алгебра 2 семестр
.pdf7.5. Линейные подпространства |
21 |
Система векторов (7.4) будет линейно независимой, так как ни один вектор не выражается через остальные векторы.
Далее, любой вектор a 2 V , линейно выражаясь через систему (7.3), будет линейно выражаться и через систему (7.4), так как удаленные векторы из системы (7.3), линейно выражаются через систему (7.4). Таким образом, система векторов (7.4) будет составлять базис пространства V . Этот базис получен из системы a1; a2; : : : ; as добавлением некоторых век- торов. k = n s.
ТЕОРЕМА 7.5.1 (о размерности суммы двух линейных подпространств). Размерность суммы двух линейных подпространств конеч- номерного линейного пространства V равна сумме размерностей этих линейных подпространств без размерности их пересечения, то есть
dim (L1 + L2) = dim L1 + dim L2 dim (L1 \ L2):
Доказательство. Пусть L1 è L2 два линейных подпространства пространства V . Обозначение через L = L1 \ L2. Пусть система векторов
e1; e2; : : : ; er |
(7.5) |
базис L. Если L = f0g, то r = 0 и базисом будет пустое множество. По лемме базис L можно дополнить до базиса L1
e1; e2; : : : ; er; ur+1; : : : ; us; |
(7.6) |
где (7.6) базис L1, dim L1 = s. Аналогично, по лемме базис L можно дополнить до базиса L2
e1; e2; : : : ; er; vr+1; : : : ; vt; |
(7.7) |
где (7.7) базис L2, dim L2 = t. Рассмотрим следующую систему векторов
e1; e2; : : : ; er; ur+1; : : : ; us; vr+1; : : : ; vt: (7.8)
22 |
Глава 7. Линейные пространства |
Покажем что система (7.8) является базисом L1 + L2. Действительно, |
|
возьмем произвольный вектор |
x 2 L1 + L2. Тогда x = a + b, где a 2 |
2 L1; b 2 L2. Разлагая вектор a по базису (7.6), вектор b по базису (7.7) и складывая полученные выражения, мы получим, что вектор x линейно выражается через систему (7.8).
Остается показать, что система векторов (7.8) является линейно независимой. Рассмотрим линейную комбинацию
1e1 + : : : + rer + r+1ur+1 + : : : + sus + r+1vr+1 + : : : + tvt = 0: |
(7.9) |
Нужно показать, что все скаляры i; i; i = 0. Рассмотрим вектор |
|
x = 1e1 + : : : + rer + r+1ur+1 + : : : + sus: |
(7.10) |
Из равенства (7.9) видно, что вектор |
|
x = r+1vr+1 : : : tvt: |
(7.11) |
Равенство (7.10) указывает на то, что вектор x 2 L1, а равенство (7.11)
указывает на то, что вектор x 2 L2, следовательно x 2 L1 \ L2 |
= L. |
Следовательно, вектор x можно выразить через базис L. |
|
x = 10 e1 + : : : + r0 er: |
(7.12) |
Сравним (7.10) и (7.12). Выражение вектора x через базис (7.6) должно быть единственным, тогда
1 = 10 ; : : : ; r = r0 ; r+1 = 0; : : : ; s = 0:
Тогда равенство (7.9) принимает вид
1e1 + : : : + rer + r+1vr+1 + : : : + tvt = 0: |
(7.13) |
Так как базис (7.7) является линейно независимой системой векторов, то из равенства (7.13) следует, что все скаляры 1 = : : : = r = r+1 = = : : : = t = 0.
7.5. Линейные подпространства |
23 |
Видно, что система векторов (7.8) является линейно независимой, следовательно, система векторов (7.8) является базисом L1 + L2. Тогда dim (L1 + L2) = числу векторов в базисе (7.8) = r + (s r) + (t r) = s +
+t r = dim L1 +dim L2 dim L = dim L1 +dim L2 dim (L1 \L2).
Следствие 7.5.1.1. Размерность прямой суммы равна сумме размерностей слагаемых.
Доказательство. Действительно, если L1 + L2 прямая сумма, то по определению L1 \L2 = f0g, dim f0g = 0. Получаем, что dim (L1 L2) = = dim L1 + dim L2.
