алгебра 2 семестр
.pdfГлава 9
Евклидовы (унитарные) пространства
Âэтой главе в качестве основного поля k будет выступать поле R или C.
Âэтом случае скаляр 2 k является действительным или комплексным числом. Как всегда через будем обозначать комплексно сопряженное число для . Напомним, что если 2 R, то = .
9.1Основные понятия
Определение 9.1.1. Действительным (комплексным) пространством называется линейное пространство над полем действительных (комплексных) чисел.
Определение 9.1.2. Говорят, что в действительном (комплексном) пространстве задано скалярное умножение, если каждой упорядоченной паре векторов a; b 2 V поставлено в соответствие число основного поля k,
обозначаемое (a; b) и называемое скалярным произведением векторов a
èb, для которого выполняются следующие четыре аксиомы:
1.(b; a) = (a; b);
2.(a + a0; b) = (a; b) + (a0; b);
3.( a; b) = (a; b);
4.åñëè a 6= 0, òî (a; a) > 0.
52 |
Глава 9. Евклидовы (унитарные) пространства |
Замечание 9.1.1. Если k = R, то (b; a) = (a; b), то есть скалярное умно-
жение коммутативно.
Замечание 9.1.2. Аксиомы 2 и 3 означают аддитивность и однородность, то есть линейность скалярного умножения относительно первого сомножителя.
Свойства скалярного умножения
1.( a + 0a0; b) = (a; b) + 0(a0; b0).
2.(a; b + b0) = (a; b) + (a; b0) (aддитивность относительно второго сомножителя).
3.(a; b) = (a; b).
4. |
i=1 |
iai; j=1 jbj! |
= i=1 j=1 i j(ai; bj). |
|
s |
t |
s t |
|
P |
P |
P P |
5.(a; 0) = (0; a) = 0.
6.(a; a) = 0 , a = 0.
Доказательство. 1) Это свойство следует сразу же из аксиом 2 и 3 скалярного умножения.
2)(a; b+b0) = (b + b0; a) = (b; a) + (b0; a) = (b; a)+(b0; a) = (a; b)+(a; b0).
3)Имеем (a; b) = ( b; a) = (b; a) = (b; a) = (a; b).
4)Это свойство является объединением аксиом 2 и 3 и свойств 2 и 3 скалярного умножения.
5) Действительно, (a; 0) = (a; 0b) = 0(a; b) = 0(a; b) = 0. (0; a) =
=(a; 0) = 0 = 0.
6)a) Необходимость. Если бы a 6= 0, то по аксиоме (a; a) > 0, а это
противоречит тому, что дано.
b) Достаточность. Если a = 0, то (a; a) = (0; 0) = 0.
9.1. Основные понятия |
53 |
Замечание 9.1.3. Если k = R, то свойства 2 и 3 означают линейность скалярного умножения относительно второго сомножителя.
Скалярное произведение (a; a) называется скалярным квадратом вектора a.
Определение 9.1.3. Действительное (комплексное) пространство, рассмотренное вместе с определенным на нем скалярным умножением, называется евклидовым (унитарным) пространством.
Пример.
Рассмотрим в качестве V = kn (Rn èëè Cn). Элементы пространства
V будем записывать столбцами.
0 x1 |
1 |
0 y1 |
1 |
|
||
X = B |
:x:2: |
C |
; Y = B |
:y:2: |
C |
: |
B |
|
C |
B |
|
C |
|
B |
|
C |
B |
|
C |
|
B xn |
C |
B yn |
C |
|
||
B |
|
C |
B |
|
C |
|
@ |
|
A |
@ |
|
A |
|
Упорядоченной паре X; Y 2 V поставим в соответствие число
|
|
|
|
0 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
n |
||||||
(X; Y ) = XT |
|
= (x1 |
|
; : : : ; xn) B |
:y:2: |
C |
|
|
|
|
||
Y |
; x2 |
= |
xi |
|
j: |
|||||||
y |
||||||||||||
|
|
|
|
B |
|
|
|
C |
|
i=1 |
||
|
|
|
|
B |
|
|
|
C |
|
X |
||
|
|
|
|
B yn |
C |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
B |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
A |
|
|
|
|
Легко показать, что это число (X; Y ) удовлетворяет всем четырем
аксиомам скалярного умножения. Это скалярное умножение называется стандартным. В дальнейшем оно будет обозначаться hX; Y i. Ясно, что
n
hX; Xi = Xjxij2 :
i=1
Определение 9.1.4. Действительным (комплексным) арифметическим пространством называется действительное (комплексное) координатное линейное пространство, рассматриваемое вместе с определенным на нем стандартным скалярным умножением.
