zadachnik_po_teorii_grupp

5.6. • ©â¨ ¬®é-®á⨠¢á¥å ª« áᮢ ᮯà殮--ëå í«¥¬¥-⮢ ¢

S5.

5.7.• ©â¨ ç¨á«® ª« áᮢ ᮯà殮--ëå í«¥¬¥-⮢ ¢ S6.

5.8.„®ª § âì, çâ® £à㯯 ¯®à浪 15 ¡¥«¥¢ .

5.9.„®ª § âì, çâ® ¢ S5 -¥â ¯®¤£à㯯 ¯®à浪 15.

5.10.•ãáâì jGj = pn, £¤¥ p | ¯à®á⮥ ¨ n > 0. „®ª § âì, çâ®

Z(G) 6= 1.

5.11. • ©â¨ ¢á¥ à¥è¥-¨ï ¢ - âãà «ì-ëå ç¨á« å ãà ¢-¥-¨ï ª« áᮢ ¤«ï m = 1; 2; 3:

5.12.Ž¯¨á âì ¢á¥ ª®-¥ç-ë¥ £à㯯ë, ¨¬¥î騥 -¥ ¡®«¥¥ âà¥å ª« áᮢ ᮯà殮--ëå í«¥¬¥-⮢.

5.13.•ãáâì G | ®¡ê¥¤¨-¥-¨¥ âà¥å ᮡá⢥--ëå ¯®¤£à㯯 H1,

H2 ¨ H3. „®ª § âì:

) H1 \ H2 = H1 \ H3 = H2 \ H3; ¡) jG : Hij = 2; i = 1; 2; 3:

x 6. •®à¬ «ì-ë¥ ¯®¤£à㯯ë

6.1.„®ª § âì, çâ® ¯¥à¥á¥ç¥-¨¥ -®à¬ «ì-ëå ¯®¤£à㯯 | -®à- ¬ «ì- ï ¯®¤£à㯯 .

6.2.„®ª § âì, çâ® «î¡®© ª« áá ᮯà殮--ëå í«¥¬¥-⮢ ¯®- ஦¤ ¥â -®à¬ «ì-ãî ¯®¤£à㯯ã.

6.3.•ãáâì H ¨ K | -®à¬ «ì-ë¥ ¢ G ¯®¤£à㯯ë. „®ª § âì, çâ® ¬-®¦¥á⢮

HK = fxy j x 2 H; y 2 Kg

ï¥âáï -®à¬ «ì-®© ¯®¤£à㯯®© ¢ G.

6.7. •ãáâì H C Sn ¨ n > 5. „®ª § âì, çâ® H = 1, H = An ¨«¨

H = Sn.

11

6.8.• ©â¨ ¢á¥ -®à¬ «ì-ë¥ ¯®¤£àã¯¯ë ¢ Sn ¤«ï n 6 4.

6.9.„®ª § âì, çâ® Z(Sn) = 1 ¤«ï n > 3.

x 7. ” ªâ®à£à㯯ë, ¬®à䨧¬ë, ⥮६ë

®¡ ¨§®¬®à䨧¬ å, ¯àï¬ë¥ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨ï

7.5.„®ª § âì, çâ® £à㯯 ¢à é¥-¨© ªã¡ ¨§®¬®àä- S4, £à㯯 ¢á¥å ᨬ¬¥â਩ ªã¡ ¨§®¬®àä- Z2 £ S4.

7.6.„®ª § âì, çâ® £à㯯 ¢à é¥-¨© ¯à ¢¨«ì-®£® â¥âà í¤à ¨§®¬®àä- A4, £à㯯 ¢á¥å ᨬ¬¥â਩ â¥âà í¤à ¨§®¬®àä-

S4.

7.7. „®ª § âì, çâ® £à㯯 ᨬ¬¥â਩ ªã¡ ¨§®¬®àä- £à㯯¥ ᨬ¬¥â਩ ¯à ¢¨«ì-®£® ®ªâ í¤à .

12

7.11.„®ª § âì, çâ® æ¥-âà ¯àאַ£® ¯à®¨§¢¥¤¥-¨ï £à㯯 ᮢ¯ - ¤ ¥â á ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥¬ æ¥-â஢ ª®®à¤¨- â-ëå ¯®¤£à㯯.

