алгебра 2 семестр
.pdf8.5. Характеристический многочлен матрицы и линейного оператора |
41 |
Следствие 8.5.1.1. Сумма характеристических корней матрицы A равно ее следу, а произведение характеристических корней равно ее норме.
Доказательство. Это вытекает из теоремы 8.5.1 и теоремы Виета. Действительно,
1 + 2 + : : : + n = ( T r(A)) = T r(A);
1 2 : : : n = ( 1)n ( 1)n N(A) = N(A):
Следствие 8.5.1.2. Квадратная матрица A не особенная тогда и только тогда, когда все ее характеристические числа отличны от нуля.
Доказательство. В самом деле, jAj 6= 0 , N(A) 6= 0 , 1 2 : : : n 6=
6= 0 , (8 1 6 i 6 n) i 6= 0. Пусть V конечномерное линейное пространство над k и f 2 L(V ).
Пусть e~ базис V и Afje~ матрица f относительно базиса e~. Так как эта матрица зависит от базиса, то понятие характеристической матрицы для линейного оператора не вводится.
Предложение 8.5.1. Характеристические многочлены подобных матриц равны.
Доказательство. Пусть B A, то есть (9 Q; jQj =6 0) B = Q 1AQ.
Рассмотрим характеристический многочлен матрицы B. B( ) = j E
Bj = j E Q 1AQj = jQ 1( E)Q Q 1AQj = jQ 1( E A)Qj =
= jQ 1jj E AjjQj = j E Aj = A( ).
Следствие. Следы и нормы подобных матриц равны.
Следствие. Характеристический многочлен матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса, относительно которого строилась матрица оператора, а зависит только от самого линейного оператора.
42 |
Глава 8. Линейные операторы в линейном пространстве |
Определение 8.5.6. Характеристическим многочленом линейного оператора называется характеристический многочлен матрицы этого линейного оператора относительно любого базиса.
Обозначим характеристический многочлен линейного оператора f че-
ðåç f ( ). Тогда f ( ) = Af ( ).
Определение 8.5.7. Следом T r(f) и нормой N(f) линейного оператора
f называется след и норма матрицы этого линейного оператора относи-
тельно любого базиса.
Определение 8.5.8. Характеристическимим корнями линейного оператора называются все корни характеристического многочлена этого линейного оператора, лежащие, в общем случае, в алгебраическом замыкании основного поля.
8.6Собственные векторы и собственные значения линейного оператора и матрицы
Пусть V линейное пространство над полем k, f 2 L(V ). Пусть V 0
линейное подпространство пространства V . В общем случае f(V 0) V , но может быть так, что f(V 0) V 0.
Определение 8.6.1. Подпространство V 0 линейного пространства V называется инвариантным относительно линейного оператора f 2 L(V ), åñëè f(V 0) V 0, то есть любой вектор из подпространства V 0 переходит в вектор того же подпространства.
Займемся изучением одномерных инвариантных подпространств. Пусть V 0 одномерное инвариантное подпространство. Возьмем любой
вектор a |
2 |
V 0 |
; a = 0. Òàê êàê dim V 0 |
= 1, то вектор a можно взять в |
|||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
качестве базиса V 0 и тогда V 0 = |
f |
a |
2 |
k |
g |
. f(a) будет принадлежать |
|||||
V 0, òàê êàê V 0 |
|
j |
|
|
|
|
|||||
инвариантно. Тогда f(a) = a; a = 0; |
2 |
k. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
8.6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора и матрицы 43
Обратно, пусть V 0 одномерное |
подпространство и a = 0, |
a 2 V 0; f(a) = a, ãäå 2 k. Òàê êàê V 0 |
6 |
одномерное подпространство, |
то a можно взять в качестве базиса V 0. Поэтому V 0 = f aj 2 kg. Сосчи-
òàåì f( a) = f(a) = ( a) = ( )a 2 V 0. Таким образом f(V 0) V 0, òî åñòü V 0 инвариантное подпространство. Таким образом изучение од-
номерных инвариантных подпространств приводит нас к изучению ненулевых векторов a 2 V 0, для которых f(a) = a, ãäå 2 k.
