zadachnik_po_teorii_grupp
.pdf„®ª § âì, çâ® P | ᨫ®¢áª ï p-¯®¤£à㯯 ¢ SL(2; Zp).
x 11. Žá-®¢- ï ⥮६
®ª®-¥ç-ëå ¡¥«¥¢ëå £à㯯 å
11.1.„®ª § âì, çâ® £à㯯ë Z ¨ Q -¥ à §« £ îâáï ¢ ¯àï¬ãî
á㬬ã -¥-ã«¥¢ëå ¯®¤£à㯯. |
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11.2. „®ª § âì, çâ® ª®-¥ç- ï 横«¨ç¥áª ï £à㯯 |
ï¥âáï |
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¯àאַ© á㬬®© ¯à¨¬ à-ëå 横«¨ç¥áª¨å ¯®¤£à㯯. |
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11.3. •®«ì§ãïáì ®á-®¢-®© ⥮६®© ® ª®-¥ç-ëå |
¡¥«¥¢ëå £àã¯- |
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¤) 16; |
¥) 24; |
¦) 36; |
§) 48. |
; : : : ; nk), |
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11.4. ƒ®¢®àïâ, çâ® |
¡¥«¥¢ |
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¥á«¨ ®- ï¥âáï ¯àאַ© á㬬®© 横«¨ç¥áª¨å £à㯯 ¯®à浪®¢ |
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n1; n2; : : : ; nk. |
¡¥«¥¢®© £à㯯¥ ⨯ (2; 16) ¯®¤£à㯯ë ⨯ : |
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…áâì «¨ ¢ |
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) (2; 8); |
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¡) (4; 4); |
¢) (2; 2; 2)? |
11.5. ‘ª®«ìª® ¯®¤£à㯯 |
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) ¯®à浪®¢ |
2 ¨ 6 ¢ -¥æ¨ª«¨ç¥áª®© |
¡¥«¥¢®© £à㯯¥ ¯®à浪 |
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12? |
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3 ¨ 6 ¢ -¥æ¨ª«¨ç¥áª®© |
¡¥«¥¢®© £à㯯¥ ¯®à浪 |
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18? |
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¢) ¯®à浪®¢ 5 ¨ 15 ¢ -¥æ¨ª«¨ç¥áª®© |
¡¥«¥¢®© £à㯯¥ ¯®à浪 |
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75? |
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11.6. ‘ª®«ìª® í«¥¬¥-⮢ |
© Z3; |
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) ¯®à浪 |
2, 4 ¨ 6 ¢ £à㯯¥ Z2 © Z4 |
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¡) ¯®à浪 |
2, 4, ¨ 5 ¢ £à㯯¥ Z2 © Z4 © Z4 © Z5? |
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x 12. ˆ-¢®«î⨢-®¥ ¨áç¨á«¥-¨¥
12.1. „®ª § âì, çâ® S3 | £à㯯 ¤¨í¤à . 12.2. D2n | ¡¥«¥¢ £à㯯 , n = 2.
12.3. „®ª § âì:
) æ¥-âà ¡¥áª®-¥ç-®© £àã¯¯ë ¤¨í¤à âਢ¨ «¥-;
¡) æ¥-âà £à㯯ë D2n âਢ¨ «¥- , n ´ 1 (mod 2);
21
¢) æ¥-âà £à㯯ë D2n ¨¬¥¥â ¯®à冷ª 2 , n =6 2 ¨ n ´ 0
(mod 2).
