда эта фигура — фигура вращения отно-
сительно оси OY , а уравнение меридиана в плоскости XOY имеет вид f (x2 , y) 0 . Доказательство. Построим фигуру вращения вокруг оси OY с меридианом, заданным урав-
нением f (x2 , y) 0 . По теореме 2.2 эта фигура вращения определяется уравнением
f (( x2 z 2 )2 , y) 0 , т.е. уравнением |
f (x2 z 2 , y) 0 . Таким образом, эта фигура враще- |
|||
ния имеет вид |
f (s, y) 0 , где s x2 z 2 . |
|
|
|
ЗАМЕЧАНИЕ. |
Из симметричности |
меридиана |
относительно оси |
OY следует |
f (x, y) 0 f ( x, y) 0 . Свойство ( f (x, y) 0 |
f ( x, y) 0 ) называется |
чётностью |
уравнения f (x, y) 0 по аргументу x. Обратное утверждение также верно, т.е. из четности
уравнения фигуры следует симметричность этой фигуры, а именно справедливы следующие теоремы.
ТЕОРЕМА 2.4 (Условия симметричности фигуры на плоскости).
1.Фигура на плоскости симметрична относительно некоторой оси какой-либо декартовой системы координат тогда и только тогда, когда уравнение этой фигуры является четным по соответствующему аргументу.
2.Фигура на плоскости симметрична относительно полюса какой-либо декартовой системы координат тогда и только тогда, когда уравнение этой фигуры является четным по всем аргу-
ментам: f (x, y) f ( x, y) 0 .
ТЕОРЕМА 2.5 (Условия симметричности фигуры в пространстве).
1. Фигура в пространстве симметрична относительно некоторой координатной плоскости ка- кой-либо декартовой системы координат тогда и только тогда, когда уравнение этой фигуры является четным по соответствующему аргументу. Например, f (x, y, z) f (x, y, z) 0 тогда
19
Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е.
и только тогда, когда фигура симметрична относительно плоскости XOZ .
2. Фигура в пространстве симметрична относительно некоторой оси какой-либо декартовой системы координат тогда и только тогда, когда уравнение этой фигуры является четным по соответствующей паре аргументов. Например, f (x, y, z) f ( x, y, z) 0 тогда и только то-
гда, когда фигура симметрична относительно оси OZ .
3. Фигура в пространстве симметрична относительно полюса какой-либо декартовой системы координат тогда и только тогда, когда уравнение этой фигуры является четным по всем аргу-
ментам: f (x, y, z) f ( x, y, z) 0 .
ПРИМЕР 1 (Вывод уравнения сферы). Уравнение меридиана – это уравнение окружности (см.
Zрис. 6): x 2 + y 2 = R 2. Тогда по теореме 2.2 уравнение фигуры вращения относительно оси OX будет иметь вид x2 ( y2 z 2 )2 R2 , т.е. x 2 + y 2 + z 2 = R 2. Применяя формулу переноса начала коорди-
|
нат, получим: |
|
Y |
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R 2 |
|
уравнение сферы с центром в точке (a, b, c). Аналогичные рассуж- |
||
X |
дения приводят к |
|
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 R 2 |
||
Рис. 6 |
yравнению шара с центром в точке (a, b, c). |
|
ПРИМЕР 2 (Вывод уравнения тора). Уравнение меридиана (две ок- |
||
|
ружности): (x a)2 + y 2 = R 2. Откуда ((x – Y a)2 + y 2 – R 2)((x + a)2 + y 2– R 2) = 0
– уравнение их объединения. Тогда по теореме 2.2 уравнение фигуры вращения относи- X тельно оси OY будет иметь вид:
|
|
|
(( |
x2 z 2 – a)2 + y 2 – R 2) (( |
x2 z 2 + |
-a |
|
a |
|||
|
|
|
+ a)2 + y 2 – R 2) = 0, откуда (x 2 + y 2 + z 2 + a2 – – |
||
|
|
|
|||
|
|
|
R 2 2a x2 z 2 ) (x 2 + y 2 + z 2 + a2 – R 2 |
||
|
Z |
2a |
x2 z 2 ) = 0. Учитывая формулу раз- |
Рис. 7 |
ности квадратов получаем: |
(x 2 + y 2 + z 2 + a2 – R 2)2 – 4a 2(x 2 + z 2) = 0 |
|
|
уравнение тора. |
2. Конусы
Определение 8. Конус — множество, получающееся в результате объединения непустого множества прямых – образующих конуса, проходящих через общую точку — вершину конуса. Фигура, имеющая точно одну общую точку с каждой из образующих конуса, называется на-
правляющей конуса.