7.12.•ãáâì p | ¯à®á⮥ ç¨á«®. ƒà㯯 G - §ë¢ ¥âáï í«¥¬¥-- â à-®© ¡¥«¥¢®© p-£à㯯®©, ¥á«¨ ®- , ¢®-¯¥à¢ëå, ¡¥«¥¢ , ¨,

¢®-¢â®àëå, ¤«ï «î¡®£® x 2 G xp = 1.

„®ª § âì, çâ® G ¥áâì ª®-¥ç- ï í«¥¬¥-â à- ï ¡¥«¥¢ p-

7.16. •ãáâì f : G ! H | £®¬®¬®à䨧¬. „®ª § âì:

1)®¡à § «î¡®© ¯®¤£àã¯¯ë ¨§ G ¥áâì ¯®¤£à㯯 ¢ H;

2)®¡à § «î¡®© -®à¬ «ì-®© ¯®¤£àã¯¯ë ¨§ G ¥áâì -®à¬ «ì- - ï ¯®¤£à㯯 ¢ f(G);

3)¯®«-ë© ¯à®®¡à § «î¡®© ¯®¤£àã¯¯ë ¨§ f(G) ¥áâì ¯®¤- £à㯯 ¢ G;

4)¯®«-ë© ¯à®®¡à § «î¡®© -®à¬ «ì-®© ¯®¤£àã¯¯ë ¨§ f(G) ¥áâì -®à¬ «ì- ï ¯®¤£à㯯 ¢ G;

5)®¡à § «î¡®© 横«¨ç¥áª®© ¯®¤£àã¯¯ë ¨§ G ¥áâì 横«¨ç¥á- ª ï £à㯯 ;

6)®¡à § ¡¥«¥¢®© ¯®¤£àã¯¯ë ¨§ G ¥áâì ¡¥«¥¢ £à㯯 .

13

7.17. •®¯ëâ âìáï á ¬®áâ®ï⥫ì-® ¤®ª § âì ¢â®àãî ¨ âà¥âìî â¥®à¥¬ë ®¡ ¨§®¬®à䨧¬ å.

7.18. •ãáâì G | ¡¥«¥¢ £à㯯 ¨ n 2 Z. „®ª § âì, çâ® ®â®- ¡à ¦¥-¨¥ f : G ! G, ®¯à¥¤¥«¥--®¥ ¯® ¯à ¢¨«ã

f(x) = xn;

¥áâì í-¤®¬®à䨧¬ £à㯯ë G.

7.19. •ãáâì G | ¯à®¨§¢®«ì- ï £à㯯 ¨ g 2 G. „®ª § âì, çâ® ®â®¡à ¦¥-¨¥ f : G ! G, ®¯à¥¤¥«¥--®¥ ¯® ¯à ¢¨«ã

f(x) = g¡1xg;

¥áâì ¢â®¬®à䨧¬ £à㯯ë G.

‡ ¬¥ç -¨¥. •â®â ¢â®¬®à䨧¬ - §ë¢ ¥âáï ¢-ãâà¥--¨¬. 7.20. •ãáâì G | ¯à®¨§¢®«ì- ï £à㯯 ¨ g 2 G. „®¯ãá⨬, çâ®

gZ(G) 2 Z(G=Z(G)). „®ª § âì, çâ® ®â®¡à ¦¥-¨¥ f : G ! G, ®¯à¥¤¥«¥--®¥ ¯® ¯à ¢¨«ã

f(x) = x¡1g¡1xg;

¥áâì í-¤®¬®à䨧¬ £à㯯ë G. • ©â¨ Ker f.

x 8. „¥©á⢨¥ £à㯯ë. Žà¡¨âë ¨ áâ ¡¨«¨§ â®àë

8.1. Ž¡êïá-¨âì, ¯®ç¥¬ã ¬ë -¥ ¬®¦¥¬ ®¯à¥¤x¥«¨âì ¤¥©á⢨¥ £à㯯ë G - ᥡ¥ «¥¢ë¬ ᤢ¨£®¬, ¯®« £ ï a = xa. •®ª -

§ âì, ª ª ¬®¦-® ®¯à¥¤¥«¨âì ¤¥©á⢨¥ G ᤢ¨£®¬ - ¬-®¦¥á⢥ «¥¢ëå ᬥ¦-ëå ª« áᮢ faH j a 2 Gg ¯®¤£à㯯ë G.