12.4. ƒà㯯 |
D2n ᮤ¥à¦¨â ¤¢ |
¯¥à¥áâ -®¢®ç-ëå à §«¨ç-ëå |
®âà ¦¥-¨ï , n ´ 0 (mod 2). |
|
|
12.5. ƒà㯯 |
D2n ᮤ¥à¦¨â ¤¢ |
¯¥à¥áâ -®¢®ç-ëå ᮯà殮-- |
-ëå ®âà ¦¥-¨ï , n ´ 0 (mod 4). |
||
12.6. „®ª § âì, çâ® ¥á«¨ ¤¢ ®âà ¦¥-¨ï r1 ¨ r2 ᮯà殮-ë ¢ £à㯯¥ ¤¨í¤à , â® ¤«ï -¥ª®â®à®£® ®âà ¦¥-¨ï r ¢ë¯®«-¥-®
à ¢¥-á⢮ rr1r = r2.
12.7. •ãáâì (G; H) | ª®-¥ç- ï ¯ à ”à®¡¥-¨ãá |
á ¯®¤£àã¯- |
|
¯®© H ç¥â-®£® ¯®à浪 . •®ª § âì, çâ® ï¤à® ”஡¥-¨ãá K = |
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= µG ¡ x2G Hx¶ [ f1g ï¥âáï ¡¥«¥¢®© £à㯯®© -¥ç¥â-®£® |
||
¯®à浪 . S |
|
|
12.8. •ãáâì G = ha; b; ci, ¯à¨ç¥¬, a2 = b2 = c2 |
= (ab)n = |
|
= (ac)m = (bc)n = 1: „®ª § âì: |
|
|
) ¥á«¨ (n; m; k) = (2; |
3; 3); â® jGj 6 24; |
|
¡) ¥á«¨ (n; m; k) = (2; |
3; 4); â® G ª®-¥ç- ; |
|
¢) ¥á«¨ (n; m; k) = (2; |
3; 5); â® G ª®-¥ç- ; |
|
£) ¥á«¨ (n; m; k) = (2; |
2; k); â® jGj 6 4k. |
|
12.9. •®ª § âì, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¡¥áª®-¥ç- ï £à㯯 |
G, ¤«ï ª®- |
|
â®à®© |
|
|
) jabj = 2; jacj = 3; jbcj = 6; jaj = jbj = jcj = 2; |
|
|
¡) jabj = jaj = jbj = jcj; jacj = jbcj = 4:
12.10. •ãáâì «î¡®© í«¥¬¥-â, «¥¦ 騩 ¢-¥ ¯®¤£à㯯ë H < G,
ï¥âáï ¨-¢®«î樥©. „®ª § âì, çâ® á¯à ¢¥¤«¨¢ ®¤¨- ¨§ ¤¢ãå á«ãç ¥¢:
1) |
‹î¡®© -¥¥¤¨-¨ç-ë© í«¥¬¥-â ¨§ G ï¥âáï ¨-¢®«î樥©. |
|
|
‚ ç áâ-®áâ¨, G | ¡¥«¥¢ £à㯯 . |
|
2) |
H | ¡¥«¥¢ ¯®¤£à㯯 ¨-¤¥ªá 2 |
¢ G. |
12.11. •ãáâì G = ha; b; ci, ¯à¨ç¥¬, a2 = b2 = c2 = (abc)2 = 1. „®ª § âì, çâ® ¢á¥ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨ï ç¥â-®£® ç¨á« í«¥¬¥-⮢ a, b, c ®¡à §ãîâ ¡¥«¥¢ã ¯®¤£à㯯㠨-¤¥ªá 2 ¢ £à㯯¥ G.
22
x 13. ”ã-ªæ¨¨ ¤«¨-ë
•ãáâì `i | äã-ªæ¨ï ¤«¨-ë - £à㯯¥ G, Gri | äã-ªæ¨ï à®áâ G ®â-®á¨â¥«ì-® `i, i = 1; 2, â. ¥.
Gri(n) = jfx 2 G j `i(x) 6 ngj ;
di = d(G; `i) | ¤¨ ¬¥âà G ®â-®á¨â¥«ì-® `i.
„®ª § âì á«¥¤ãî騥 ã⢥ত¥-¨ï: 13.1. `1 + `2 | äã-ªæ¨ï ¤«¨-ë - G.