Глава 8
Линейные операторы в линейном пространстве
8.1Пространство и алгебра линейных операторов
Пусть V и V 0 два линейных пространства над одним и тем же основным полем k.
Определение 8.1.1. Линейным оператором из пространства V в пространство V 0 над одним и тем же полем k называется всякое отображение
f: V ! V 0, удовлетворяющее двум условиям: 1. (8 a; b 2 V ) f(a + b) = f(a) + f(b);
2. (8 2 k; a 2 V ) f( a) = f(a).
Видно, что понятие ¾линейный оператор¿ является обобщением понятия ¾изоморфизм¿. В случае изоморфизма, требовалось чтобы f было биекцией. Условие 1) означает, что f является гомоморфизмом (V; +) на (V 0; +). Условие 1) называется условием аддитивности, а условие 2) называется условием однородности.
Определение 8.1.2. Линейным оператором из пространства V в про- странство V 0 над одним и тем же основным полем k называется всякое
24
8.1. Пространство и алгебра линейных операторов |
25 |
отображение f : V ! V 0, удовлетворяющее условию линейности:
(8 ; 2 k; a; b 2 V ) f( a + b) = f(a) + f(b):
Обозначим через L(V; V 0) множество всех линейных операторов из пространства V в пространство V 0. На этом множестве рассмотрим две алгебраические операции: внутреннее сложение и внешнее умножение.
Определение 8.1.3. Пусть f; g 2 L(V; V 0) и 2 k. Полагают, что (f +
g)(a) = f(a) + g(a) è ( f)(a) = f(a).
Определение 8.1.3 корректно в том смысле, что f + g и f являются линейными операторами.
Действительно, (8 ; 2 k; a; b 2 V ) (f +g)( a+ b) = f( a+ b)+
+g( a + b) = f(a) + f(b) + g(a) + g(b) = (f(a) + g(a)) + (f(b) +
+g(b)) = (f + g)(a) + (f + g)(b): Следовательно f + g 2 L(V; V 0). Еще проще доказывается, что f 2 L(V; V 0):
ТЕОРЕМА 8.1.1. Множество L(V; V 0), рассмотренное вместе с определенными на нем внутренней алгебраической операцией сложения и внешней алгебраической операцией умножения, образует линейное пространство над полем k.
Доказательство. Пусть f; g; h 2 L(V; V 0); ; ; 1 2 k. Для доказательства теоремы достаточно показать, что выполняются 7 аксиом линейного пространства, а именно
1.f + g = g + f;
2.f + (g + h) = (f + g) + h;
3. (8 f; g) (9 h) g + h = f;
4.(f + g) = f + g;
5.( + )f = f + f;
26 |
Глава 8. Линейные операторы в линейном пространстве |
6.( )f = ( f) = ( f);
7.1 f = f.
Проверим некоторые из них.
1) Имеем (8 a 2 V ) (f+g)(a) = f(a)+g(a) = g(a)+f(a) = (g+f)(a).
Следовательно, f + g = g + f.
3) Имеем f; g 2 L(V; V 0). Рассмотрим отображение h : V ! V 0, îïðå- деленное следующим образом (8 a 2 V ) h(a) = f(a) g(a). Легко по-
казать, что это отображение удовлетворяет условию линейности, следо-
вательно, h |
2 |
L(V; V 0). Подсчитаем ( |
8 |
a |
2 |
V ) (g+h)(a) = g(a)+h(a) = |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= g(a) + (f(a) g(a)) = f(a). Следовательно, g + h = f. |
||||||||||
|
Пусть V; V 0; V 00 |
три линейных пространства над полем k, пусть |
||||||||
f |
2 |
L(V; V |
0), ' |
2 |
L(V 0; V 00). Тогда можем рассматривать композицию |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
линейных операторов ' f : V ! V 00, которая определяется следующим образом (' f)(a) = '(f(a)). Эту композицию ' f будем обозначать
'f.
Покажем, что 'f есть линейный оператор из пространства V в V 00.
|
Действительно, 'f( a + b) = '(f( a + b)) = '( f(a) + f(b)) = |
||||||
= '(f(a)) + '(f(b)) = ('f)(a) + ('f)(b). Следовательно, |
'f 2 |
||||||
2 |
L(V; V 00). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ТЕОРЕМА 8.1.2. Пусть f; g |
2 |
L(V; V 0); '; |
2 |
L(V 0; V 00); |
h |
2 |
|
|
|
|
|
|
L(V 00; V 000); 2 k. Тогда справедливы следующие соотношения:
1. '(f + g) = 'f + 'g;
2. (' + )f = 'f + f;
3.h('f) = (h')f;
4.('f) = ( ')f = '( f).