8.3. •ãáâì £à㯯 G ¤¥©áâ¢ã¥â âà -§¨â¨¢-® - -. „®ª § âì,

çâ® áâ ¡¨«¨§ â®àë G® â®ç¥ª ® 2 - ®¡à §ãîâ ª« áá ᮯà殮-- -ëå ¢ G ¯®¤£à㯯 ¨ jG : G®j = j-j ¤«ï «î¡®£® ® 2 -.

14

¯®¤£à㯯 , â® H 6 NG(H).

8.5. •ãáâì H 6 G. „®ª § âì, çâ® ç¨á«® ᮯà殮--ëå á H

x2G

é ïáï ¢ H;

2)¨-¤¥ªá jG : Kj ï¥âáï ¤¥«¨â¥«¥¬ n!;

3)K ᮢ¯ ¤ ¥â á ï¤à®¬ ¤¥©áâ¢¨ï £à㯯ë G ᤢ¨£®¬ - ¯à - ¢ëå ᬥ¦-ëå ª« áá å ¯®¤£à㯯ë H.

8.7.•ãáâì p | ¬¨-¨¬ «ì-®¥ ¯à®á⮥ ç¨á«®, ¤¥«ï饥 ¯®à冷ª

G. „®ª § âì, çâ® «î¡ ï ¯®¤£à㯯 ¨-¤¥ªá p ¨§ G ï¥âáï -®à¬ «ì-®©. ‚ ç áâ-®áâ¨, ¥á«¨ jGj = pn, â® «î¡ ï ¯®¤£à㯯

¨-¤¥ªá p -®à¬ «ì- .

8.8. •ãáâì H < G ¨ jGj = pn, p | ¯à®á⮥. „®ª § âì, çâ®

H < NG(H). ‚ ç áâ-®áâ¨, ª ¦¤ ï ¬ ªá¨¬ «ì- ï ¯®¤£à㯯 ¨§ G ï¥âáï -®à¬ «ì-®© ¨ ¥ñ ¨-¤¥ªá à ¢¥- p.

8.9. •ãáâì jGj = pn, p | ¯à®á⮥. „®ª § âì, çâ® ¤«ï «î¡®£® ¤¥«¨â¥«ï m ¯®à浪 G - ©¤¥âáï ¯®¤£à㯯 ¯®à浪 m.

8.10. –¥-âà «¨§ â®à®¬ ¯®¤¬-®¦¥á⢠M ¨§ £à㯯ë G - §ë- ¢ ¥âáï ¬-®¦¥á⢮

CG(M) = fx 2 G j xm = mx ¤«ï «î¡®£® m 2 Mg :

„®ª § âì, çâ® CG(M) | ¯®¤£à㯯 ¢ G ¨ CG(M) 6 NG(M). 8.11. •ãáâì a 2 G. „®ª § âì:

CG(aG) = \ x¡1CG(a)x:

x2G

8.12. „®ª § âì, çâ® ï¤à® ¤¥©á⢨ï ᮯà殮-¨¥¬ £à㯯ë G - ª« áᥠaG ᮯà殮--ëå á a í«¥¬¥-⮢ ᮢ¯ ¤ ¥â á æ¥-âà «¨- § â®à®¬ CG(aG).

8.13. •ãáâì - | G-¯à®áâà -á⢮ ¨ g; h 2 G. „®ª § âì:

15

1) Supp(gh) = (Supp(g))h; 2) Fix(gh) = (Fix(g))h.

8.14. „®ª § âì, çâ® £à㯯 ¯®à浪 4n + 2 ¨¬¥¥â ¯®¤£à㯯ã

¨-¤¥ªá 2.