13.2. ¸`i | äã-ªæ¨ï ¤«¨-ë - G ¤«ï «î¡®£® ¸ > 0.
13.3.…᫨ `1(x) 6 `2(x) ¤«ï «î¡®£® x 2 G, â® Gr1(n) > Gr2(n) ¤«ï «î¡®£® n 2 N.
13.4.…᫨ `1(x) 6 `2(x) ¤«ï «î¡®£® x 2 G, â® d1 6 d2.
13.5.•ãáâì `2 | äã-ªæ¨ï ¤«¨-ë ®â-®á¨â¥«ì-® ¯®à®¦¤ î饣® ¬-®¦¥á⢠S µ G, ¯à¨ç¥¬, `1(x) 6 `2(x) ¤«ï «î¡®£® x 2 S. ’®£¤ `1(x) 6 `2(x) ¤«ï «î¡®£® x 2 G.
13.6.•ãáâì `2 | äã-ªæ¨ï ¤«¨-ë ®â-®á¨â¥«ì-® ª®-¥ç-®£® ¯®- ஦¤ î饣® ¬-®¦¥á⢠S µ G ¨ `1 | ¯à®¨§¢®«ì- ï äã-ªæ¨ï ¤«¨-ë. ’®£¤ - ©¤¥âáï â ª®¥ ¸ > 0, çâ® `1(x) 6 ¸`2(x) ¤«ï «î¡®£® x 2 G.
13.7.•ãáâì - | ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà -á⢮ ª®-¥ç-®£® ¤¨ -
¬¥âà á ¬¥âਪ®© d ¨ G 6 Sym(-). ’®£¤ `(x) = sup d(®; ®x)
|
®2- |
ï¥âáï äã-ªæ¨¥© ¤«¨-ë - G. |
|
13.8. • ©â¨ ¤¨ ¬¥âà £à㯯ë Z100 ®â-®á¨â¥«ì-® ¯®à®¦¤ î- |
|
饣® ¬-®¦¥á⢠|
S: |
) S = f1g, |
¡) S = f1; 5g, ¢) S = f1; 10g,£) S = f1; 20g. |
13.9. • ©â¨ ¬¨-¨¬ «ì-ë© ¤¨ ¬¥âà £à㯯ë Z100 ®â-®á¨â¥«ì-® |
|
¤¢ãåí«¥¬¥-â-ëå ¯®à®¦¤ îé¨å ¬-®¦¥áâ¢.
13.10. ‚ëç¨á«¨âì äã-ªæ¨î à®áâ £à㯯ë Z ®â-®á¨â¥«ì-® ¯®-
஦¤ îé¨å 3 ¨ 5.
13.11. ‚ëç¨á«¨âì ¯®á«®©-ãî äã-ªæ¨î à®áâ £à㯯ë G = = hai£hbi ®â-®á¨â¥«ì-® ¯®à®¦¤ î饣® ¬-®¦¥á⢠fa; bg, ¥á«¨
jaj = 5 ¨ jbj = 10.
13.12. • ©â¨ ¤¨ ¬¥âà £à㯯ë Sn ®â-®á¨â¥«ì-® ¯®à®¦¤ î饣® ¬-®¦¥á⢠T :
) T | ¬-®¦¥á⢮ ¢á¥å âà -ᯮ§¨æ¨©,
23
¡) T | ¬-®¦¥á⢮ âà -ᯮ§¨æ¨©, £à ä ª®â®àëå ®¡à §ã¥â æ¥¯ì ¤«¨-ë n ¡ 1.
13.13. ‚ëç¨á«¨âì ¯®á«®©-ãî äã-ªæ¨î à®áâ £à㯯ë Sn; n = = 3; 4; 5; ®â-®á¨â¥«ì-® ¯®à®¦¤ î饣® ¬-®¦¥á⢠âà -ᯮ§¨-
権, £à ä ª®â®àëå ®¡à §ã¥â 楯ì.