8.1. Пространство и алгебра линейных операторов |
27 |
Пусть f; g; '; ; h 2 L(V; V ), то есть это линейные операторы из линейного пространства V в себя.
Определение 8.1.4. Линейный оператор из V в V называется эндоморфизмом.
На множестве L(V; V ) можно рассматривать третью алгебраическую операцию внутреннее умножение. Если f; ' 2 L(V; V ), то полагают
'f = ' f : V ! V , 'f 2 L(V; V ). Для этой операции умножения операторов справедливы соотношения 1) 4) теоремы 8.1.2.
ТЕОРЕМА 8.1.3. Множество L(V; V ), рассмотренное вместе с определенными на нем тремя алгебраическими операциями: внутренними сложением и умножением и внешним умножением, образует алгебру над полем k.
Теорема 8.1.3 означает, что операции в множестве L(V; V ) удовлетворяют следующим 10 аксиомам:
1) 7) аксиомы линейного пространства;
8)f(g + h) = fg + fh, (f + g)h = fh + gh;
9)f(gh) = (fg)h;
10)(fg) = ( f)g = f( g).
Как и всякая алгебра, алгебра линейных операторов есть соединение двух алгебраических структур: структуры линейного пространства (аксиомы 1) 7)) и структуры кольца (аксиомы 1) 3) и 8) 9)). Эти структуры связаны между собой свойством 10).
В дальшейшем, множество L(V; V ) будем обозначать L(V ). Примеры:
1) Нулевой линейный оператор из L(V ). Он обозначается 0V . Опреде- ляется следующим образом: (8 a 2 V ) 0V (a) = 0. ßñíî, ÷òî
(8 f 2 L(V )) f + 0V = f:
28 Глава 8. Линейные операторы в линейном пространстве
2) Тождественный линейный оператор из L(V ). Обозначается 1V . Определяется следующим образом: (8 a 2 V ) 1V (a) = a. ßñíî, ÷òî
(8 f 2 L(V )) 1V f = f 1V = f:
Это означает, что в алгебре L(V ) есть единица.
8.2Матрица линейного оператора в конечномерном линейном пространстве
Здесь мы получим обозрение всех линейных операторов алгебры L(V ), где dim V = n.
ТЕОРЕМА 8.2.1. Пусть e1; e2; : : : ; en базис линейного простран-
ства V . Пусть V 0 |
другое линейное пространство над полем |
k è |
|||||||||||||
a10 ; a20 ; : : : ; an0 |
произвольная система векторов из V 0. Тогда существу- |
||||||||||||||
ет единственный линейный оператор f |
2 |
L(V; V 0), переводящий базис |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
пространства V в заданную систему векторов пространства V 0, òî |
|||||||||||||||
åñòü |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
(8 1 6 i 6 n) f(ei) = ai0: |
|
|
||||||
Доказательство. 1) Единственность. |
|
|
|
|
L(V; V 0) такой, что ( |
1 |
|
||||||||
|
Пусть существует линейный оператор f |
2 |
6 |
||||||||||||
6 |
|
|
n) f(e ) = a0 |
|
|
|
2 |
|
8 |
|
|||||
i |
n |
. Любой вектор a |
V |
можно представить в виде |
|||||||||||
|
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a = |
iP |
iei. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
=1 |
|
|
|
|
n iei! = |
|
if(ei) = n iai0: |
|
|
||||
|
|
|
|
f(a) = f |
n |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
X |
Xi |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
=1 |
|
|
|
|
i=1 |
|
|
Допустим, что существует другой линейный оператор f1 2 L(V; V 0), óäî-
влетворяющий условию ( |
8 |
1 |
6 |
i |
6 |
