2) Графический способ. Суть этого способа задания функции состоит в том, что задается график функции, т. е. множество точек,

координаты которых (x, y) задают соответствие между переменны-

ми х и у.

3) Аналитический способ. Суть этого способа состоит в том, что функциональное соответствие задается формулой. При этом функция может быть задана явно, то есть функция явно выражена че-

x2 + y2 = 9 . И, наконец, функция может быть задана параметри-

чески, то есть обе переменные х и у задаются как функции одной и той же переменной, например

x = 2 cos t ,y = 2 sin t .

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

Возрастание и убывание функций. Функция f (x) называ-

ется монотонно возрастающей (убывающей) на некотором интерва-

ле, если для любых двух значений аргумента x1 , x2 из этого интервала таких, что x1 > x2 , большему значению аргумента соответствует

стности этой точки (т. е. на интервале (x −ε , x +ε ), где ε > 0 ) зна-

чение функции в этой точке f (x0 ) является наибольшим (наимень-

шим). Точки локального максимума и минимума функции называют-

ся точками экстремума.

6

Четность и нечетность функции. Функция f (x) называет-

ся четной (нечетной), если любым двум противополож-ным значениям аргумента соответствуют равные (противоположные) значения функции, т.е.

f (−x)= f (x) ( f (−x)= − f (x))

Функция, не являющаяся ни четной, ни нечетной, называется функцией общего вида. Графики четной и нечетной функций обладают свойством симметрии: график четной функции симметричен относительно оси ординат; график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

{x} обозначается дробная часть числа, то есть {x}= x −[x], где [x] – наибольшее целое число, не превосходящее x . Период функции y ={x} равен 1. Очевидно, что если число Т является периодом функ-

ции f (x), то при любом целом п число nT также является периодом этой функции. Поэтому, говоря, что периодом функции f (x) является числоТ, обычноимеютввидунаименьшийпериодэтойфункции.

Обратные функции. Функции f (x) и g (x) называются

взаимно обратными, если для любого x , принадлежащего области определения каждой из этих функций, имеет место равенство:

7

Примерами взаимно обратных функций являются функции y = x2 и y = x , y = lg x и y = 10x , y = sin x и y = arcsin x .

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y = x .

Наиболее эффективным инструментом исследования свойств функций является ее производная, которая будет рассмотрена в рамках данного курса. Рассмотрим некоторые элементарные (т. е. не использующие производную) приемы исследования функции.

Алгоритм нахождения области определения функции. Для того чтобы найти область определения функции, нужно:

1) Проверить, присутствует ли аргумент функции в знаменателе дроби. Если присутствует, то следует записать неравенство: “знаменатель не равен нулю”.

Пример 1.1.1. Найти область определения функции

Решение. Оба знаменателя содержат аргумент и, следовательно, для того, чтобы найти область определения, следует записать два неравенства и объединить их в систему:

x − 2 ≠ 0,

x2 −5 x + 4 ≠ 0.

Решением первого неравенства является множество R / {2} (т.е. множество всех действительных чисел кроме двух; решением второго – R / {1;4}. Пересечением этих множеств, т. е. решением

системы является множество R / {1; 2;4}. Это множество и является областью определения функции f (x).

Ответ: D ( f )= R / {1; 2;4}.

2) Проверить, присутствует ли аргумент функции в подкоренном выражении корня четной степени. Если присутствует, то следует записать неравенство: “подкоренное выражение больше или равно нулю”.

8

Пример 1.1.2. Найти область определения функции f (x)= x + 3 + 3 x2 − 4 + 4 16 − x2 .

Решение. Все три радикала содержат аргумент функции, но только первый и третий имеют четную степень. Получим систему двух неравенств:

этих множеств, а, следовательно, и решением системы является множество [−3;4]. Это множество и является областью определения

функции f (x).

Ответ: D ( f )= [−3;4].

3) Проверить, присутствует ли аргумент функции в аргументе тангенса либо котангенса. Если аргумент функции присутствует в аргументе тангенса, то следует записать неравенство “аргумент тан-

генса не равен π2 +πn, n Z ”; если аргумент функции присутству-

ет в аргументе котангенса, то следует записать неравенство “аргумент котангенса не равен πn, n Z ”.

Пример 1.1.3. Найти область определения функции f (x)= tg2x + ctg2x.

Решение. Поскольку аргумент x присутствует в аргументе тангенса, запишем неравенство

2x ≠ π2 +πn, n Z.