Определение 8.6.2. Скаляр называется собственным значением линейного оператора f 2 L(V ), если существует ненулевой вектор a 2 V
такой, что f(a) = a. В этом случае вектор a называется собственным вектором линейного оператора f, принадлежащим скаляру .
В этом случае говорят, что и a есть принадлежащие друг другу собственное значение и собственный вектор линейного оператора f.
Определение 8.6.3. Говорят, что скаляр и ненулевой столбец X 6= 0 èç kn есть принадлежащие друг другу собственное значение и собственный вектор матрицы A 2 M(n; k), если AX = X.
Предложение 8.6.1. Для того, чтобы скаляр и вектор a 2 V были принадлежащими друг другу собственным значением и собственным вектором линейного оператора f конечномерного линейного пространства V необходимо и достаточно, чтобы и координатный столбец a относительно некоторого базиса были принадлежащими друг другу собственным значением и собственным вектором матрицы Af этого линейного оператора относительно того же базиса.
Доказательство. Действительно, пусть f(a) = a, где a 6= 0 и 2 k,
, , 6 , 6
тогда f(a) = a f(a) = a Af a = a. Причем a = 0 a = 0.
ТЕОРЕМА 8.6.1 (критерий собственного значения) . Для того, чтобы скаляр был собственным значением матрицы A (линейного операто-
ра конечномерного пространства) необходимо и достаточно, чтобы
44 |
Глава 8. Линейные операторы в линейном пространстве |
был характеристическим корнем матрицы A (линейного оператора), лежащим в основном поле.
Доказательство. 1) Необходимость.
Пусть является собственным значением матрицы A, это означает, что
AX = X; |
(8.2) |
ãäå X 6= 0 è X 2 kn. Перепишем равенство (8.2): |
|
EX AX = 0; |
|
( E A)X = 0: |
(8.3) |
На равенство (8.3) можно смотреть как на однородную |
систему n- |
линейных уравнений с n неизвестными. Эта система записана в мат-
ричном виде. Видно, что ненулевым решением этой системы является столбец X 2 kn; X 6= 0. Тогда по следствию из критерия наличия нену-
левого решения ОСЛУ следует, что определитель системы (8.3) должен быть равен нулю, то есть j E Aj = 0. Таким образом A( ) = 0, следовательно является характеристическим корнем матрицы A и 2 k.
2)Достаточность.
Пусть 2 k и является характеристическим корнем матрицы A.
Тогда A( ) = 0, это означает, что j E Aj = 0. Рассмотрим однородную систему n-линейных уравнений с n неизвестными (8.3)
( E )X = 0;
где X столбец неизвестных. По следствию из критерия наличия нену-
левого решения ОСЛУ следует, что эта система (8.3) имеет ненулевое решение X 6= 0. Это ненулевое решение X 2 kn, так как элементы мат-
рицы ( E A) принадлежат полю k. Подставив это ненулевое решение в систему (8.3) получим тождество. Будем иметь EX AX = 0, то есть AX = X, где X 6= 0 и X 2 kn. По определению 8.6.2 видно, что является собственным значением матрицы A.
8.6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора и матрицы 45
Следствие 8.6.1.1. Если основное поле k алгебраически замкнуто, то все собственные значения матрицы A совпадают с ее характеристическими корнями.
Предложение 8.6.2. Все собственные векторы линейного оператора (матрицы), принадлежащие собственному значению вместе с нулевым вектором образуют линейное подпространство пространства V (координатного пространства kn).
Доказательство. Действительно, пусть собственное значение линейного оператора f 2 L(V ). Множество всех собственных векторов оператора f, принадлежащих собственному значению вместе с ненулевым вектором, совпадает с множеством всех решений уравнения f(a) = a. Обозначим множество решений этого уравнения через
V = fa 2 V j f(a) = ag :
Надо показать, что V устойчивое подмножество пространства V . Это означает, что
(8 ; 2 k; a; b 2 V ) a + b 2 V :
Подсчитаем f( a + b) = f(a) + f(b) = ( a) + ( b) = ( a + b). Следовательно a + b является решением уравнения f(a) = a, то естьa + b 2 V . Таким образом V является устойчивым подмножеством пространства V , а следовательно, его линейным подпространством.