8.15. „®ª § âì, çâ® S6 -¥ ¨¬¥¥â ¯®¤£à㯯 ¯®à浪®¢ 30 ¨ 40.

8.16. „®ª § âì, çâ® ¤¥©á⢨¥ £à㯯ë ᨬ¬¥â਩ ªã¡ - ¬-®- ¦¥á⢥ ¥£® è¥á⨠£à -¥© âà -§¨â¨¢-®. ‚뢥á⨠®âáî¤ , çâ® £à㯯 ᨬ¬¥â਩ ªã¡ ¨¬¥¥â ¯®¤£à㯯㠨-¤¥ªá 6.

8.17. •ãáâì GA | áâ ¡¨«¨§ â®à ¢¥àè¨-ë A ¢ £à㯯¥ ᨬ¬¥â- ਩ ªã¡ . • ©â¨ ¢á¥ ®à¡¨âë £à㯯ë GA - ¬-®¦¥á⢥ ॡ¥à

¯¥à¥áâ -®¢®ª ¯¥à¥¬¥--ëå. ‚뢥á⨠®âáî¤ , çâ® íâ® ç¨á«® -¥ ¬®¦¥â ¡ëâì à ¢-® 8, 4 ¨«¨ 3, ¥á«¨ f | ¬-®£®ç«¥- á 5 ¯¥à¥¬¥--

-묨.

x 9. • áªà 訢 -¨¥ £à㯯®¢ëå ¯à®áâà -áâ¢

ƒà㯯®¢ ï ä®à¬ã«¨à®¢ª § ¤ ç¨. „«ï ¤ --®£® G-

¬¥-âë ¨§ ©, â. ¥. ®â®¡à ¦¥-¨ï ¬-®¦¥á⢠- ¢ ¬-®¦¥á⢮ 梥- ⮢ C, - §ë¢ ¥âáï à áªà ᪮© -. „¢¥ à áªà ᪨ - §ë¢ îâáï ®¤¨- ª®¢ë¬¨, ¥á«¨ ®-¨ «¥¦ â ¢ ®¤-®© ®à¡¨â¥ ¤¥©á⢨ï G - ©.

—¨á«® à §«¨ç-ëå à áªà ᮪ G-¯à®áâà -á⢠- ¬®¦-® ¢ë-

16

cyc(x) | ç¨á«® 横«®¢ ¯®¤áâ -®¢ª¨, ¨-¤ãæ¨à㥬®© ¤¥©áâ- ¢¨¥¬ x - -.

• àï¤ã á ®á-®¢-®© ä®à¬ã«®© ¨á¯®«ì§ã¥âáï ã¯à®é¥-- ï ä®à¬ã« , ¢ë⥪ îé ï ¨§ ®á-®¢-®©:

“¯à®é¥-- ï ä®à¬ã«

Xm qcyc(xi)

n = i=1 jCG(xi)j ;

£¤¥ x1; : : : ; xm | ¯à¥¤áâ ¢¨â¥«¨ ¢á¥å ª« áᮢ ᮯà殮--ëå í«¥- ¬¥-⮢ ¢ £à㯯¥ G.

Šà®¬¥ ®á-®¢-®© ¨ ã¯à®é¥--®© ä®à¬ã« áãé¥áâ¢ã¥â ¥éñ -¥- ᪮«ìª® ä®à¬ã«, 㬥-ìè îé¨å ®¡ê¥¬ ¢ëç¨á«¥-¨©. ‚ᥠí⨠ä®à¬ã«ë ¯®«ãç îâáï ¨§ ®á-®¢-®© ä®à¬ã«ë á ¯®¬®éìî á«¥- ¤ãîé¨å á®®¡à ¦¥-¨©: ¥á«¨ ¯®¤áâ -®¢ª¨ a ¨ b ¬-®¦¥á⢠-

ᮯà殮-ë ¢ Sym(-), â® cyc(a) = cyc(b). ‚ ç áâ-®áâ¨, ¥á«¨ í«¥¬¥-âë x ¨ y ¨§ G ᮯà殮-ë ¢ G, â® cyc(x) = cyc(y), çâ® ¨

9.2. • ©â¨ ç¨á«® à §«¨ç-ëå ®¦¥à¥«¨©, ᤥ« --ëå ¨§ m ¡ãá¨- -®ª ¤¢ãå 梥⮢, ¤«ï m 2 f6; 7; 8; 9g (á¬. à¨á. 2).