13.14. •®áâநâì £à ä Ší«¨ £àã¯¯ë ¤¨í¤à D = ha; bi ®â-®- á¨â¥«ì-® ¯®à®¦¤ î饣® ¬-®¦¥á⢠S:
) S = fa; bg ; ¡) S = fa; abg :
13.15.•®áâநâì £à ä Ší«¨ £à㯯ë S4 ®â-®á¨â¥«ì-® ¯®à®¦- ¤ î饣® ¬-®¦¥á⢠âà -ᯮ§¨æ¨© T = f(12); (23); (34)g.
13.16.•®ª § âì, çâ® £à ä Ší«¨ £à㯯ë Z11 ®â-®á¨â¥«ì-® ¯®- ஦¤ î饣® ¬-®¦¥á⢠S = f3; 5g ï¥âáï ¯«®áª¨¬.
24
—€‘’œ II. „®¯®«-¨â¥«ì-ë¥ § ¤ ç¨
x 14. ‘¥¬¥©á⢠¬-®¦¥áâ¢
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 14.1. Œ-®¦¥á⢮ ¢á¥å ¯®¤¬-®¦¥á⢠¬-®- ¦¥á⢠M - §ë¢ ¥âáï ¡ã«¥ -®¬ ¨ ®¡®§- ç ¥âáï ç¥à¥§ 2M . ‹î-
¡®¥ ¯®¤¬-®¦¥á⢮ ¡ã«¥ - 2M ¡ã¤¥¬ - §ë¢ âì ᥬ¥©á⢮¬
¯®¤¬-®¦¥á⢠¨§ M. ¡M¢
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 14.2. —¥à¥§ k , £¤¥ k 2 N, ¡ã¤¥¬ ®¡®§- - ç âì ¬-®¦¥á⢮ ¢á¥å k-í«¥¬¥-â-ëå ¯®¤¬-®¦¥á⢠¨§ M.
‡ ¤ ç¨
14.1. „®ª § âì, çâ® ¤«ï «î¡®£® ª®-¥ç-®£® ¬-®¦¥á⢠M á¯à - ¢¥¤«¨¢® à ¢¥-á⢮
j2M j = 2jMj:
14.2. „®ª § âì, çâ® ¤«ï «î¡®£® ª®-¥ç-®£® ¬-®¦¥á⢠M á¯à -
¢¥¤«¨¢® à ¢¥-á⢮ µ ¶
jMj ; k
£¤¥ 1 6 k 6 M. |
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®¡®§- ç ¥âáï ç¨á«® m! |
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M - §ë¢ ¥âáï ¯®ªàë- |
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⨥¬ ¬-®¦¥á⢠|
M, ¥á«¨ «î¡®© í«¥¬¥-â ¨§ M ¯à¨- ¤«¥¦¨â |
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å®âï ¡ë ®¤-®¬ã X ¨§ L, â.¥. |
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M = X:
x2L
•®ªàë⨥ L - §ë¢ ¥âáï à §¡¨¥-¨¥¬ ¬-®¦¥á⢠M, ¥á«¨ í«¥- ¬¥-âë ¯®ªàëâ¨ï L ¯®¯ à-® -¥ ¯¥à¥á¥ª îâáï, â.¥. ¤«ï «î¡ëå
X; Y 2 L
X \ Y =6 ? ) X = Y:
25
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 14.4 (•à®áâà -á⢠¯àï¬ëå). •ãáâì M
| -¥¯ãá⮥ ¬-®¦¥á⢮, í«¥¬¥-âë ª®â®à®£® ¬ë ¡ã¤¥¬ ¢ ¤ «ì- -¥©è¥¬ - §ë¢ âì â®çª ¬¨ ¨ L | -¥ª®â®à®¥ ᥬ¥©á⢮ ¯®¤-
¬-®¦¥á⢠¨§ M, ª®â®àë¥ ¬ë ¡ã¤¥¬ - §ë¢ âì ¯àï¬ë¬¨. Œ-®-
¦¥á⢮ M ¢¬¥á⥠á ᥬ¥©á⢮¬ L ¬ë ¡ã¤¥¬ - §ë¢ âì ¯à®áâà -- á⢮¬ ¯àï¬ëå, ¥á«¨ ¢ë¯®«-¥-ë á«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï:
1.‹î¡ë¥ ¤¢¥ â®çª¨ «¥¦ â - ¥¤¨-á⢥--®© ¯àאַ©;
2.‹î¡ ï ¯àï¬ ï ᮤ¥à¦¨â, ¯® ªà ©-¥© ¬¥à¥, âਠâ®çª¨;
3.’®çª¨ ¨§ M -¥ ª®««¨-¥ à-ë, â.¥. -¥ «¥¦ â - ®¤-®© ¯àï- ¬®©.