n) f (e ) = a0 |
. Тогда |
||||
|
|
|
|
|
|
1 i |
i |
|
|||
f1(a) = f1 |
n |
iei! |
= |
n |
if1(ei) = |
n |
iai0 = f(a): |
||||
|
X |
|
|
|
|
|
X |
|
Xi |
||
|
i=1 |
|
|
|
|
|
i=1 |
|
=1 |
8.2. Матрица линейного оператора в конечномерном линейном пространстве |
29 |
Следовательно f1 = f. |
|
|
2) Существование. |
n |
|
Пусть a 2 V . Тогда a = |
|
|
iei. Определим отображение f : V ! V 0 |
||
следующим образом |
iP |
|
|
=1 |
|
|
|
n |
|
|
Xi |
|
f(a) = |
iai0: |
|
|
=1 |
Покажем, что это отображение |
удовлетворяет условиям линейности. |
||
Действительно, пусть b 2 V , b = |
n |
|
|
=1 |
iei. Тогда |
||
|
iP |
n |
|
|
|
|
|
f(b) = |
iai0: |
|
|
|
|
=1 |
|
|
Xi |
|
|
n |
|
! |
n |
XX
f(a + b) = f |
( i + i)ei = ( i + i)ai0 = |
i=1 |
i=1 |
nn
XX
=ia0i + ia0i = f(a) + f(b):
i=1 i=1
Еще проще доказывается, что f( a) = f(a), где 2 k. Таким образом,
отображение f 2 L(V; V 0). Наконец, (8 1 6 i 6 1) |
|
f(ei) = f(0 e1 +: : :+ |
|||||||||||||
+ 1 |
|
e |
i |
+ : : : + 0 |
|
e |
n |
) = 0 |
|
a0 + : : : + 1 |
|
a0 + : : : + 0 |
|
a0 |
= a0. |
|
|
|
|
|
i |
i |
n |
i |
|||||||
Следствие 8.2.1.1. Линейный оператор из V в V 0 |
однозначно определя- |
||||||||||||||
ется образами базисных векторов пространства V . |
|
|
Это вытекает из доказательства первой части теоремы 8.2.1.
Следствие 8.2.1.2. Множество линейных операторов из V в V 0 находит- ся во взаимно однозначном соответствии с множеством упорядоченных систем из n-векторов пространства V .
Пусть V линейное пространство над полем k, dim V = n, e1; e2; : : : ; en базис пространства V . Пусть, далее, f 2 L(V ), по следствию из теоремы 8.2.1, этот оператор единственным образом определяется образами базисных векторов f(e1); f(e2); : : : ; f(en) 2 V . Разложим
30 Глава 8. Линейные операторы в линейном пространстве
эти образы по базису пространства V , получим
f(e1) = 11e1 + 12e2 + : : : + 1nen;
f(e2) = 21e1 + 22e2 + : : : + 2nen;
: : :
(8.1)
f(en) = n1e1 + n2e2 + : : : + nnen:
Определение 8.2.1. Матрицей линейного оператора f 2 L(V ) отно- сительно базиса e1; e2; : : : ; en называется матрица, транспонированная к матрице, составленной из коэффициентов линейного выражения образов базисных векторов через этот базис.
0
11 12 : : : 1n
B
B 21 22 : : : 2n
Afje = B
B
B : : : : : : : : : : : :
@
n1 n2 : : : nn
1T 0
11 21 : : : n1
CB
CB 12 22 : : : n2
C= B
CB
CB : : : : : : : : : : : :
A@
1n 2n : : : nn
1
C
C
C:
C
C
A
Определение 8.2.2. Матрицей линейного оператора f 2 L(V ) относи- тельно базиса e1; e2; : : : ; en называется матрица, столбцами которой являются координатные столбцы векторов f(e1); f(e2); : : : ; f(en) относительно базиса e, то есть
Afje = (f(e1)je; f(e2)je; : : : ; f(en)je):
Определение 8.2.3. Если обозначить
|
0 e1 |
1 |
|
0 f(e1) 1 |
|
||
e = |
B |
:e:2: |
C |
è f(e) = |
B f:(:e:2) |
C |
; |
|
B |
|
C |
|
B |
C |
|
|
B |
|
C |
|
B |
C |
|
|
B en |
C |
|
B f(en) |
C |
|
|
|
B |
|
C |
|
B |
C |
|
|
@ |
|
A |
|
@ |
A |
|
то матрицей линейного оператора f относительно базиса e называется матрица Af , определяемая из равенства
f(e) = ATf e: