- •Глава 1. Алгебра свободных векторов
- •Свойства операций сложения векторов и умножения на скаляр
- •Линейная зависимость и независимость
- •Ранг системы векторов
- •Базис линейного пространства
- •Свободные векторы на плоскости и в пространстве
- •Свойства скалярного произведения
- •Вычисление скалярного произведения в координатах
- •Применение скалярного произведения
- •Ориентация плоскости и пространства
- •Векторное произведение
- •Свойства векторного произведения
- •Смешанное произведение
- •Свойства смешанного произведения
- •Вычисление смешанного произведения в координатах
- •Применение векторного и смешанного произведения
- •Глава 2. Аналитический метод изучения фигур
- •1. Системы координат
- •1. Фигуры вращения
- •2. Конусы
- •3. Цилиндры
- •4. Метод сечений
- •Специальные виды уравнений прямой на плоскости
- •Основные метрические задачи на прямую на плоскости
- •Специальные виды уравнений плоскости
- •Взаимное расположение плоскостей и точек в пространстве
- •Основные метрические задачи на плоскость
- •Различные способы задания прямой в пространстве
- •Основные метрические задачи на прямую в пространстве
- •Плоскость и прямая в пространстве
- •Глава 4. Алгебраические фигуры второго порядка
- •Приведение уравнений второй степени к каноническому виду
- •Эллипс, гипербола и парабола
- •1. Эллипс
- •2.Гипербола
- •3. Парабола
- •Приведение уравнений второй степени к каноническому виду
- •Линейчатые фигуры второго порядка в пространстве
- •Линии на плоскости
- •Поверхности в пространстве
|
|
Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. |
||
ными инвариантами. Можно показать (самостоятельно), что 1, 2 всегда являются действи- |
||||
тельными числами. |
|
|
|
|
Учитывая теоремы 4.2 и 4.1 получаем следующее правило классификации фигур -го |
||||
порядка на плоскости: |
|
|
|
|
|
> 0 |
= 0 |
< 0 |
|
|
Линия эллиптического типа |
Линия параболического типа |
Линия гиперболического типа |
|
0 |
ЭЛЛИПС |
ПАРАБОЛА |
ГИПЕРБОЛА |
|
Линия не |
1) Если знаки 1 и 2 сов- |
|
|
|
распадается |
падают со знаком — |
|
|
|
|
мнимый эллипс; |
|
|
|
|
2) Если знаки 1 и 2 про- |
|
|
|
|
тивоположны знаку — |
|
|
|
|
действительный эллипс. |
|
|
|
= 0 |
ТОЧКА(пара мнимых |
ПАРА параллельных пря- |
ПАРА пересекающих- |
|
Линия рас- |
прямых, пересекающихся |
мых |
ся прямых |
|
падается на |
в действительной точке) |
1) a22 – a22a > 0 — прямые |
|
|
пару прямых |
|
|
|
|
|
|
действительные и различные; |
|
|
|
|
2) a22 – a22a = 0 — прямые |
|
|
|
|
совпадают; |
|
|
|
|
3) a22 – a22a < 0 — прямые |
|
|
|
|
мнимые. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эллипс, гипербола и парабола |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
Будем решать следующую задачу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
Пусть зафиксирована точка F и прямая l. Найти геометрическое место точек M, для кото- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рых отношение расстояний от M до точки F и до l прямой является постоянным: |
(M , F) |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
const := e > 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(M ,l) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Случай 1, если e = 1. Обозначим (F, l) = p, и выберем систему координат, в которой |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
l |
Y |
|
|
|
|
F( |
p |
, 0), l: x = – |
p |
|
(см. рис.1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
M(x, y) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(M, F) = | |
|
|
| = |(x – |
, y)| = |
(x |
|
)2 |
y2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
MF |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
p |
|
|
|
F |
X |
|
|
|
|
|
p |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
O |
|
p |
|
(M, l) = |x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(M , F) |
= |
( |
(x |
p |
)2 y2 |
|
|x + |
|
| ) = 1. Откуда |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(M ,l) |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
Рис. 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x– |
|
) |
+y |
|
= ( x+ |
|
) |
, тогда |
x |
– px |
+ |
|
|
|
|
+ y |
|
=x |
|
+ px+ |
|
|
, сле- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
довательно, |
|
y2 = 2px |
получаем уравнение параболы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
o F называется фокусом параболы; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
o |
l называется ее директрисой; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
||||||||||||||
|
|
o p называется фокальным параметром или просто параметром |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
параболы. Число |
|
|
на- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
зывается фокальным расстоянием.
