алгебра 2 семестр
.pdf11.2. Линейные преобразования неизвестных |
91 |
ных форм от новых неизвестных y1; y2; : : : ; yn |
|
x1 = 11y1 + 12y2 + : : : + 1nyn; |
|
x2 = 21y1 + 22y2 + : : : + 2nyn; |
(11.1) |
: : : |
|
xn = n1y1 + n2y2 + : : : + nnyn: |
|
Если в многочлене F вместо x1; x2; : : : ; xn подставить их выражения по формулам (11.1) и произвести указанные действия, то мы получим новый многочлен G(y1; y2; : : : ; yn).
Определение 11.2.1. Линейным преобразованием L неизвестных x1; x2; : : : ; xn в неизвестные y1; y2; : : : ; yn по формулам (11.1) называ- ется сопоставление каждому многочлену F (x1; x2; : : : ; xn) многочлена F L(y1; y2; : : : ; yn), получающегося из многочлена F заменой x1; x2; : : : ; xn их значениями по формулам (11.1) и выполнением соответствующих действий.
Линейные преобразования будем обозначать L; L1; L0; M и будем писать L : x ! y. Через F L будем обозначать многочлен, получающийся из многочлена F с помощью преобразования L.
Определение 11.2.2. Матрицей линейного преобразования L : x ! y выполненного по формулам (11.1), называется матрица, составленная из коэффициентов линейного выражения старых неизвестных x1; x2; : : : ; xn через новые неизвестные y1; y2; : : : ; yn.
Матрицу линейного преобразования L будем обозначать через
0
11 12 : : : 1n
B
B 21 22 : : : 2n
AL = B B
B : : : : : : : : : : : :
@
n1 n2 : : : nn
1
C
C
C;
C
C
A
0 x1 |
1 |
0 y1 |
1 |
|
||
X = B |
:x:2: |
C |
; Y = B |
:y:2: |
C |
: |
B |
|
C |
B |
|
C |
|
B |
|
C |
B |
|
C |
|
B xn |
C |
B yn |
C |
|
||
B |
|
C |
B |
|
C |
|
@ |
|
A |
@ |
|
A |
|
92 Глава 11. Квадратичные формы
Определение 11.2.3. Линейное преобразование L неизвестных xi â неизвестные yi с матрицей A называется преобразование вида X = AY .
Определение 11.2.4. Произведением линейного преобразования L : x ! y на линейное преобразование M : y ! z, называется последова-
тельное выполнение сначала преобразования L, а затем преобразования
M.
Это определение означает, что (F )LM = (F L)M.
Предложение 11.2.1. Произведение линейных преобразование неизвестных является линейным преобразованием, матрица которого равна произведению матриц данных преобразований.
Доказательство. Пусть L : x ! y по формуле X = ALY , а M : y ! z по формуле Y = AM Z. Рассмотрим многочлен F (X) и подействуем на него преобразованием LM, получим
(F (X))LM = (F (X)L)M = (F (ALY ))M = F (AL(AM Z)) = F ((ALAM )Z):
Мы видим, что LM : x ! z по формуле X = ALAM Z, тогда по определению 11.2.3 LM является линейным преобразованием неизвестных x ! z
с матрицей ALM = ALAM .
Определение 11.2.5. Тождественным линейным преобразованием неизвестных называется линейное преобразование, матрица которой равна единичной матрице.
Тождественное преобразование будем обозначать через 1L. Èç îïðå-
деления A1L = E, òî åñòü 1L : x1 = y1; x2 = y2; : : : ; xn = yn.
Определение 11.2.6. Линейное преобразование неизвестных L назы-
вается невырожденным (неособенным) если его матрица AL является
неособенной, то есть jALj 6= 0.
11.3. Квадратичная форма, ее матрица и ранг |
93 |
С точностью до обозначения неизвестных, между множеством линейных преобразований fLg, рассмотренного вместе с операцией умножения, и множеством (M(n; k); ) можно установить изоморфизм f : L !
AL. Поэтому каждому понятию или свойству, относящемуся к матрицам, соответствует такое же понятие или свойство линейных преобразований. Ввиду этого, можно высказать ряд утверждений.
Утверждение 11.2.1. Умножение линейных преобразований ассоциативно.
Утверждение 11.2.2. Произведение нескольких линейных преобразований невырожденно тогда и только тогда, когда каждое из перемножаемых линейных преобразований является невырожденным.
Утверждение 11.2.3. Линейное преобразование L невырожденно то-
гда и только тогда, когда оно допускает обратное линейное преобразование L 1 такое, что LL 1 = L 1L = 1L.
