4

делять с использованием распределения Стьюдента. Чтобы подчеркнуть, что в этом случае коэффициент t в (22) зависит не только от доверительной вероятности Pдов , но и от числа на-

блюдений n, выражение (22) записывается в виде:

где tp,n – коэффициент, определяемый по таблицам распределе-

ния Стьюдента при выбранной доверительной вероятности для конкретного количества наблюдений n.

Распределение Стьюдента также табулировано, и значения коэффициента tp,n при выбранной доверительной вероятности для

каждого конкретного значения n можно определить по табл. П.2.4. Формулой (22) для определения границ симметричного доверительного интервала можно пользоваться при любом законе распределения случайной погрешности, если имеются таб-

лицы соответствующего закона распределения, аналогичные табл. П.2.1 и П.2.2. К сожалению, для других законов распределения (кроме нормального) такие таблицы не получили широкого применения. Но анализ интегральных кривых различных законов распределения обнаружил уникальное свойство доверительного интервала, соответствующего доверительной вероятности Pдов 0,9.

Оказалось, что для широкого класса симметричных распределений (нормального, равномерного, треугольного, трапецеидального, экспоненциального и даже ряда двухмодальных законов) с погрешностью не более 10 % границы симметричного доверительного интервала при Pдов 0,9 равны ±1,6 [8].

Поэтому ГОСТ 11.001–73 предписывает при отсутствии дан-

ных о виде закона распределения определять симметричный до-

верительный интервал только при Pдов 0,9, пользуясь соотношением: XPдов 1,6SX .

41

дующем. После определения X и SX для некоторого результата

Xk , который резко выделяется из общей совокупности обрабаты-

ваемых результатов, определяют величину нормированного от-

Задав уровень доверительной вероятности Pдов по табл. П.2.3

для числа n, соответствующего обрабатываемой выборке, находят допустимое нормированноеотклонение βг .

Если βг βг , то результат Xk можно отбросить. В про-

тивном случае результат должен быть оставлен.

Если после исключения Xk вызывает сомнение какой-

либо другой результат, то указанный порядок действий (определение X ; SX и β*г ) повторяют, но уже не учитывая исклю-

ченный результат Xk .

Если обрабатываемая выборка содержит большое количество результатов (n > 20), когда при определении границ доверительного интервала используются табличные значения интеграла вероятности (табл. П.2.1), то критерием для определения результатов, содержащих грубые погрешности, мо-

жет быть, например, критерий βг βг , т. е. за границы допускаемых нормированных отклонений случайной погрешности в этом случае принимаются границы максимальной случайной погрешности. Доверительная вероятность, при которой осуществляется исключение грубых погрешностей, в этом случае Pдов 0,977.

Следует подчеркнуть, что если нет достаточных основа-

ний считать обрабатываемую совокупность результатов нормально распределенной, то описанный критерий обнаружения грубых погрешностей применять нельзя. Если о виде распреде-

43

ления опытных данных заранее ничего определенного сказать нельзя, то прежде чем исключать грубые погрешности, опреде-

лять SX и XPдов , необходимо проверить гипотезу о принад-

лежности группы экспериментальных данных нормальному распределению. Проверить гипотезу о том, что распределение опытных данных не противоречит некоторому теоретическому закону, можно по ряду критериев. Но следует иметь в виду, что при n<10 проверить гипотезу о виде распределения экспериментальных данных невозможно. При условии 10 n 50 проверка гипотезы затруднена, в этом случае пользуются, как правило, составным критерием [5]. При достаточно большом числе данных (n 50) лучшим критерием проверки гипотезы о виде распределения является критерий χ2 (или критерий согласия К. Пирсона) [5, 6].

Критерий Пирсона используется для проверки согласия распределения предварительно сгруппированных по интервалам опытных данных теоретическому распределению. Идея метода состоит в контроле отклонения гистограммы опытных данных от гистограммы с таким же числом интервалов, построенной на основе теоретического распределения. Мерой расхождения служит сумма квадратов разностей экспериментального количества результатов, попавших в соответствующий интервал, и ко-

личества результатов, которые теоретически должны попа-

дать в этот интервал. Сумма квадратов разностей ( 2 ) не долж-

на выходить за границы ( 2н; 2в ),определенные по таблицам 2 – распределения при заданном уровне доверительной вероятности (или уровне значимости g 1 Pдов ). Положительный ответ, по-

лученный при использовании критерия согласия 2 , следует трактовать так, что распределение опытных данных не про-

тиворечит теоретическому (на соответствие которому проверялось).