Случай 2, если e < 1. Обозначим (F, l) = d. В этом случае ( 1e – e) > 0, поэтому существу-
33
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. |
||||||||||||||||
ет a > 0, такое что |
d = a( 1 – e) . Выберем систему координат, в которой F(ae, 0), |
|
l : x = a . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(M, F) = | |
|
|
| = |(x – ae, y)| = |
(x ae)2 y2 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
MF |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
(0, b) |
|
|
M(x,y) |
l: x= e |
(M, l) = |x – |
e |. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(M , F) |
= ( |
(x ae)2 |
y2 |
|
|x – |
a |
|) = e. Откуда |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
F |
|
(a,0) |
|
(M ,l) |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
a |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
2 |
2 |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x – ae) |
|
+ y |
= e |
|
(x – e ) |
, |
|
|
тогда x |
|
|
–2aex + a e |
|
+ y |
|
= e x |
|
– |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
a |
|
|
|
|
2 a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Рис. 2 |
|
|
|
2 e |
x e |
+ e |
e2 , следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|||||
x |
|
(1– e ) + y |
|
= a (1– e ). Делим обе части на a (1– e ): |
|
+ |
|
=1. Так как a (1– e ) > 0, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a2 |
a2 (1 e2 ) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
x2 |
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
то полагая |
b |
= a |
(1– e ) имеем |
|
|
|
+ |
|
=1 |
уравнение эллипса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
o |
F( ae, 0) называются правым и левым фокусами эллипса; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
o |
l : x = ae |
называются правой и левой директрисами эллипса; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
o |
e = |
|
|
b2 |
называется (числовым) эксцентриситетом; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
1 a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
o |
c = |
|
a2 b2 |
называется линейным эксцентриситетом, c = ae. |
|
|
|
|
|
|
|
|
o Число 2c называется фокусным расстоянием, число p = b2 — фокусным параметром a
или просто параметром. Числа a и b называются соответственно большой и малой полуосью. Точка (0,0) называется центром, точки ( a,0) и (0, b) называются вершина-
ми эллипса. Расстояние (M, F) называется фокальным расстоянием точки M.
Случай 3, если e > 1. Обозначим (F, l) = d. В этом случае (e – 1e ) > 0, поэтому существу-
|
|
|
l: x= |
a |
ет a > 0, такое что |
d = a(e – 1 ) . Выберем систему ко- |
|||||||||||
|
Y |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
||
|
(0, b) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
M(x, y) |
ординат, в которой |
F(ae, 0), l : x = e . Полностью |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
повторив дальнейшие рассуждения случая 2, получим: |
||||||||||||
|
|
|
|
X |
|
x |
2 |
+ |
|
|
y |
2 |
|
|
= 1. Так как a2(1 – e2) < 0, то a2(e2 – 1) |
||
|
|
|
(a, 0) F(ae,0) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
a2 (1 e2 ) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
= – a2(1 – e2) > 0. Полагая b2 = a2(e2 – 1) , |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
|||
|
|
Рис. 3 |
|
имеем |
|
|
|
– |
|
=1 |
уравнение гиперболы. |
||||||
|
|
|
|
|
a2 |
b2 |
|||||||||||
o |
F( ae, 0) |
называются правым и левым |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
фокусами гиперболы; |
|||||||||||||||||
o |
l : x = ae |
называются правой и левой директрисами гиперболы; |
34
|
Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е. |
b2 |
|
o e = 1 a2 |
называется (числовым) эксцентриситетом; |
o c = a2 b2 называется линейным эксцентриситетом, c = ae.
o Число 2c называется фокусным расстоянием, число p = b2 — фокусным параметром a
или просто параметром. Число a называется действительной полуосью, b называется мнимой полуосью. Точка (0,0) называется центром, точки ( a,0) называются вершинами гиперболы. Расстояние (M, F) называется фокальным расстоянием точки M. Пря-
мые ax by = 0 называются аси́мптотами.
Итак, справедлива следующая теорема.