54 |
Глава 9. Евклидовы (унитарные) пространства |
9.2Длина вектора
Определение 9.2.1. Длиной вектора a евклидова (унитарного) про-
чение квадратного корня из |
p |
|
a. |
странства называется число jjajj = |
|
(a; a), то есть арифметическое зна- |
скалярного квадрата этого вектора
Определение 9.2.2. Вектор e евклидова (унитарного) пространство называется единичным или ортом, если его длина равна 1. Деление ненулевого вектора на его длину называется нормированием вектора.
Свойства длины вектора
1.jjajj > 0, причем jjajj = 0 тогда и только тогда, когда a = 0.
2.jj ajj = j j jjajj.
3.Если a 6= 0, то вектор jjaajj является единичным.
= 0 |
|
|
|
(a; a) = 0 (a; a) =60 a =jj0.jj |
= |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
jj |
jj |
= |
||||||||||||||||||||||
Доказательство. 1) Если a = 0, то |
a |
|
|
|
|
(a; a) > 0. Пусть |
a |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
, |
p |
|
|
|
|
|
, |
|
) = |
|
|
|
|
( ) = |
|
|
|
|
|
|
( ) = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
= ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
= p |
|
|
|
|
p |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2) |
|
a |
|
|
|
|
|
a; a |
|
|
|
|
a; a |
|
|
|
|
|
|
|
a; a |
|
|
a |
. В частно- |
||||||||||||||
|
|
jj |
|
jj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
j jj jj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, имеем |
jj |
|
jj |
= a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ñòè, ïðè |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jj jj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3) По свойству 2 длины вектора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
= |
a |
jjajj = a jjajj = 1: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jj jj |
|
|
jj jj |
|
|
|
jj |
|
jj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ТЕОРЕМА 9.2.1 (Коши-Буняковского). Для любых двух векторов a
и b евклидова (унитарного) пространства справедливо неравенство
j(a; b)j 6 jjajj jjbjj;
причем знак равенства достигается тогда и только тогда, когда векторы a и b пропорциональны.
9.2. Длина вектора |
55 |
Доказательство. 1) Рассмотрим ситуацию, когда векторы a и b не являются пропорциональными. В этом случае вектор a 6= 0 и b 6= 0. Если бы, например, a = 0, то мы имели бы a = 0 b, а это означало, бы пропорциональность векторов a и b.
Рассмотрим вектор
(a; b) jjbjj2 b:
Так как векторы a и b не пропорциональны, то
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 6= |
(a; b) |
b; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jjbjj2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
òî åñòü |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a; b) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
b |
6= 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
jjbjj2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Применим аксиому 4 скалярного умножения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
( b |
|
2) b; a ( b |
|
|
2) |
b > 0 , |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a; b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a; b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
jj jj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jj |
jj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
, (a; a) |
( b 2) |
(b; a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(a; b) + |
|
( b |
|
2) |
|
|
|
|
(b; b) > 0 , |
|||||||||||||||
|
|
|
b |
|
2 |
|
|
b |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
a; b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a; b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a; b |
|
a; b |
|
|||||||||||
|
jj jj |
|
|
|
|
|
|
|
jj |
jj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jj |
jj |
|
jj |
jj |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b (2a; b) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
, jjajj2 |
(a; b)b 2a; b |
|
a; b |
+ |
(a; b)b 4a; b |
jjbjj2 > 0 , |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
jj |
jj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jj |
jj |
|
|
|
|
|
|
|
jj jj |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
, jj |
a 2 |
|
j(a; b)j2 |
> 0 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
jj |
jjbjj2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,jjajj2 jjbjj2 > j(a; b)j2 ,
,jjajj jjbjj > j(a; b)j :
2)Рассмотрим ситуацию, когда векторы a и b являются пропорциональными. Имеем b = a, тогда
(a; b) = (a; a) = (a; a) = jjajj2;
òî åñòü
j(a; b)j = jjajj2 = j j jjajj2 = j j jjajj2:
56 Глава 9. Евклидовы (унитарные) пространства
С другой стороны
jjajj jjbjj = jjajj jj ajj = jjajj j j jjajj = j j jjajj2:
Следовательно, jjajj jjbjj = j(a; b)j.
Обратно, пусть j(a; b)j = jjajj jjbjj, тогда векторы a и b должны быть пропорциональными. Если бы векторы a и b не были пропорциональны, то по части первой доказательства имели бы, что j(a; b)j < jjajj jjbjj, а это противоречит тому, что дано. ТЕОРЕМА 9.2.2 (неравенство треугольника). Для любых двух векторов a и b евклидова (унитарного) пространства справедливы неравенства:
1. jja + bjj 6 jjajj + jjbjj;
2.jja bjj > jjajj jjbjj .
Доказательство. Прежде всего заметим, что если z = a + bi, то Re z = p
= a 6 a2 + b2 = jzj.