Утверждение 11.2.4. Матрица обратного линейного преобразования равна обратной матрице для первоначального преобразования, то есть
AL 1 = AL1.
Утверждение 11.2.5. Невырожденные линейные преобразования образуют группу по умножению, изоморфную группе неособенных квадратных матриц.
11.3Квадратичная форма, ее матрица и ранг
Пусть k основное поле. Характеристика k 6= 2, k[x1; x2; : : : ; xn] кольцо многочленов от n неизвестных над полем k.
Определение 11.3.1. Квадратичной формой от n неизвестных x1; x2; : : : ; xn над полем k называется форма второй степени над по-
94 Глава 11. Квадратичные формы
лем k, то есть однородный многочлен второй степени от неизвестных
x1 |
; x2 |
; : : : ; xn над полем k. |
|
|
|
|
|
|
Определение |
11.3.2. |
Квадратичной |
формой |
îò |
неизвестных |
|||
x1 |
; x2 |
; : : : ; xn íàä |
полем |
k называется |
многочлен |
îò |
неизвестных |
|
x1 |
; x2 |
; : : : ; xn с коэффициентами из поля k следующего вида |
||||||
|
|
|
|
|
n |
X |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
F (x1; x2; : : : ; xn) = |
ixi2 + |
ijxixj: |
(11.2) |
|||
|
|
|
|
|
i=1 |
16i<j6n |
|
|
Придадим записи (11.2) так называемый стандартный вид, для этого обозначим
ii = i; ij = |
1 |
ij; |
а вторую половину |
1 |
ij = ji: |
(11.3) |
2 |
2 |
Формулы (11.3) показывают, что члены многочлена (11.2) примут вид:
ixi2 = iixixi; ijxixj = |
1 |
ijxixj + |
1 |
ijxixj = ijxixj + jixjxi; |
|||||
2 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
n |
|
|
16X6 |
|
|
6X6 |
|
||
X |
|
|
|
ijxixj + |
jixjxi = |
||||
F (x1; x2; : : : ; xn) = iixixi + |
|
|
|
|
|||||
i=1 |
|
|
i<j |
|
n |
1 i<j n |
nn
Xi |
X |
|
= |
ijxixj |
(11.4) |
=1 j=1
Предложение 11.3.1. Всякую квадратичную форму вида (11.2) можно привести к виду (11.4) с помощью формул (11.3).
Определение 11.3.3. Запись квадратичной формы F (x1; x2; : : : ; xn) â
виде (11.4) с условием, что ij = ji, 8i; j = 1; n называется стандартной
формой записи.
Определение 11.3.4. Матрицей квадратичной формы F (x1; x2; : : : ; xn)
называется матрица, составленная из коэффициентов при произведениях неизвестных в ее стандартной форме записи.
11.3. Квадратичная форма, ее матрица и ранг |
95 |
Обозначим
Пример.
0
11 12 : : : 1n
B
B 21 22 : : : 2n
AF = B B
B : : : : : : : : : : : :
@
n1 n2 : : : nn
1
C
C
C;
C
C
A
F (x1; x2) = 2x21 + 4x1x2 + 5x22 = 2x1x1 + 2x1x2 + 2x2x1 + 5x2x2;
AF = |
2 |
5 |
!: |
|
2 |
2 |
|
Ясно, что матрица AF квадратичной формы является симметриче- ской. Каждой квадратичной форме соответствует симметрическая матрица AF . Каждой симметрической матрице AF соответствует квадра- тичная форма F , поэтому между множеством квадратичных форм от n неизвестных и множеством симметрических матриц n-порядка существует взаимноодназначное соответствие (биекция).
Определение 11.3.5. Рангом квадратичной формы F (x1; x2; : : : ; xn)
называется ранг матрицы этой квадратичной формы r(F ), то есть
r(F ) = r(AF ).
Определение 11.3.6. Дискриминантом квадратичной формы F (x1; x2; : : : ; xn) называется определитель матрицы этой квадратичной формы D(F ), то есть D(F ) = jAF j.
Определение 11.3.7. Квадратичная форма F (x1; x2; : : : ; xn) называется невырожденной, если матрица этой квадратичной формы неособенна.
Следствие. Квадратичная форма F (x1; x2; : : : ; xn) является неособенной, тогда и только тогда, когда ее дискриминант не равен 0 или, тогда и только тогда, когда ее ранг равен числу неизвестных.