ТЕОРЕМА 4.3 (Директориальное свойство эллипса, гиперболы и параболы – общее свойство конических сечений). Для любой точки эллипса, гиперболы и параболы отношение ее фокального расстояния до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцен-
триситету. (Доказательство самостоятельно)
ТЕОРЕМА 4.4 (Фокальное свойство эллипса). Для любой точки эллипса сумма ее фокальных расстояний постоянна, а именно
(M, F1) + (M, F2) = 2a, |
где F1(– ae, 0), F2(ae, 0). |
|
|
|||||||||
Доказательство. (M,F1,2) = |M,F1,2| = |(x ae, y)| = (x ae)2 |
y2 |
= x2 2ae a2e2 y2 . |
||||||||||
|
x2 |
|
y2 |
|
2 |
2 |
x2b2 |
2 |
2 |
2 |
||
Так как M(x, y) точка эллипса, то |
|
+ |
|
= 1, откуда y |
|
= b – |
|
|
. Подставим b |
= a |
(1– e ), |
|
a2 |
b2 |
|
a2 |
|
получим y2 = a2(1 – e2) – x2(1 – e2). Подставляя в предыдущее выражение, получим:
(M, F1,2) = x2 2ae a2e2 a2 a2e2 x2 x2e2 = a2 2aex x2e2 = (a xe)2 .
(M, F1) + (M, F1) = (a xe)2 + (a xe)2 = |a + xe| + |a – xe|. Так как e < 1 и | x | a, то мо-
дуль можно опустить, получим (M, F1) + (M, F1) = a + xe + a – xe = 2a.
ТЕОРЕМА 4.5 (Фокальное свойство гиперболы). Для любой точки гиперболы модуль разности ее фокальных расстояний постоянен, а именно
| (M, F1) – (M, F2)| = 2a, где F1(–ae, 0), F2(ae, 0).
Доказательство. Повторив рассуждения доказательства предыдущей теоремы, получим:
(M, F1,2) = (a xe)2 . Откуда | (M, F1) – (M, F2)| = | a xe | | a xe | .
В случае гиперболы e > 1 и |x| a.
Если x a, то (a + xe) > 0 и (a – xe) < 0, поэтому | a xe | | a xe | = |a+xe– xe + a| = |2a| = 2a. Если x – a, то (a + xe) < 0 и (a–xe) > 0, поэтому | a xe | | a xe | = |–a–xe–a+xe| = |–2a| = 2a.
1. Эллипс
Определение 1. Эллипс — геометрическое место точек, сумма расстояний от которых, до двух фиксированных точек, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная (бόльшая, чем расстояние между фокусами) .
Обозначения: 2с— расстояние между фокусами,
2а — сумма расстояний от точек эллипса до фокусов ( c a ).
1. Каноническое уравнение эллипса: |
x2 |
|
y2 |
1, где b |
2 |
a |
2 |
c |
2 |
. |
a2 |
b2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Координаты фокусов: ( c;0), (c;0) .
3.Координаты вершин эллипса: ( a;0), (a;0); (0; b),(0;b) ; a — большая полуось эллипса,
35
Кафедра геометрии, СГУ, Мех-мат. Новиков В.Е.
b — малая полуось эллипса.
4.Эксцентриситет: e ac 1.
5.Уравнения директрис: x ae .
2.Гипербола
Определение 2. Гипербола – геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний от которых, до двух фиксированных точек, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная (меньшая, чем расстояние между фокусами) .
Обозначения: 2с- расстояние между фокусами,
2а - разность расстояний от точек гиперболы до фокусов ( c a ).
1. Каноническое уравнение гиперболы: |
x2 |
|
y2 |
1, где b2 |
c2 |
a2 . |
|
a2 |
b2 |
||||||
|
|
|
|
|
2.Координаты фокусов: ( c;0), (c;0) .
3.Координаты вершин гиперболы: ( a;0), (a;0) .
a — действительная полуось гиперболы, b — мнимая полуось гиперболы.
4. Уравнения асимптот: y ba x .
5. |
Эксцентриситет: e |
c |
1 . |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
||||
|
|
x a . |
|
|
|
|
||
6. |
Уравнения директрис: |
|
|
|
|
|||
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
7. |
Уравнение сопряженной гиперболы: |
x2 |
|
y2 |
1. |
|||
a2 |
b2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
8. Уравнение равносторонней гиперболы: x2 y2 a2 .
ЭЛЛИПС |
ГИПЕРБОЛА |
ПАРАБОЛА |
Секущая плоскость пере- |
Секущая плоскость |
Секущая плоскость |
секает все образующие |
параллельна двум об- |
параллельна одной |
конуса |
разующим конуса |
образующей конуса |
Рис. 4
3. Парабола
Определение 3. Парабола — геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом гиперболы, и данной прямой, называемой директрисой. Обозначение: p — расстояние от фокуса до директрисы.
1.Каноническое уравнение параболы: y2 2 px .
2.Координаты фокуса: ( 2p ;0) .
3.Координаты вершины параболы: (0;0) .
36