1) jja + bjj2 = (a + b; a + b) = (a; a) + (b; a) + (a; b) + (b; b) = jjajj2 +
|
|
|
+(a; b)+ bjj2 = jjajj2+2Re (a; b)+jjbjj2 6 jjajj2+2jjajj jjbjj+jjbjj2 = |
|||||||
+ a; b |
||||||||||
= ( a |
|
|
+ b |
)2.jjИзвлечем корень, получим |
jj |
a + b |
jj |
6 a |
+ b . |
|
|
jj |
jj |
jj |
jj |
|
jj jj |
jj jj |
2) Имеем jjajj = jj (a b) + bjj 6 jja bjj + jjbjj. То есть jja bjj >
jjajj jjbjj. Но jja bjj = jjb ajj > jjbjj jjajj. Следовательно, jja bjj >
> jjajj jjbjj .
Пример. Рассмотрим V = Cn комплексное арифметическое пространство. hX; Y i = XT Y . Из неравенства Коши-Буняковского
|
n |
xiyi |
|
6 |
0v |
n |
jxij2 |
1 |
0v |
n |
jyij2 |
1: |
||
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
u |
|
|
||
X |
|
|
|
|
|
uX |
|
|
uX |
|
A |
|||
|
|
|
|
|
|
|
@t |
|
A @t |
|
i=1 |
i=1 |
i=1 |
Из неравенства треугольника
v |
n |
(xi + yi)2 |
6 v |
n |
xi |
j |
2 |
+ v |
n |
yi |
j |
2 |
: |
ui=1 |
|
ui=1 j |
|
|
ui=1 j |
|
|
||||||
uX |
|
uX |
|
|
|
uX |
|
|
|
|
|||
t |
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
9.3. Ортогонализация |
57 |
9.3Ортогонализация
Определение 9.3.1. Два вектора a и b евклидова (унитарного) пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, то есть (a; b) = 0.
Определение 9.3.2. Система векторов a1; a2; : : : ; as евклидова (унитар- ного) пространства называется ортогональной, если векторы этой системы попарно ортогональны, то есть (8 1 6 i; j 6 s; i 6= j) (ai; aj) = 0.
Определение 9.3.3. Система векторов e1; e2; : : : ; es евклидова (унитар- ного) пространства называется ортонормированной, если эта система ортогональна и все векторы этой системы являются единичными.
Предложение 9.3.1. Всякая ортогональная система ненулевых векторов евклидова (унитарного) пространства является линейно независимой.
Доказательство. Пусть a1; a2; : : : ; as ортогональная система ненуле-
вых векторов. Пусть
s
X
jaj = 0:
j=1
Возьмем любое 1 6 i 6 s и умножим это равенство скалярно на ai, получим
s |
jaj; ai! = (0; ai) , |
s |
j (aj; ai) = 0 , i jjaijj2 = 0: |
X |
|
Xj |
|
j=1 |
|
=1 |
|
Òàê êàê jjaijj =6 0, то получаем, что (8 1 6 i 6 s) i = 0, следовательно система a1; a2; : : : ; as
58 |
Глава 9. Евклидовы (унитарные) пространства |
ТЕОРЕМА 9.3.1 (об ортогонализации). Пусть a1; a2; : : : ; as линей- но независимая система векторов евклидова (унитарного) пространства. Тогда существует ортонормированная система e1; e2; : : : ; es òà- кая, что для любого 1 6 k 6 s подпространство, натянутое на векто- ðû e1; e2; : : : ; ek, совпадает с подпространством, натянутым на векторы a1; a2; : : : ; ak.
Доказательство. Применим метод математической индукции по k. Ес-
ли k = 1, то в качестве вектора e1 a1 ; a1 6= 0, òî åñòü jja1jj
jje1jj = 1. Так как векторы e1 è a1 пропорциональны, то L (e1) = L (a1). Предположим, что удалось построить систему векторов e1; e2; : : : ; ek, êî- торая удовлетворяет следующим двум условиям:
1.e1; e2; : : : ; ek ортонормирована,
2.(8 1 6 i 6 k) L (fe1; e2; : : : ; eig) = L (fa1; a2; : : : ; aig).
Покажем, что можно построить систему из k+1 векторов e1; e2; : : : ; ek+1, удовлетворяющую условиям 1 и 2. Рассмотрим вектор
|
k |
|
ek0 |
Xj |
|
+1 = jej + ak+1; |
(9.1) |
|
|
=1 |
|
ãäå 1; 2; : : : ; k пока неопределенные числа. Выберем эти числа так, чтобы
(8 1 6 i 6 k) (e0k+1; ei) = 0:
Итак, скалярное произведение
k |
jej + ak+1; ei! = 0 , |
k |
j (ej; ei) + (ak+1; ei) = 0 , |
X |
|
Xj |
|
j=1 |
|
=1 |
|
, i + (ak+1; ei) = 0 , i = (ak+1; ei) :
Получили ортогональную систему векторов e1; e2; : : : ; ek; e0k+1.
