- •Глава 1. Алгебра свободных векторов
- •Свойства операций сложения векторов и умножения на скаляр
- •Линейная зависимость и независимость
- •Ранг системы векторов
- •Базис линейного пространства
- •Свободные векторы на плоскости и в пространстве
- •Свойства скалярного произведения
- •Вычисление скалярного произведения в координатах
- •Применение скалярного произведения
- •Ориентация плоскости и пространства
- •Векторное произведение
- •Свойства векторного произведения
- •Смешанное произведение
- •Свойства смешанного произведения
- •Вычисление смешанного произведения в координатах
- •Применение векторного и смешанного произведения
- •Глава 2. Аналитический метод изучения фигур
- •1. Системы координат
- •1. Фигуры вращения
- •2. Конусы
- •3. Цилиндры
- •4. Метод сечений
- •Специальные виды уравнений прямой на плоскости
- •Основные метрические задачи на прямую на плоскости
- •Специальные виды уравнений плоскости
- •Взаимное расположение плоскостей и точек в пространстве
- •Основные метрические задачи на плоскость
- •Различные способы задания прямой в пространстве
- •Основные метрические задачи на прямую в пространстве
- •Плоскость и прямая в пространстве
- •Глава 4. Алгебраические фигуры второго порядка
- •Приведение уравнений второй степени к каноническому виду
- •Эллипс, гипербола и парабола
- •1. Эллипс
- •2.Гипербола
- •3. Парабола
- •Приведение уравнений второй степени к каноническому виду
- •Линейчатые фигуры второго порядка в пространстве
- •Линии на плоскости
- •Поверхности в пространстве
Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е.
тированы, если u = e Qe |
u |
и | Qe |
| > 0 |
(| Qe |
| < 0). |
|
|
u |
|
u |
ТЕОРЕМА 1.16 (О классах ориентации). Отношение одинаковой ориентированности является абстрактным отношением эквивалентности, и существует только два класса одинаково ориентированных базисов: B+, B-.
Доказательство. Действительно, e = eE, где |E| = 1 > 0, т.е. всякий базис одинаково ориенти-
рован сам с собой (реффлексивность). Если u = e Qe |
и | Qe |
| > 0, тогда e = u Qe |
–1, где | Qe |
u |
–1|= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| –1 > 0 (симметричность). |
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
u |
|
|
|
u |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
= | Qe |
|
|
Если |
u= |
e Qe |
u |
(| Qe |
| > 0) |
и v = u Qu |
v |
(| Qu |
| > 0), |
тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|||
v = e Qe |
u |
Qu |
, где | Qe |
Qu |
|
|
| = | Qe |
u |
|| Qu |
v |
| > 0 (транзитивность). Допустим e, u, v разно ориенти- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
u |
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
рованные базисы, т.е. u = e Qe |
u |
и | Qe |
| < 0, v = uQu |
v |
и | Qu |
| < 0. Тогда v = e Qe |
Qu |
, |
где |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
u |
v |
|
|
|||
| Qe |
|
|
|
Qu |
v |
| = | Qe |
u |
|| Qu |
v |
| > 0, т.е. e и v одинаково ориентированные. Следовательно, существует |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
только два класса одинаково ориентированных базисов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Принято называть класс B+ классом правой или положительной ориентации, класс B- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
классом левой или отрицательной ориентации. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На плоскости за правую ориентацию принят тот случай, когда кратчайший путь от пер- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вого ко второму вектору базиса идет против часовой стрелки (см. Рис. 7). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично и в пространстве положитель- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ной ориентацией называют тот случай, когда |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кратчайший путь от первого ко второму и от вто- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рого к третьему векторам базиса идет против ча- |
||||||||||||||
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
совой стрелки (см. Рис. 8). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Справедливо следующее свойство: цикличе- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ская перестановка векторов базиса простран- |
||||||||||||||
( i , |
j , k ) — пра- |
|
|
( j , i , k ) — ле- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ства не меняет ориентации, |
любая транспози- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
вый базис |
|
|
|
|
|
|
|
вый базис |
|
|
ция приводит к противоположной ориентации, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которое следует из свойства знакопеременности |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определителя. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторное произведение
Определение 17. Векторным произведением векторов ā и b называется вектор [ā, b ], оп-
ределяемый следующими тремя условиями:
1)|[ā, b ]| = |ā|| b |sin( āb );
2)(ā, b ,[ā, b ]) B+ (образуют правую тройку);
3)ā [ā, b ] & b [ā, b ].