Определение 8.6.4. Если собственное значение линейного операто- ðà f 2 L(V ), òî V называется собственным подпространством оператора f, принадлежащим скаляру .
ТЕОРЕМА 8.6.2 (о собственных векторах, принадлежащих различ- ным собственным значениям). Пусть 1; 2; : : : ; s попарно различные собственные значения линейного оператора f 2 L(V ) и в каждом соб- ственном подпространстве V i выбрана линейно независимая система
46 |
Глава 8. Линейные операторы в линейном пространстве |
векторов a(1i); a(2i); : : : ; a(nii). Тогда объединение всех этих линейно незави-
n |
o |
||||
симых систем векторов |
aj(i) , ãäå j = |
1; ni |
, i = |
1; s |
, является линейно |
независимой системой векторов. |
|
|
|
|
Доказательство. Доказательство проводим методом математической индукции по s.
Если s = 1, то из собственного подпространства V 1 выбрана система векторов: a(1)1 ; a(1)2 ; : : : ; a(1)n1 , которая является линейно не зависимой по
условию.
Предположим, что теорема верна для s 1 попарно различных собственных значений. Докажем справедливость теоремы для s попарно
различных собственных значений. |
|
|
|
|
|
Имеем систему векторов |
a(i) , ãäå j = |
|
, i = |
|
. Надо показать |
1; n |
1; s |
||||
ее линейную независимость. nПустьj o |
i |
sni
Xi |
ijaj(i) |
= 0: |
(8.4) |
X |
|
|
|
=1 j=1 |
|
|
Подействуем на равенство (8.4) оператором f. Получим
f |
ijaj(i)! |
= f(0); |
s |
ni |
|
Xi |
X |
|
=1 j=1 |
|
sni
XX ijf(a(ji)) = 0;
i=1 j=1
íî f(a(ji)) = ia(ji), òî åñòü
sni
Xi |
ij iaj(i) |
= 0: |
(8.5) |
X |
|
|
|
=1 j=1 |
|
|
Умножим равенство (8.4) на s и вычтем из него равенство (8.5). Полу-
÷èì |
s |
ni |
|
||
|
|
ij( s i)aj(i) = 0: |
|
=1 j=1 |
|
|
Xi |
X |
8.6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора и матрицы 47
Åñëè i = s, òî s i = 0 и поэтому
s 1 ni
XX ij( s i)a(ji) = 0:
i=1 j=1
n o
Но по предположению индукции система a(ji) , ãäå j = 1; ni, i = 1; s 1 является линейно независимой. Поэтому из последнего равенства следует, что ij( s i) = 0, j = 1; ni, i = 1; s 1. Íî s i 6= 0, следовательно
|
|
|
|
|
|
ij = 0; j = 1; ni; i = 1; s 1: |
(8.6) |
Подставим равенство (8.6) в равенство (8.4). Получим
ns
X sja(js) = 0: j=1
Но система векторов a(1s); a(2s); : : : ; a(nss), которые принадлежат V s, взята линейно независимой по условию, тогда из последнего равенства следует, что
|
|
sj = 0; j = 1; ns: |
(8.7) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Объединение равенств (8.6) и (8.5) означает, что |
ij = 0 ïðè j = 1; ni, |
|||||||||
линейно независимой. |
j |
|
i |
|||||||
|
|
|
ai |
|
|
|
|
|
||
i = 1; s. Следовательно система векторов |
, j = 1; n , i = 1; s является |
Следствие. Пусть 1; 2; : : : ; s попарно различные собственные значе- ния линейного оператора f 2 L(V ) и a1; a2; : : : ; as собственные век- торы оператора f, принадлежащие соответственно, этим собственным значениям. Тогда система векторов a1; a2; : : : ; as является линейно неза- висимой.
Доказательство. Это есть частный случай теоремы 8.6.2, когда из каж-
дого собственного подпространства выбирается по одному ненулевому вектору (n1 = n2 = : : : = ns = 1 è a(1i) = ai).