‡¤ ç¨
14.3.„®ª § âì, çâ® ¢ «î¡®¬ ¯à®áâà -á⢥ ¯àï¬ëå ç¥à¥§ «î- ¡ãî â®çªã ¯à®å®¤ïâ, ¯® ªà ©-¥© ¬¥à¥, âਠ¯àï¬ë¥.
14.4.„®ª § âì, çâ® ¢ «î¡®¬ ¯à®áâà -á⢥ ¯àï¬ëå - ©¤ãâáï 4 â®çª¨ â ª¨¥, çâ® -¨ª ª¨¥ âਠ¨§ -¨å -¥ «¥¦ â - ®¤-®© ¯àאַ©.
14.5.Ž¯¨á âì, á â®ç-®áâìî ¤® ®¡®§- ç¥-¨ï â®ç¥ª, ¢á¥ ¯à®- áâà -á⢠¯àï¬ëå, ᮤ¥à¦ 騥 -¥ ¡®«¥¥ 10 â®ç¥ª.
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 14.5. •à®áâà -á⢮ ¯àï¬ëå ¡ã¤¥¬ - §ë- ¢ âì ää¨--®© ¯«®áª®áâìî, ¥á«¨ ç¥à¥§ «î¡ãî â®çªã, -¥ «¥¦ - éãî - ¯àאַ©, ¯à®å®¤¨â ¥¤¨-á⢥-- ï ¯àï¬ ï, ¯ à ««¥«ì- ï ¤ --®© (â.¥. -¥ ¨¬¥îé ï á -¥© ®¡é¨å â®ç¥ª).
•à®áâà -á⢮ ¯àï¬ëå ¡ã¤¥¬ - §ë¢ âì ¯à®¥ªâ¨¢-®© ¯«®á- |
|
ª®áâìî, ¥á«¨ «î¡ë¥ ¤¢¥ ¯àï¬ë¥ ¨¬¥îâ å®âï ¡ë ®¤-ã ®¡éãî |
|
â®çªã. |
|
‡ ¤ ç¨ |
|
14.6. |
„®ª § âì, çâ® ¥á«¨ -¥ª®â®à ï ¯àï¬ ï ¢ ää¨--®© ¯«®á- |
ª®á⨠á®á⮨⠨§ n â®ç¥ª, â® |
|
) «î¡ ï ¤àã£ ï ¯àï¬ ï ᮤ¥à¦¨â ஢-® n â®ç¥ª; |
|
¡) |
ää¨-- ï ¯«®áª®áâì ᮤ¥à¦¨â ஢-® n2 â®ç¥ª. |
14.7. |
„®ª § âì, çâ® ¥á«¨ -¥ª®â®à ï ¯àï¬ ï ¢ ¯à®¥ªâ¨¢-®© |
¯«®áª®á⨠ᮤ¥à¦¨â n â®ç¥ª, â®
) «î¡ ï ¤àã£ ï ¯àï¬ ï ᮤ¥à¦¨â ஢-® n â®ç¥ª;
¡) ¯à®¥ªâ¨¢- ï ¯«®áª®áâì ᮤ¥à¦¨â ஢-® n2 ¡ n + 1 â®çªã.