9.3. Ортогонализация |
59 |
Покажем, что вектор e0k+1 6= 0. Из равенства (9.1) видно, что вектор e0k+1 линейно выражается через e1; e2; : : : ; ek; ak+1. По предположению индукции векторы e1; e2; : : : ; ek линейно выражаются через a1; a2; : : : ; ak. По транзитивности вектор e0k+1 линейно выражается че- ðåç a1; a2; : : : ; ak; ak+1, причем коэффициент при ak+1 равен единице. То- гда, так как система векторов a1; a2; : : : ; ak; ak+1 линейно независима (как
часть линейно независимой системы векторов a |
; a |
; : : : ; a |
), òî e0 |
= 0. |
||||
Нормируем вектор ek0 |
|
|
1 |
2 |
s |
k+1 |
6 |
|
+1, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ek+1 = |
ek0 |
+1 |
|
|
|
|
(9.2) |
|
jjek0 |
+1jj |
|
|
|
После этого, система векторов e1; e2; : : : ; ek; ek+1 является ортонормиро-
ванной, то есть она удовлетворяет условию 1.
Покажем, что она удовлетворяет и условию 2. Условие 2 выполняется для всех 1 6 i 6 k по предположению индукции. Остается показать, что L (fe1; e2; : : : ; ek; ek+1g) = L (fa1; a2; : : : ; ak; ak+1g). Чтобы в этом убедиться, надо показать, что вектор ek+1 линейно выражается че- ðåç a1; a2; : : : ; ak; ak+1 и обратно, вектор ak+1 линейно выражается че- ðåç e1; e2; : : : ; ek; ek+1. Из равенства (9.2) видно, что вектор ek+1 линейно выражается через вектор e0k+1, а вектор e0k+1 (как было уже доказано) линейно выражается через a1; a2; : : : ; ak; ak+1. По транзитивности, ek+1 линейно выражается через a1; a2; : : : ; ak; ak+1.
Из равенства (9.1) видно, что вектор ak+1 линейно выражается через e1; e2; : : : ; ek; e0k+1, а вектор e0k+1, как видно из равенства (9.2), линейно выражается через ek+1. По транзитивности, ak+1 линейно выражается через e1; e2; : : : ; ek; ek+1.
Замечание 9.3.1. Можно из линейно независимой системы a1; a2; : : : ; as построить ортогональную систему e01; e02; : : : ; e0s с тем же самым условием
(8 1 6 k 6 s) L (fe01; e02; : : : ; e0kg) = L (fa1; a2; : : : ; akg) :
В этом случае отпадает необходимость нормирования векторов e0i.
60 Глава 9. Евклидовы (унитарные) пространства
Замечание 9.3.2. Если в линейно независимой системе a1; a2; : : : ; as ïåð- вые k векторов ортонормированны, то процесс ортогонализации нужно начинать с вектора ak+1 .
Следствие 9.3.1.1. В евклидовом (унитарном) пространстве существуют ортонормированные базисы.
Доказательство. Пусть a1; a2; : : : ; an любой базис евклидова (унитарного) пространства V . Применим процесс ортогонализации к этому базису. Получим ортонормированную систему e1; e2; : : : ; en, которую можно взять в качестве базиса евклидова (унитарного) пространства V .
Следствие 9.3.1.2. Любую ортогональную (ортонормированную) систему векторов e1; e2; : : : ; ek евклидова (унитарного) пространства V можно дополнить до ортогонального (ортонормированного) базиса пространства V .
Доказательство. В |
самом |
äåëå, |
систему векторов |
e1; e2; : : : ; ek |
||
можно дополнить |
äî |
базиса |
пространства |
V , |
à |
именно |
e1; e2; : : : ; ek; ak+1; : : : ; an |
базис V |
(òàê êàê e1; e2; : : : ; ek |
линейно |
независимы). Достаточно теперь применить процесс ортогонализации, начиная с вектора ak+1, при этом для получения ортонормированного базиса необходимо нормировать получившиеся векторы.
ТЕОРЕМА 9.3.2 (критерий ортонормированности базиса) . Для то- го, чтобы базис e1; e2; : : : ; en евклидова (унитарного) пространства был ортонормированным, необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение любых двух векторов этого пространства равнялось стандартному скалярному произведению координатных столбцов этих векторов относительно базиса e~ в соответствующем арифметическом
j j . пространстве, то есть (a; b) = a e~; b e~