96 |
Глава 11. Квадратичные формы |
11.4Влияние линейного преобразования на квадратичную форму
Пусть F квадратичная форма с матрицей A, то есть
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
Xi |
X |
|
|
F = |
|
ijxixj; |
|
|
|
0 x1 |
1 |
=1 j=1 |
|
|
|
|
|
||
как всегда через X = B x2 |
C |
; будем обозначать столбец неизвестных, |
|||
|
|
B |
C |
|
|
|
|
B |
C |
|
|
|
|
B : : : |
C |
|
|
|
|
B |
C |
|
|
|
|
xn |
A |
|
|
тогда |
T |
x . |
|
|
|
X = (x1 |
|
|
|||
|
; x2; : : : ;@n) |
|
|
Предложение 11.4.1. Квадратичную форму F с матрицей A можно записать в виде F = XT AX.
Доказательство. AX является столбцом размерности n 1. В i-строке |
||||||
этого столбца |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(AX)i = |
Xj |
|
|
||
|
ijxj |
; |
|
|||
|
|
|
|
=1 |
|
|
тогда |
|
xi |
|
ijxj! = |
|
ijxixj: |
XT (AX) = |
n |
n |
n n |
|||
|
Xi |
|
X |
|
XX |
|
|
=1 |
|
j=1 |
|
i=1 j=1 |
|
ТЕОРЕМА 11.4.1 (о влиянии линейного преобразования) . Пусть F квадратичная форма с матрицей A и L линейное преобразование неизвестных L : x ! y с матрицей Q, тогда
1. F L является квадратичной формой с матрицей QT AQ, òî åñòü
AF L = ATLAF AL;
2. D(F L) = D(F )jQj2;
11.5. Приведение квадратичной формы к каноническому виду |
97 |
3. если L невырожденное линейное преобразование, то |
r(F L) = |
= r(F ), то есть формы F L и F одновременно вырождены или не
вырождены.
Доказательство. 1. По предположению F = XT AX. Далее линейное преобразование L : x ! y происходит по формуле X = QY , тогда
F L = (QY )T AQY = (Y T QT )A(QY ) = Y T (QT AQ)Y;
òî åñòü F L = Y T BY , ãäå B = QT AQ. Покажем, что матрица B является симметрической
BT = (QT AQ)T = QT AT (QT )T = QT AQ = B:
Видно, что F L является квадратичной формой от неизвестных y1; y2; : : : ; yn с матрицей AF L = QT AQ.
2. Подсчитаем D(F L).
D(F L) = jAF Lj = jQT AQj = jQT j jAj jQj = D(F )jQj2:
3. Видно, что матрица AF L = QT AQ получается из матрицы A умножением слева и справа на не особенные матрицы. jQj 6= 0 так как L невырожденное преобразование. По теореме о ранге произведений матриц r(AF L) = r(A), òî åñòü r(F L) = r(F ).
11.5Приведение квадратичной формы к канониче- скому виду
Определение 11.5.1. Квадратичная форма F имеет канонический вид,
если матрица AF этой формы является диагональной, то есть
0 |
1 |
0 |
: : : |
0 |
1 |
|
AL = B |
:0: : : :2: |
:: :: :: : |
0: : |
C |
: |
|
B |
|
|
|
|
C |
|
B |
|
|
|
|
C |
|
B |
|
|
|
|
C |
|
B |
|
|
|
|
C |
|
@ |
0 |
0 |
: : : n |
A |
|
|
|
|
|
98 Глава 11. Квадратичные формы
Это означает, что
n
X
F = ix2i :
i=1
Причем среди чисел 1; 2; : : : ; n могут быть и нули.
Следствие. Ранг канонической квадратичной формы равен числу отлич- ных от нуля коэффициентов при квадратах неизвестных.
Доказательство. r(F ) = r(AF ) = количеству неравных нулю элементов
i.
Определение 11.5.2. Квадратичная форма F имеет нормальный вид, если матрица этой формы является единичной, то есть AF = E, òî åñòü
F = x21 + x22 + : : : + x2n.
Определение 11.5.3. Линейное преобразование L : x ! y приводит квадратичную форму F к каноническому виду, если квадратичная форма F L имеет канонический вид. В этом случае, если L является невырожденным линейным преобразованием, то F L называют каноническим видом формы F .
Замечание 11.5.1. Канонический вид квадратичной формы F определяется неоднозначно. Этот вид существенно зависит от применяемого невырожденного преобразования неизвестных.
ТЕОРЕМА 11.5.1 (Лагранжа). Любую квадратичную форму с помощью невырожденного линейного преобразования неизвестных можно привести к каноническому виду.
Доказательство. Доказательство проводим методом математической индукции по n.
1) Пусть n = 1, тогда F = 11x21 она уже имеет канонический вид
1L : x = y.