26
x 15. Žâ-®è¥-¨ï
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 15.1. •ãáâì A ¨ B | ¤¢ ¬-®¦¥á⢠. •àï-
¬ë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥¬ ¬-®¦¥á⢠A ¨ B - §ë¢ ¥âáï ¬-®¦¥á⢮
¢á¥å 㯮à冷ç¥--ëå ¯ à, ¢ ª®â®àëå ¯¥à¢ë© í«¥¬¥-â ¯à¨- ¤- «¥¦¨â A, ¢â®à®© | B.
A £ B = f(a; b) j a 2 A & b 2 Bg:
‘⥯¥-ìî ¬-®¦¥á⢠A - §ë¢ ¥âáï ¥£® ¯àאַ¥ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ á ¬®£® - ᥡï.
An = A £ A £ : : : £ A = f(a1; : : : ; an) j ai 2 A; i = 1; : : : ; ng: |
||
| |
{z |
} |
n
‡ ¤ ç¨
15.1.„®ª § âì, çâ® ¤«ï «î¡ëå ª®-¥ç-ëå ¬-®¦¥á⢠A ¨ B á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥-á⢮ jA £ Bj = jAj ¢ jBj.
15.2.„®ª § âì, çâ® ¤«ï «î¡®£® ª®-¥ç-®£® ¬-®¦¥á⢠A ¨ ¯à®- ¨§¢®«ì-®£® - âãà «ì-®£® n á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥-á⢮ jAnj = jAjn.
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 15.2 (Žâ-®è¥-¨ï ý¬¥¦¤ãþ). •ãáâì A ¨ B | ¤¢ -¥¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ¬-®¦¥á⢠. ‹î¡®¥ ¯®¤¬-®¦¥á⢮ R ½ A £ B - §ë¢ ¥âáï ®â-®è¥-¨¥¬ ¬¥¦¤ã A ¨ B. ‹î¡®© í«¥¬¥-â ¨§ R - §ë¢ ¥âáï ¨-樤¥-â-®áâìî. …᫨ (a; b) 2 R, â® ¬ë ¡ã¤¥¬ £®¢®à¨âì, çâ® í«¥¬¥-âë a ¨ b ¨-樤¥-â-ë.
Žç¥¢¨¤-®, «î¡®¬ã ᥬ¥©áâ¢ã L ½ 2M ¬®¦-® ¯®áâ ¢¨âì ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ ®â-®è¥-¨¥ R ¬¥¦¤ã M ¨ L, ®¯à¥¤¥«¨¢ ¨-樤¥-â- -®áâì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: ¤«ï «î¡ëå m 2 M ¨ L 2 L
(m; L) 2 R , m 2 L:
Ž¡à â-®, ¤«ï «î¡®£® ®â-®è¥-¨ï R ½ A £ B ¬®¦-® ¯®áâநâì
ᥬ¥©á⢮ ¯®¤¬-®¦¥á⢠L ¨§ A, ®¯à¥¤¥«¨¢ ¨å á«¥¤ãî騬 ®¡- à §®¬:
(b) = fa 2 A j (a; b) 2 Rg:
…᫨ ¤«ï «î¡ëå b1, b2 2 B
(b1) = (b2) ) b1 = b2;
27
â.¥. «î¡®© í«¥¬¥-â ¨§ B ®¤-®§- ç-® ®¯à¥¤¥«ñ- ¬-®¦¥á⢮¬
¨-樤¥-â-ëå á -¨¬ í«¥¬¥-⮢ ¨§ A, â® ¤ --®¥ ®â-®è¥-¨¥ ¢®á-
áâ - ¢«¨¢ ¥âáï ®¤-®§- ç-® á â®ç-®áâìî ¤® ®¡®§- ç¥-¨ï í«¥- ¬¥-⮢ ¨§ B, ¯® á¨á⥬¥ ¯®¤¬-®¦¥á⢠L = f(b) j b 2 Bg.