48 Глава 8. Линейные операторы в линейном пространстве
Определение 8.6.5. Линейный оператор f 2 L(V ) называется диагонализируемым, если в пространстве V существует базис, состоящий из
собственных векторов оператора |
f, то есть существует a1; a2; : : : ; an |
||||
базис V такой, что (8 1 6 i 6 n) |
f(ai) = iai. |
|
|
||
ßñíî, ÷òî |
0 |
|
|
1 |
|
Af j~a |
1 |
0 : : : 0 |
|
||
= B |
:0: : : :2: :: :: :: :0: : |
C |
: |
||
|
B |
|
|
C |
|
|
B |
|
|
C |
|
|
B |
|
|
C |
|
|
B |
|
|
C |
|
|
@ |
0 |
0 : : : n |
A |
|
|
|
|
|
Определение 8.6.6. Линейный оператор f 2 L(V ) называется диагонализируемым, если в пространстве V существует базис, относительно которого матрица этого линейного оператора f имеет диагональный вид. Этот базис называется диагонализирующим.
Предложение 8.6.3 (первый критерий диагонализируемости) . Если
1; 2; : : : ; s все попарно различные собственные значения линейного оператора f 2 L(V ), то оператор f является диагонализируемым тогда и только тогда, когда
dim V 1 + dim V 2 + : : : + dim V s = dim V:
Доказательство. 1) Достаточность. Пусть сумма размерностей
s
X
dim V i = dim V:
i=1
Обозначим dim V i = ni, тогда по теореме 8.6.2 можно построить линей-
но независимую систему собственных векторов оператора |
f |
aj(i) |
, ãäå |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
j = 1; ni, i = 1; s. Количество этих собственных векторов |
оператора |
f |
|||||||
n |
o |
|
|||||||
равно n1 + n2 + : : : + ns. По условию |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 + n2 + : : : + ns = |
dim V i = dim V: |
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Xi |
|
|
|
|
|
8.6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора и матрицы 49
no
Тогда векторы a(ji) можно взять в качестве базиса пространства V , а тогда (по определению 8.6.5) оператор f является диагонализируемым.
2) Необходимость. Пусть линейный оператор f 2 L(V ) является диаго-
нализируемым, по определению 8.6.5 это означает, что существует базис a1; a2; : : : ; an пространства V , состоящий из собственных векторов опе-
ратора f, то есть (8 1 6 i 6 n) f(ai) = iai. Пусть среди 1; 2; : : : ; n
попарно различными будут 1; 2; : : : ; s, s 6 n. Пусть собственному зна- чению i; (1 6 i 6 s) принадлежат собственные векторы a(1i); a(2i); : : : ; a(nii) из базиса a1; a2; : : : ; an. В этом случае dim V i = ni. Заметим, что n1+n2+: : :+ns = n, òî åñòü dim V 1 +dim V 2 +: : :+dim V s = dim V .
Предложение 8.6.4 (второй критерий диагонализируемости) . Линейный оператор f 2 L(V ) является диагонализируемым тогда и только
тогда, когда матрица этого оператора Af относительно какого-либо базиса, преобразованием подобия может быть приведена к диагональному виду.
Доказательство. 1) Необходимость. Пусть f диагонализируемый линейный оператор и Afje~ его матрица в базисе e~. По определению 8.6.6 существует базис a~ пространства V , относительно которого матрица Afja~ имеет диагональный вид. Известно, что Afja~ = Q 1Afje~Q, где Q матрица перехода от базиса e~ к a~. Это равенство указывает на то, что матрица
Afje~ подобна диагональной матрице Afje~.
2) Достаточность. Пусть f 2 L(V ) и Afje~ преобразованием подобия
приводится к диагональному виду. Это означает, что существует такая не особенная матрица Q такая, что
0 |
1 |
0 |
: : : 0 |
1 |
|
Q 1 Af j~eQ = A = B |
:0: : : :2: :: :: :: :0: : |
C |
: |
||
B |
|
|
|
C |
|
B |
|
|
|
C |
|
B |
0 |
0 |
: : : n |
C |
|
B |
|
|
|
C |
|
@ |
|
|
|
A |
|
50 Глава 8. Линейные операторы в линейном пространстве
По следствию к теореме 8.2.3 матрицу A можно рассматривать как мат-
рицу линейного оператора f относительно базиса a~ = QT e~. Таким образом видно, что в пространстве V существует базис a~, относительно которого матрица Afja~ = A имеет диагональный вид. Тогда по определению 8.6.6 оператор f является диагонализируемым.