Свойства векторного произведения
1. [ā, b ] = 0 ā|| b (обращение в нуль); 2. [ā, b ] = – [ b , ā] (антикоммутативность);
3. |[ā, b ]| = S площадь параллелограмма, построенного на этих векторах (геометрический
смысл длины [ā, b ]).
Доказательство. Следуют из определения векторного произведения, правила ориентации и формулы площади параллелограмма через синус угла.
Смешанное произведение
Определение 18. Смешанное произведением векторов ā, b и c определяется следующим выражением: āb c := [ā, b ] c .
10
Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е.
Свойства смешанного произведения
. Геометрические
1)(Обращение в нуль). āb c = 0 Cp(āb c ).
2)(Знак смешанного произведения). āb c > 0 āb c B+; āb c < 0 āb c B-.
3)(Модуль смешанного произведения). |āb c | = V параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах.
Доказательство. 1) ā |
|
c = 0 c [ā, |
|
|
] (ā [ā, |
|
|
|
] & |
|
|
[ā, |
|
|
] & c [ā, |
|
]) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
b |
|
b |
b |
b |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ā, |
|
|
, c лежат в одной плоскости, т.е. Cp(ā |
|
|
c ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
2) ā |
|
|
|
c > 0 [ā, |
|
] c < |
|
[ā, |
|
|
] и c находятся в одном полупространстве относительно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
b |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
плоскости (ā, |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
ā |
|
[ā, |
|
|
] B+, также и |
ā |
|
|
c B+. Аналогично, ā |
|
c < 0 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
). И так |
как |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
b |
b |
b |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ā |
|
c B-. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3) |ā |
|
c | = |[ā, |
|
] c | = |[ā, |
|
|
]|| c ||cos( [ā, |
|
] c )| = Sосн. h = V, где Sосн. = |[ā, |
|
]| — площадь ос- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
b |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нования параллелепипеда (свойство 3 векторного произведения), |
h = | c ||cos( [ā, |
|
] c )| — его |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
высота, опущенная на это основание. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Алгебраические
1)āb c = – b āc = – āc b = – c b ā (антикоммутативность). Следствие: āb c = c ā = b c ā (цикличность); ā āb = āb b = āb ā = 0 (признак равенства нулю).
2) (āb c ) = ( ā) b c = ā( b ) c = āb ( c ) (ассоциативность относительно числового множителя).
3) (ā1 + ā2) b c = ā1 b c + ā2 b c ; ā( b 1+ b 2) c = āb 1 c + āb 2 c ; āb ( c 1+ c 2) = āb c 1 + + āb c 2 (дистрибутивность относительно суммы по каждому сомножителю).
Доказательство. Свойство 1) следует из геометрических свойств 2) и 3). Свойства 2) и 3) следуют из аналогичных свойств скалярного произведения с учетом свойства антикоммута-
тивности. Например, ā( b 1 + b 2) c = – āc ( b 1 + b 2) = – [ā, c ] ( b 1+ b 2) = – [ā, c ] b 1 – [ā, c ] b 2 =
– āc b 1 – āc b 2 = āb 1 c + āb 2 c .
Вычисление смешанного произведения в координатах |
|
|
||||||||||
Пусть e = (ē1, ē2, ē3) — |
произвольный базис, ā = a1ē1 + a2ē2 + a3ē3, b = b1ē1 + b2ē2 + b3ē3, c |
|||||||||||
= c1ē1 + c2ē2 + c3ē3. Тогда ā |
|
c |
= (a1ē1 + a2ē2 + a3ē3)(b1ē1 + b2ē2 + b3ē3)(c1ē1 + c2ē2 + c3ē3) = (учиты- |
|||||||||
b |
||||||||||||
вая алгебраические свойства 1) |
и |
2) смешанного произведения) = a1b2c3(ē1ē2ē3) |
+ a1b3c2(ē1ē3ē2) + |
|||||||||
a2b1c3(ē2ē1ē3) + a2b3c1(ē2ē3ē1) + a3b2c1(ē3ē2ē1) + a3b1c2(ē3ē1ē2) = (a1b2c3 – a1b3c2 – a2b1c3 + a2b3c1 – |
||||||||||||
a3b2c1 + a3b1c2)(ē1ē2ē3) = |
a1 |
a 2 |
a3 |
|
|
|
a1 |
a 2 |
a3 |
|
||
b1 |
b2 |
b3 |
(ē3ē1ē2). Таким образом, ā |
|
c = |
b1 |
b2 |
b3 |
(ē3ē1ē2). (17) |
|||
b |
||||||||||||
|
c1 |
c 2 |
c3 |
|
|
|
c1 |
c 2 |
c3 |
|
Формулы вычисления смешанного и скалярного произведения в ортонормированном базисе позволяют получить следующие замечательные формулы для произведения двух смешанных произведений:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a x |
|
a y |
a z |
|
|
|
u x |
u y |
u z |
|
|
|
|
a x |
|
a y |
|
|
a z |
|
|
|
u x |
|
v x |
wx |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
(ā |
|
|
|
c )( |
|
v |
w ) = |
b x |
|
b y |
b z |
|
|
|
v x |
v y |
v z |
|
|
= |
|
b x |
|
b y |
|
|
b z |
|
|
|
u y |
|
v y |
w y |
|
= |
||||||||||||||||
b |
u |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c x |
|
c y |
c z |
|
|
|
wx |
w y |
w z |
|
|
|
|
c x |
|
c y |
|
|
c z |
|
|
|
|
u z |
|
v z |
wz |
|
|
|||||||
|
(a, |
u |
) |
|
(a, |
v |
) |
(a, w) |
|
. Откуда (ē1ē2ē3)2 = |
|
(e1 , e1 ) |
(e1 , e2 ) |
|
(e1 , e3 ) |
|
= DetG, где G — матрица |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
( |
|
|
, |
|
) |
|
( |
|
, v) |
( |
|
, w) |
|
|
(e |
|
|
, e ) |
(e |
|
, e |
|
) |
(e |
|
, e |
|
) |
|
||||||||||||||||||||||
b |
u |
|
b |
b |
2 |
2 |
2 |
2 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
(c, |
u |
) |
|
(c, v) |
(c, w) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(e3 , e1 ) |
(e3 , e2 ) |
|
(e3 , e3 ) |
|
|
|
|
|
Грама для базиса (ē1, ē2, ē3). Поэтому выражение (17) часто записывают в следующем виде:
11
Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е.
|
|
|
a1 |
a 2 |
a3 |
|
|
|
|
|
|||
ā |
|
c = DetG |
b1 |
b2 |
b3 |
(18), |
b |
||||||
|
|
|
c1 |
c 2 |
c3 |
|
где + или – выбирается в соответствии ориентации базиса (положительной или отрицательной).
Вычисление векторного произведения в координатах и дополнительные его свойства
Поскольку координаты ā в ортонормированном базисе ( i , j , k ) равны скалярным произведениям вектора ā соответственно на векторы i , j , k , то справедливы следующие равенства: [ā, b ]x = [ā, b ] i , [ā, b ]y = [ā, b ] j , [ā, b ]z = [ā, b ] k , т.е. [ā, b ]x = āb i , [ā, b ]y = āb j , [ā, b ]z = āb k . Вычисляя смешанные произведения в координатах:
|
|
]x = |
|
a x |
|
a y |
|
a z |
|
|
|
]y = |
|
a x |
a y |
a z |
|
|
|
|
]z = |
|
a x |
a y |
a z |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
[ā, |
|
|
b x |
|
b y |
|
b z |
, [ā, |
|
|
b x |
b y |
b z |
|
, [ā, |
|
|
|
b x |
b y |
b z |
|
или |
|||||||||||
b |
b |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
a y |
a z |
|
|
|
|
|
|
y |
|
a x |
a z |
|
|
|
|
|
z |
|
a x |
a y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
[ā, b ] = |
|
b y |
b z |
, [ā, b ] = – |
|
b x |
b z |
, [ā, b ] |
|
= |
b x |
b y |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a y |
a z |
|
|
|
a x |
a z |
|
|
|
a x |
a y |
|
|
|
т.е. в ортонормированном базисе [ā, b ] = |
i – |
|
j + |
k (19), или |
|||||||||||||||||||||||||
b y |
b z |
b x |
b z |
|
b x |
b y |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
i |
|
|
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
[ā, |
|
] = |
a x |
a y |
a z |
(20), разложив по первой строке, получим (19). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
b x |
b y |
b z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дополнительные свойства векторного произведения
4)[āb ] = [( ā) b ] = [ā( b )] (ассоциативность). Векторное произведение является однородным по каждому из сомножителей.