€- «®£¨ç-® ¬®¦-® ¯®áâநâì ᥬ¥©á⢮ L¤ ¨§ B, ¯®« £ ï
(a) = fb 2 B j (a; b) 2 Rg:
‘¥¬¥©á⢮ L¤ = f(a) j a 2 Ag ¡ã¤¥¬ - §ë¢ âì ¤¢®©á⢥--ë¬
ªá¥¬¥©áâ¢ã L¤ = f(b) j b 2 Bg.
’ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï «î¡®£® ᥬ¥©á⢠¯®¤¬-®¦¥á⢠L ¨§ 2M ¬®¦-® ®¯à¥¤¥«¨âì ¤¢®©á⢥--®¥ ᥬ¥©á⢮ ¯®¤¬-®¦¥áâ¢
L¤ ½ 2L, ¢ ª®â®à®¬ í«¥¬¥-âã m 2 M áâ ¢ïâ ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ ¬-®¦¥á⢮ í«¥¬¥-⮢ ¨§ L, ᮤ¥à¦ é¨å m.
‡ ¤ ç¨ 15.3. „®ª § âì, çâ® ¯à®áâà -á⢮ ¯àï¬ëå ï¥âáï ¯à®¥ªâ¨¢-
-®© ¯«®áª®áâìî ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¤¢®©á⢥-- ï á¨á- ⥬ ¯®¤¬-®¦¥á⢠®¡à §ã¥â â ª¦¥ ¯à®áâà -á⢮ ¯àï¬ëå.
15.4. •ãáâì M | ¬-®¦¥á⢮, í«¥¬¥-âë ª®â®à®£® ¡ã¤¥¬ - §ë- ¢ âì â®çª ¬¨, ¨ L | ᥬ¥©á⢮ ¯®¤¬-®¦¥á⢠¨§ M, ª®â®àë¥
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X |
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28
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fRa j a 2 Ag ¨ fRb j b 2 Bg
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XX
jRj = jRaj = jRbj;
a2A |
b2B |
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Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 15.3 (Žâ-®è¥-¨ï ý- þ). •ãáâì M | ¯à®¨§¢®«ì-®© ¬-®¦¥á⢮. ‹î¡®¥ ¯®¤¬-®¦¥á⢮ R ½ M £ M
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¢ îâáï ¢¥àè¨- ¬¨ ®à£à ä , 㯮à冷ç¥--ë¥ ¯ àë (a; b) 2 R | àñ¡à ¬¨ ®à£à ä , a | - ç «®¬ ¨ b | ª®-殬 í⮣® ॡà .
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indeg(a) ¡ã¤¥¬ ®¡®§- ç âì ç¨á«® àñ¡¥à £à ä |
¡ á ª®-殬 ¢ ¢¥à- |
è¨-¥ a, ç¥à¥§ outdeg(a) ¡ã¤¥¬ ®¡®§- ç âì ç¨á«® àñ¡¥à £à ä ¡ á - ç «®¬ ¢ ¢¥àè¨-¥ a. —¨á«® indeg(a) ¡ã¤¥¬ - §ë¢ âì áâ¥- ¯¥-ìî ¢å®¤ ¢¥àè¨-ë a, ç¨á«® outdeg(a) | á⥯¥-ìî ¢ë室 .