11.5. Приведение квадратичной формы к каноническому виду |
99 |
2) Предположим, что теорема верна для квадратичных форм, зависящих от n 1 неизвестных. Докажем ее справедливость для квадратичных
форм, зависящих от n неизвестных.
nn
P P
Пусть F = ijxixj. Рассмотрим 2 случая.
i=1 j=1
a) Не все коэффициенты при квадратах неизвестных равны нулю. Пусть для определенности nn 6= 0. Запишем выражение для формы
F , выделив в ней члены, содержащие xn, получим
n 1 n 1 |
n 1 |
|
n 1 n 1 |
|
|
|
||
XX |
X |
|
Xi |
X |
|
|
|
|
F = |
ijxixj + 2 inxixn + nnxn2 = |
|
ijxixj+ |
|||||
i=1 j=1 |
i=1 |
|
=1 j=1 |
|
1 |
|
||
+ nn 0xn2 + 2 ( in= nn)xixn + |
|
( in= nn)xi! |
||||||
|
n 1 |
n 1 |
|
|
|
2 |
|
|
@ |
Xi |
X |
|
|
|
|
A |
|
|
=1 |
i=1 |
|
|
|
|
|
|
nn |
n 1( in= nn)xi!2 = F1(x1; x2; : : : ; xn 1)+ |
|
|
|||||
|
Xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ nn xn + n 1( in= nn)xi!2 = |
|
|
|
|
|
||
|
Xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
2 |
|
|
= F1(x1; x2; : : : ; xn 1) + nn1 nnxn |
inxi! : |
|
||||||
+ |
|
|||||||
|
|
|
Xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
Здесь F1(x1; x2; : : : ; xn 1) является квадратичной формой, зависящей от n 1 неизвестных. Рассмотрим линейное преобразование L1 : y ! x, осуществляемое по формулам yi = xi; 8i = 1; n 1; yn = 1nx1 + : : : + nnxn.
Это преобразование является невырожденным, так как jAL1 j = nn 6= 0, тогда существует обратное линейное преобразование L1 1 : x ! y òàê æå
являющееся невырожденным. Это преобразование L 1
1 переведет форму F к виду F L1 1 = F1(y1; y2; : : : ; yn 1) + nn1yn2, так как форма F1 çàâè- сит от n 1 неизвестных, то к ней можно применить предположение
индукции, а именно, существует M невырожденное линейное преобразование M : y ! z, которое переводит форму F1 в канонический
100 |
Глава 11. Квадратичные формы |
âèä F1M |
= 1z12 + : : : + n 1zn2 1. Тогда рассмотрим линейное преоб- |
разование L2 : y ! z по формулам для n 1 переменной L2 = M, ïðè yn = zn. Это преобразование L2 является невырожденным, так как
jAL2 j = |
0M |
1 |
|
= jAM j 6= 0. Это преобразование L2 переводит форму |
||||||||||
|
|
|
A |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F L1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
)L2 |
2 |
+ : : : + n |
|
2 |
|
1 |
2 |
|
ê âèäó |
(F L |
1 |
= 1z1 |
|
1zn |
|
1 + nn |
zn. Видно, что квад- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ратичная форма F с помощью линейного преобразования L = L1 1L2 приводится к каноническому виду, при этом преобразование L является невырожденным, как произведение двух невырожденных линейных преобразований.
b) Все коэффициенты при квадратах неизвестных в форме F равны нулю. В этом случае не все коэффициенты при произведениях xixj
равны нулю, в противном случае F = 0, а это не есть квадратичная форма. Пусть 12 6= 0, значит форма имеет вид F = 2 12x1x2+ слага-
емые, каждый член которых содержит, по крайней мере, одно из неиз- вестных x3; x4; : : : ; xn. Рассмотрим линейное преобразование неизвестных L1 : x ! z по формулам x1 = z1 z2; x2 = z1 +z2; xi = zi; 8 i = 3; n. Это линейное преобразование невырожденное jAL1 j = 2 6= 0, F L1 = = 2 12z12 2 12z22+ слагаемые, каждый член которых содержит, по крайней мере одну из неизвестных z3; z4; : : : ; zn. Видно, что форма F L1, содержит отличные от нуля коэффициенты при двух переменных, и эти два первые члена не могут уничтожаться с последующими слагаемыми. Тогда мы находимся в условиях первого рассмотренного слу- чая. Следовательно, существует невырожденное линейное преобразова-
íèå L2 : |
z |
! y, которое форму F L1 переводит в канонический вид |
|
(F L1)L2 |
= |
1y12 + 2y22 + : : : + nyn2 |
. Форма F с помощью линейного |
преобразования L = L1L2 переводится в канонический вид.
Следствие 11.5.1.1. Ранг квадратичной формы F равен количеству не равных нулю коэффициентов при квадратах неизвестных в любом ее