17

‡ ¬¥ç -¨¥. „¢ ®¦¥à¥«ìï áç¨â îâáï ®¤¨- ª®¢ë¬¨, ¥á«¨ ¨§ -¨å ®¤-® ¬®¦-® ¯®«ãç¨âì ¨§ ¤à㣮£® á ¯®¬®éìî ¢à é¥-¨ï ¨ ¯¥à¥¢®à 稢 -¨ï.

9.3. •®¤áç¨â âì ç¨á«® à §«¨ç-ëå 01-á«®¢ ¤«¨-ë p2 ¨«¨ pq, £¤¥ p ¨ q | à §«¨ç-ë¥ ¯à®áâë¥ ç¨á« , áç¨â ï ¤¢ á«®¢ ®¤¨- ª®-

¢ë¬¨, ¥á«¨ ®¤-® ¨§ -¨å ¬®¦-® ¯®«ãç¨âì ¨§ ¤à㣮£® á ¯®¬®éìî 横«¨ç¥áª®£® ᤢ¨£ .

9.4. • ©â¨ ç¨á«® à §«¨ç-ëå à áªà ᮪ ª«¥â®ª ª¢ ¤à â 3 £ 3

(á¬. à¨á. 3) ¢ ¤¢ 梥â , áç¨â ï ¤¢¥ à áªà ᪨ ®¤¨- ª®¢ë¬¨, ¥á«¨ ®¤-ã ¨§ -¨å ¬®¦-® ¯®«ãç¨âì ¨§ ¤à㣮© á ¯®¬®éìî

) ¯¥à¥áâ -®¢ª¨ áâப ¨ á⮫¡æ®¢±ª¢, ¤à â , ¡) ¯®¢®à®â®¢ ª¢ ¤à â - 㣮« 90

9.5. • ©â¨ ç¨á«® à §«¨ç-ëå 01-¬ âà¨æ à §¬¥à®¢ 2 £ 3, 2 £

£ 4, 3 £ 4, áç¨â ï ¤¢¥ ¬ âà¨æë ®¤¨- ª®¢ë¬¨, ¥á«¨ ®¤-ã ¨§ -¨å ¬®¦-® ¯®«ãç¨âì ¨§ ¤à㣮© á ¯®¬®éìî ¯¥à¥áâ -®¢ª¨ áâப ¨

18

9.9. • ©â¨ ç¨á«® à §«¨ç-ëå à áªà ᮪ ॡ¥à £à 䮢 ¨§ § ¤ ç¨ 119 ¢ ¤¢ 梥â .

x 10. ’¥®à¥¬ë ‘¨«®¢

10.1.„®ª § âì, çâ® «î¡ ï ᨫ®¢áª ï p-¯®¤£à㯯 ¯àאַ£® ¯à®¨§¢¥¤¥-¨ï ª®-¥ç-ëå £à㯯 A ¨ B ï¥âáï ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥¬ ᨫ®¢áª¨å p-¯®¤£à㯯 ᮬ-®¦¨â¥«¥© A ¨ B.

10.2.•ãáâì G | ª®-¥ç- ï £à㯯 , P | ᨫ®¢áª ï p-¯®¤£à㯯 £à㯯ë G ¨ H C G. „®ª § âì, çâ® H \ P | ᨫ®¢áª ï p- ¯®¤£à㯯 £à㯯ë H ¨ HP=H | ᨫ®¢áª ï p-¯®¤£à㯯 ä ª- â®à£à㯯ë G=H.

10.3.„®ª § âì, çâ® ª®-¥ç- ï £à㯯 G ¯®à®¦¤ ¥âáï ᢮¨¬¨ ᨫ®¢áª¨¬¨ p-¯®¤£à㯯 ¬¨, ¢§ïâ묨 ¯® ®¤-®¬ã íª§¥¬¯«ïàã ¤«ï ª ¦¤®£® ¯à®á⮣® ¤¥«¨â¥«ï p ¯®à浪 £à㯯ë G.