’¥®à¥¬ (® ¤¢®©-®¬ ¯®¤áçñ⥠àñ¡¥à). |
|
X |
X |
jRj = |
indeg(a) = outdeg(a): |
a2M |
a2M |
29
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®à£à ä¥ ®ç¥-ì ¬-®£®. ‚ ¤ «ì-¥©è¥¬ ç áâ® ¡ã¤ãâ ¢®§-¨ª âì |
||||||
¤¢ |
â ª¨å ®â-®è¥-¨ï: ®â-®è¥-¨¥ íª¢¨¢ «¥-â-®á⨠¨ ®â-®è¥- |
|||||
-¨¥ ¯®à浪 - ¬-®¦¥á⢥. „«ï ®¯à¥¤¥«¥-¨ï íâ¨å ¤¢ãå ®â-®- |
||||||
è¥-¨© - ¬ ¯®âॡã¥âáï àï¤ ¤®¯®«-¨â¥«ì-ëå â¥à¬¨-®¢. |
||||||
|
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 15.4 (‘¢®©á⢠|
®â-®è¥-¨©). •ãáâì R ½ |
||||
½ M £ M. ’®£¤ ®â-®è¥-¨¥ R - §ë¢ ¥âáï |
|
|
||||
1) |
à¥ä«¥ªá¨¢-ë¬, ¥á«¨ 8 a 2 M |
(a; a) 2 R, |
|
|
||
2) |
ᨬ¬¥âà¨ç-ë¬, ¥á«¨ 8 a; b 2 M |
(a; b) 2 R ) (b; a) 2 R, |
||||
3) |
-â¨á¨¬¬¥âà¨ç-ë¬, ¥á«¨ |
8 a; b |
2 |
M (a; b) |
2 |
R & |
|
& (b; a) 2 R ) a = b, |
|
|
(a; b) 2 R |
& |
(b; c) 2 |
4) |
âà -§¨â¨¢-ë¬, ¥á«¨ 8 a; b; c 2 M |
|||||
|
2 R ) (a; c) 2 R. |
|
|
|
|
|
|
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥ 15.5 (•ª¢¨¢ «¥-â-®áâì). •¥ä«¥ªá¨¢-®¥ |
|||||
ᨬ¬¥âà¨ç-®¥ âà -§¨â¨¢-®¥ ®â-®è¥-¨¥ - §ë¢ ¥âáï |
®â-®è¥- |
|||||
-¨¥¬ íª¢¨¢ «¥-â-®áâ¨. …᫨ R | ®â-®è¥-¨¥ íª¢¨¢ «¥-â-
-®á⨠- ¬-®¦¥á⢥ M, â®, ®¡ëç-®, ¢¬¥áâ® (a; b) 2 R ¨á¯®«ì- §ã¥âáï ¤à㣮¥ ®¡®§- ç¥-¨¥ a ´ b ¨«¨ a ¼ b ¨ £®¢®àïâ, çâ® í«¥- ¬¥-âë a ¨ b íª¢¨¢ «¥-â-ë.
Œ-®¦¥á⢮ ¢á¥å í«¥¬¥-⮢ ¨§ M, íª¢¨¢ «¥-â-ëå í«¥¬¥-âã a, - §ë¢ ¥âáï ª« áᮬ íª¢¨¢ «¥-â-®áâ¨, ᮤ¥à¦ 騬 í«¥- ¬¥-â a. Ž¡®§- ç¥-¨¥:
(a) = fb 2 M j (a; b) 2 Rg:
ˆ§ ᢮©á⢠®â-®è¥-¨© íª¢¨¢ «¥-â-®á⨠᫥¤ã¥â 1) a 2 (a).
‚ ç áâ-®áâ¨, ¢á¥ ª« ááë íª¢¨¢ «¥-â-®á⨠®¡à §ãîâ ¯®ªàë- ⨥ ¬-®¦¥á⢠M;
2) (a) \ (b) =6 ? ) (a) = (b).
’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ᥬ¥©á⢮ ¢á¥å ª« áᮢ | à §¡¨¥-¨¥ M. Ž¡- à â-®, ¥á«¨ L | -¥ª®â®à®¥ à §¡¨¥-¨¥ ¬-®¦¥á⢠M, â®, ¯®« - £ ï (a; b) 2 R , 9 L 2 L: a 2 L & b 2 L, ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ®â-®è¥-¨¥ íª¢¨¢ «¥-â-®á⨠R - M. ‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, ¯®-ï⨥
30