N
e3 rN
O rM
e1 |
M |
|
|
Рис. 8
Так как векторы rN и rM
ТЕОРЕМА 2.6 (Об уравнении конуса). Пусть вершина конуса совпадает с полюсом O системы O( e1 e2 e3 ) и на-
e2 |
правляющая (см. рис. 8), |
не содержащая полюс O, опре- |
||||||
|
деляется уравнением f (x, y, z) 0 . Тогда уравнение конуса |
|||||||
|
(без вершины) в этой системе координат может быть зада- |
|||||||
|
но в параметрическом виде: |
f ( |
x |
, |
y |
, |
z |
) 0 , при t 0. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
t |
t |
t |
Доказательство. Действительно, по определению конуса
вместе с каждой точкой M ему принадлежат и все точки N прямой OM (см. рис. 8):
(N ) (M ) ( f (xM , yM , zM ) 0 ).
коллинеарные, то rN =t rM , что равносильно xN = t xM, yN = t yM, zN
20
Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е.
= t zM, или xM = xN /t, yM = yN /t, zM = zN /t. Таким образом,
( f (xM , yM , zM ) 0 ) ( f ( xtN , ytN , ztN ) 0 ).
Определение 9. Уравнение f (x, y, z) 0 называется однородным, если выполняется f (x, y, z) f ( x, y, z) 0 для любого числа . Аналогично определяется однородное нера-
венство.
ТЕОРЕМА 2.7 (Достаточный признак конуса). Пусть фигура в пространстве, имеющая, по крайней мере, две точки, задана в некоторой аффинной системе координат однородным уравнением f (x, y, z) 0 . Тогда эта фигура является конусом с вершиной в полюсе аффинной
системы координат.
Доказательство. Если точка N , M(xN, yN, zN) O, т.е. f (xN , yN , zN ) 0 , то в силу однородности и любая точка ( xN, yN, zN) , для любого R. Следовательно, фигура со-
держит всю прямую проходящую через N и O.
ПРИМЕР 3 (Вывод уравнения прямого кругового конуса). Уравнение направляющей:
Zx2 y2 R2 , тогда по теореме 2.6 :
z c
|
|
|
2 |
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
c |
|
x |
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
t |
2 |
|
|
|
, где t 0, — параметрическое уравнение ко- |
||||||||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Y |
z |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2 |
|
|||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
2 |
|
|||
нуса. Выражая t c и подставляя t |
c2 в первое равенст- |
||||||||||||||||||||
Рис. 9 |
|
||||||||||||||||||||
во, получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x |
2 |
+ y |
2 |
= z |
2 R2 |
— уравнение кругового конуса. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
c2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАМЕЧАНИЕ. Эту же фигуру можно получить как вращение прямых y = z Rc вокруг оси OZ
(теорема 2.2), т.к. y 2 = z 2 R2 — уравнение меридиана (объединения этих прямых). c2
3. Цилиндры
Определение 10. Цилиндр — объединение непустого множества параллельных между собой прямых в пространстве, называемых образующими цилиндра. Фигура, имеющая точно одну общую точку с каждой из образующих цилиндра, называется направляющей цилиндра.
ТЕОРЕМА 2.8 (Об уравнении цилиндра). Пусть ось OZ параллельна
Z |
|
|
N |
|
образующим |
цилиндра и направляющая задана уравнением |
|||||||
|
|
|
Y |
f (x, y, z) 0 . Тогда уравнение цилиндра в этой системе координат |
|||||||||
r |
N |
|
|
|
может быть задано в параметрическом виде: f (x, y, z t) 0 . |
||||||||
e3 |
|
e2 |
M |
Доказательство. Действительно, по определению цилиндра вместе |
|||||||||
O |
|
r |
M |
с каждой точкой M ему принадлежат и все точки N прямой NM || |
|||||||||
|
|
OZ (см. рис. 10): |
|||||||||||
e1 |
|
|
(N ) (M ) ( f (xM , yM , zM ) 0 ). |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Так как векторы e3 и |
|
коллинеарные, то |
r |
M – |
r |
N = t e3 , t R. От- |
|
X |
|
|
|
|
NM |
||||||||
Рис. 10 |
|
куда xM = xN, |
yM = yN, zM – zN = t или zM = zN + t. Таким образом, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
( f (xM , yM , zM ) 0 ) ( f (xN , yN , zN t) 0 ). |
ПРИМЕР 4. Пусть направляющая цилиндра лежит в плоскости XOY, т.е. уравнение направ-
21
Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е.
ляющей имеет вид:
f (x, y) 0
, тогда по теореме 2.8 уравнение цилиндра с образующими, параллельными оси
z 0
f (x, y) 0
OZ, имеет вид: , t R. Таким образом:
z t 0
f (x, y) 0 — уравнение этого цилиндра.