£à㯯ë, ¡) ª®-¥ç- ï ¡¥«¥¢ £à㯯 ¥áâì ¯àאַ¥ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ ¢á¥å

᢮¨å ᨫ®¢áª¨å ¯®¤£à㯯,

19

¢) ¥á«¨ ª®-¥ç- ï £à㯯 G ¨¬¥¥â ¥¤¨-á⢥--ãî ᨫ®¢áªãî p-¯®¤£à㯯㠤«ï ª ¦¤®£® ¯à®á⮣® ¤¥«¨â¥«ï p ¯®à浪 G, â® G ¥áâì ¯àאַ¥ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ ᢮¨å ᨫ®¢áª¨å ¯®¤£à㯯.

10.7. „®ª § âì, ç⮠稫® à §«¨ç-ëå ᨫ®¢áª¨å 2-¯®¤£à㯯 ¢ A5 à ¢-® 5.

10.8. • ©â¨ ç¨á«® ᨫ®¢áª¨å p-¯®¤£à㯯 ¢ A5 ¤«ï p = 3 ¨ p =

= 5.

10.9. • ©â¨ ¢á¥ ᨫ®¢áª¨¥ p-¯®¤£à㯯ë (p = 2; 3) ¢ £à㯯 å

S3 ¨ A4.

10.10. ‚ ᪮«ìª¨å ᨫ®¢áª¨å 2-¯®¤£à㯯 å £à㯯ë S4 ᮤ¥à-

10.11.•ãáâì g = (1 2 3 4 5), P = hgi 6 S5, G = S5 ¨ N = NG(P ).

•®ª § âì, çâ® jNj = 20 ¨ N = hg; ai, £¤¥ a = (2 3 5 4).

10.12.„®ª § âì, çâ® «î¡ ï £à㯯 ¯®à浪 15, 35, 175, 185, 99, 255 ï¥âáï ¡¥«¥¢®©.

10.13.„®ª § âì, çâ® «î¡ ï ᨫ®¢áª ï 2-¯®¤£à㯯 £à㯯ë S4

¨§®¬®àä- £à㯯¥ ¤¨í¤à D8 (â. ¥. ¯®à®¦¤ ¥âáï ¤¢ã¬ï ¨-¢®-

«îæ¨ï¬¨ ¨ ¨¬¥¥â ¯®à冷ª 8).

10.14. „®ª § âì, ç⮠ᨫ®¢áª ï 2-¯®¤£à㯯 S5 ¨§®¬®àä- D8. 10.15. „®ª § âì, ç⮠ᨫ®¢áª ï 2-¯®¤£à㯯 S6 ¨§®¬®àä-

D8 £ Z2.

10.16.„®ª § âì, çâ® ¢ Sn, n 6 7, -¥â ¯®¤£à㯯 ¯®à浪 15. •®ª § âì, çâ® S8 ᮤ¥à¦¨â ¯®¤£à㯯㠯®à浪 15.

10.17.(€à£ã¬¥-â ”à ââ¨-¨). •ãáâì H | -®à¬ «ì- ï ¯®¤-

£à㯯 ª®-¥ç-®© £à㯯ë G ¨ P | ᨫ®¢áª ï ¯®¤£à㯯 ª®-¥ç- -®© £à㯯ë H. „®ª § âì, çâ® G = H ¢ NG(P ).

10.18. •ãáâì P | ᨫ®¢áª ï p-¯®¤£à㯯 ª®-¥ç-®© £à㯯ë G

¨ H | ¯®¤£à㯯 , ᮤ¥à¦ é ï NG(P ). „®ª § âì, çâ® H =

= NG(H).

10.19. …᫨ Q | -®à¬ «ì- ï p-¯®¤£à㯯 ª®-¥ç-®© £à㯯ë G, â® Q ᮤ¥à¦¨âáï ¢ «î¡®© ᨫ®¢áª®© p-¯®¤£à㯯¥ £à㯯ë G.

10.20. •ãáâì ¾

P = j a 2 Zp; p | ¯à®á⮥ :

20