5)[(ā1+ ā2) b ] = [ā1 b ] + [ā2 b ]; [ā( b 1 + b 2)] = [āb 1] + [āb 2] (дистрибутивность). Векторное произведение векторов распределительно относительно суммы векторов по каждому из сомножителей.
6) [[ā, b ], c ] = b (ā, c ) – ā( b , c ); [ā,[ b , c ]] = b (ā, c ) – c (ā, b ) (формулы двойного векторно-
го произведения).
Доказательство. Свойство 4) следует из (20) и однородности определителя. Свойство 5) следует из (20) и аддитивности определителя (заметим, что доказательства свойств 1) и 2) также можно связать соответствующими свойствами определителя). Свойство 6) доказать самостоя-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
тельно, полагая ( i |
, |
j |
, k ) — ортонормированный базис, |
ā|| i , |
Cp(ā, b , |
j |
). При таком выборе |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ā(ax, 0, 0), |
|
(bx, by, 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
Применение векторного и смешанного произведения |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| [a, |
|
|
] | и в координатах декартовой сис- |
||||||||||||||||||||||||||||
1. Вычисление углов между векторами: sin( ā |
|
|
|
) = |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| a || b | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
темы координат |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a y |
a z |
|
2 |
|
|
a x |
a z |
|
2 |
|
|
|
a x |
a y |
|
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b y |
b z |
|
|
|
b x |
b z |
|
|
|
|
b x |
b y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
sin( āb ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(a x )2 (a y )2 (a z )2 |
(b |
|
x )2 |
|
(b y )2 |
|
(b z )2 |
12
Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е.
2. Вычисление площадей многоугольников: S = 12 |[ā, b ]| и в координатах декартовой систе-
мы координат S = |
1 |
|
a y |
a z |
|
2 |
|
|
a x |
a z |
|
2 |
|
|
a x |
a y |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
b y |
b z |
|
|
|
b x |
b z |
|
|
|
b x |
b y |
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Выражение условий коллинеарности и компланарности: [ā, b ] = 0 ā|| b ;
āb c = 0 Cp(āb c ).
4.Определение ориентации:
āb c > 0 āb c B+ (положительная или правая тройка <базис>);
āb c < 0 āb c B- (отрицательная или левая тройка <базис>).
5.Вычисление объемов многогранников: Vтет.= 16 Vпар.= 16 |āb c |, где Vтет. — объем тетраэдра,
Vпар. — объем параллелепипеда, построенных на этих векторах, как на ребрах, и в координатах декартовой системы координат
|
1 mod |
|
a x |
a y |
a z |
|
|
|
|
|
|||||
Vтет.= |
|
b x |
b y |
b z |
|
. |
|
|
6 |
|
c x |
c y |
c z |
|
|
|
|
|
|
|
6.Вычисление момента силы. Моментом силы F относительно точки O называется вектор M , который проходит через точку O и:
1)M (OAB)плоскости (см. рис. 9);
2) |
| |
|
|
| = | |
|
|
|
||ON|, где ON называется плечом силы |
|
, откуда | |
|
| = | |
|
|| |
|
|sin ; |
||||||||
M |
F |
F |
M |
F |
r |
|||||||||||||||||||
3) |
( |
|
, |
|
, |
|
) B+ (правая тройка). |
|||||||||||||||||
r |
F |
M |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
Таким образом, |
|
= [ |
|
, |
|
]. |
|||||||||||||||
|
|
|
M |
r |
F |
7.Нахождение линейной скорости вращения. Пусть – угловая скорость вращения твердого тела вокруг оси (см. рис.10), O – некоторая неподвижная точка оси, v – линейная скорость точки M.
Тогда v = [ , r ] — формула Эйлера.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
v |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
O |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
O |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|||||||
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 9 |
|
|
Рис. 10 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13