ПРИМЕР 5 (Вывод уравнения кругового цилиндра). Уравнение направляющей в плоскости
Z |
XOY (см. рис. 11): (x – a)2 + (y – b)2 = R 2. Тогда по предыдущему при- |
||||||||
меру: (x |
– a) |
2 |
+ (y – b) |
2 |
= R |
2 |
— уравнение прямого кругового цилинд- |
||
|
|
|
|
||||||
|
ра. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ТЕОРЕМА 2.9 (Достаточный признак цилиндра). Пусть уравнение |
||||||||
O |
некоторой непустой фигуры в пространстве относительно аффинной |
||||||||
системы |
координат |
содержит только две переменные, например |
|||||||
Y |
|||||||||
f (x, y) 0 . Тогда данная фигура — цилиндр, образующие которого |
|||||||||
X |
параллельны оси OZ |
, а уравнение направляющей в плоской аффин- |
|||||||
ной системе координат XOY имеет вид f (x, y) 0 . |
|||||||||
|
Рис. 11 |
Доказательство. Пример 4 является доказательством этой теоремы. |
|
4. Метод сечений
При определении формы фигуры в пространстве применяют метод сечений, что помогает
Zполучить “скелетное” изображение фигуры на рисунке. Суть этого метода заключается в выборе подходящих плоскостей и изображении сечений данной фигуры этими плоскостями. На-
|
|
пример, для изображения конуса |
|
|
|
|
||||||||
|
|
x |
2 |
+ y |
2 |
= z |
2 R2 |
удобно рассмотреть сечения плоскостями z |
||||||
|
|
|
|
|
c2 |
|||||||||
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
2 |
|
|
|
= p, тогда уравнения сечений: |
x2 y2 |
p2 |
|
|
||||||||
X |
|
c2 (см. рис. 12) |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
Рис. 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z p |
|
|
|
|
|
— окружности разного диаметра, в зависимости от значения p. |
|||||||||||||
|
|
22
Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е.
Глава 3. Алгебраические фигуры первого порядка
Определение 1. Уравнение вида p x |
n |
m |
z |
k |
0 называется алгебраическим, а |
y |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
число s max(n m k ) называется степенью алгебраического уравнения. Таким обра-
зом, уравнение f (x, y, z) 0 называется алгебраическим уравнением степени s, если его левая
часть является многочленом от переменных x, y, z, степень которого deg( f ) = s. Для степени многочленов справедливы следующие свойства:
1)deg( f + g ) max{deg( f ), deg (g)};
2)deg( f g) = deg( f ) + deg(g);
3)deg( f n) = n deg( f ), где f и g — два многочлена с коэффициентами поля R. Доказательство проверить самостоятельно (упражнение).
Определение 2. Фигура в пространстве (плоскости) называется алгебраической порядка n,
если в аффинной системе координат она может быть определена алгебраическим уравнением степени n и не может быть определена уравнением степени меньше чем n. Всякая не алгебраическая фигура называется трансцендентной.
Например: (x – a)2 + (y – b)2 = R 2 — окружность на плоскости или прямой круговой цилиндр в пространстве являются фигурами второго порядка. Тор является фигурой четвертого порядка. Фигурами нулевого порядка являются все пространство (плоскость) [его можно за-
дать равенством 0 = 0] и пустое множество [его можно задать равенством 2 = 0], на чем можно закончить исследование фигур нулевого порядка.
Определение 3. Свойства алгебраического уравнения алгебраической фигуры называются аффинными инвариантами, если они сохраняются при переходе к любой аффинной системе координат. Свойства алгебраического уравнения алгебраической фигуры, заданной в декартовой системе координат, называются ортогональными инвариантами, если они сохраняются при переходе к любой декартовой системе координат.
ТЕОРЕМА 3.1 (об инвариантности степени алгебраического уравнения). При переходе к другой аффинной системе координат степень уравнения, определяющего алгебраическую фигуру, сохраняется.
Доказательство. Пусть f (x, y, z) = p xn ym z k 0 (1). Учитывая формулы перехо-
да к новой аффинной системе координат (теорема 2.1, а именно Формулы преобразования аф-
финных координат точки в пространстве) произведем замену переменных x, y, z на x΄, y΄, z΄ в
уравнении (1). Получим алгебраическое уравнение g(x , y , z ) = p x n y m z k 0 (2),
степень которого deg( g ) deg( f ) (3), так как формулы преобразования имеют линейный вид (многочлены первой степени) и справедливы соответствующие свойства степени многочленов (см. выше). Поскольку существует обратный переход (теорема 1.7, о матрице перехода), то при замене в уравнении (2) x΄, y΄, z΄ на x, y, z получим уравнение (1), где по тем же рассужде-
ниям deg( f ) deg( g ) (4). Из неравенств (3) и (4) следует равенство deg( g ) = deg( f ).
1. Прямые на плоскости.
По определению фигура на плоскости является фигурой -го порядка, если её можно |
|||
n (A, B) |
L |
задать уравнением Ax + By + C = 0. учитывая инвариантность |
|
степени уравнения относительно перехода к новой системе ко- |
|||
|
ординат можно ограничиться декартовой системой координат. ТЕОРЕМА 3.2 (основная теорема о прямой на плоскости). Фигурами I-го порядка на плоскости являются прямые и только они.
Доказательство. (достаточность) Пусть дана прямая L, M(x0, y0), перпендикулярно данному вектору n (A, B). Тогда
23