Поскольку же аргумент x присутствует в аргументе котангенса, запишем неравенство

2x ≠ πn, n Z.

Объединим эти неравенства в систему:

9

4) Проверить, присутствует ли аргумент функции в аргументе либо в основании логарифма. Если аргумент функции присутствует в аргументе логарифма, то следует записать неравенство: “аргумент логарифма больше нуля”; если аргумент функции присутствует в основании логарифма, то следует записать два неравенства: “основание больше нуля” и “основание не равно единице”.

Пример 1.1.4. Найти область определения функции f (x)= lg (x2 −5 x + 4)+ log(x+1) (3 − x).

Решение. Поскольку аргумент функции присутствует в аргументах обоих логарифмов, следует записать неравенства

x2 −5 x + 4 > 0

и

3 − x > 0 .

Поскольку же аргумент функции присутствует в основании второго логарифма, следует записать неравенства

10

x + 1 > 0

и

x + 1 ≠ 1 .

Объединим теперь все записанные неравенства в систему

(−∞;1)U (4;+∞); решением второго – (−∞; 3); решением третье-

го – (−1;+∞); решением четвертого – R / {0}.

Пересечением этих множеств, а, следовательно, и решением системы является множество (−1;0)U (0;1). Это множество и яв-

ляется областью определения функции f (x).

Ответ: D ( f )= (−1;0)U (0;1).

5) Проверить, присутствует ли аргумент функции в аргументе арксинуса либо арккосинуса. Если присутствует, то следует записать неравенство: “модуль аргумента арксинуса либо арккосинуса меньше или равен единице”.

Пример 1.1.5. Найти область определения функции f (x)= arcsin(x − 2)+ arccos (3 − x).

Решение. Поскольку аргумент функции присутствует в аргументах арксинуса и арккосинуса, запишем неравенства

x − 2 ≤ 1 −1 ≤ x − 2 ≤ 1

и

3 − x ≤ 1 −1 ≤ 3 − x ≤ 1 .

Объединим теперь все записанные неравенства в систему

−1 ≤ x − 2 ≤ 1,−1 ≤ 3 − x ≤ 1.

11

Решением первого неравенства является множество [1; 3];

решением второго – множество [2;4].

Пересечением этих множеств, а, следовательно, и решением системы является множество [2; 3]. Это множество и является обла-

стью определения функции f (x).

Ответ: D ( f )= [2; 3].

6) Объединить все записанные неравенства в систему и решить эту систему. Ее решение и будет областью определения функции.

Пример 1.1.6. Найти область определения функции

Решение. Поскольку аргумент функции присутствует в знаменателе, следует записать неравенство

x2 − 2 x −8 ≠ 0.

Поскольку аргумент функции присутствует в подкоренном выражении квадратного корня, следует записать неравенство

x2 − 2 x − 3 ≥ 0.

Объединим теперь все записанные неравенства в систему

x2 − 2 x −8 ≠ 0,

x2 − 2 x − 3 ≥ 0.

Решением первого неравенства является множество R / {−2;4}; решением второго – множество (−∞;−1]U [3;+∞).

Пересечением этих множеств, а, следовательно, и решением системы является множество

(−∞;−2)U (−2;−1]U [3;4)U (4;+∞).

Это множество и является областью определения функции f (x).

Ответ: D ( f )= (−∞;−2)U (−2;−1]U [3;4)U (4;+∞).

12

Проверка функции на четность или нечетность. Для того чтобы проверить функцию f (x) на четность или нечетность, нужно

вместо аргумента x подставить −x в формулу, которой задана функция. Если после упрощений выяснится, что полученное выраже-

ние совпадает с f (x), то это означает, что функция f (x) – четная;

если полученное выражение противоположно f (x) – функция нечетная; если же полученное выражение не совпадает и не противоположно f (x), то f (x) – функция общего вида.

Пример 1.1.7. Проверить на четность или нечетность функ-

Пример 1.1.8. Проверить на четность или нечетность функцию f (x)= x2 tg2 x.

Решение. Найдем f (−x).

f (−x)= (−x)2 tg2 (−x)= x2 tg2 x = f (x).

Функция четная.

Пример 1.1.9. Проверить на четность или нечетность функцию f (x)= 2 x2 − 3x +6.

Решение. Найдем f (−x).

f (−x)= 2 (−x)2 − 3(−x)+6 = 2 x2 + 3x +6. f (x) – функция общего вида.

13