44

Но это не означает, что оно полностью соответствует теоретическому распределению. При определенной доверительной вероятности критерий может дать положительный результат и для некоторого другого теоретического закона распределения. Однозначным ответом является лишь отрицательный результат применения критерия 2 , который трактуется так: распределение опытных данных не соответствует теоретическому, на соответствие которому проверялось. Таким образом, при использовании критерия согласия Пирсона следует помнить следующее: критерий 2 позволяет проверить соответствие опытных данных любому (выбранному заранее по каким-либо признакам) теоретическому распределению,

а не только нормальному.

Однако этот критерий (как, впрочем, и другие критерии согласия) не позволяет однозначно установить вид распределения этих данных.

Вопросы для самоконтроля

1.В каком виде может быть представлен закон распределения случайной погрешности? Какие виды законов распределения вам известны?

2.Что понимается под термином «числовые характеристики случайной погрешности»? Назовите известные вам числовые характеристики. Какие из них наиболее часто используются в практике измерений?

3.Что такое нормированный нормальный закон распределения?

4.Для чего нормируют закон распределения? Что понимается под термином «нормированная величина случайной погрешности»?

5.Что понимается под предельной случайной погрешностью при нормальном распределении и при других законах распределения?

45

6.Какова связь между предельной случайной погрешностью и СКП?

7.Что обозначают символы X ,SX и SX ? Существует

ли связь между ними?

8.Дайте определение понятиям «доверительный интервал» и «доверительная вероятность». Какая величина доверительной вероятности соответствует интервалу предельной случайной погрешности при нормальном распределении?

9.Можно ли определить доверительный интервал для случайной погрешности при неизвестном законе распределе-

ния, если оценка СКП SX известна?

10. Доверительный интервал случайной погрешности результата вычисляется по одной из следующих формул:

О чем говорит первая и вторая форма записи? Одинаковый ли этот интервал в первом и во втором случаях, если доверительная вероятность Pдов в обоих случаях одинакова?

11.Что означают термины «теоретически допускаемое максимальное по модулю нормированное отклонение» и «максимальное по модулю нормированное отклонение»? Как определяются и для чего используются эти величины?

12.Какая форма представления результата (с использованием точечных или интервальных оценок случайной погрешности) предпочтительна и почему?

Примеры решения задач по теме «Случайные погрешности»

Задача № 1 Условие задачи

Случайная погрешность измерения напряжения распределена по нормальному закону. При обработке результатов измерений получены следующие оценки погрешностей: системати-

46

ческая погрешность Uст 10 мВ; оценка СКП SU 20 мВ.

Определить вероятность того, что результат измерения отличается от истинного значения не более чем на U 50 мВ.

Решение

1. Определим вероятность события при условии, что поправка на систематическую погрешность не вводится. Наличие систематической погрешности делает интервал несимметричным относительно нуля. В этом случае доверительная вероятность определяется следующим образом:

Рдов Р Uн U Uв ,

тервала; Uв U Uст верхняя граница доверительного

интервала.

Определим нормированные границы доверительного интервала:

Для определения доверительной вероятности в случае несимметричного интервала воспользуемся формулой (28)[4]. Значение нормированной интегральной функции нормального распределения определяем по табл. П.2.2.

Рдов Ф tв Ф tн 0,99865 0,0188 0,97985 0,98.

Ответ: Р Uизм 50 мВ Uист Uизм 50 мВ 0,98,при

Uст 10 мВ.

2. Определим вероятность события при условии, что на систематическую погрешность вводится поправка, т. е. результаты

измерений исправляются прежде, чем проводится стат-

обработка. В этом случае доверительный интервал будет симмет-

47

ричным U = ±50мВ, и решение не отличается от решения задачи № 1.

Нормированные границы доверительного интервала

t 50 2,5. 20

Рдов тt 2,5 0,9874 0,99.

Ответ: Р Uизм 50 мВ Uист Uизм 50 мВ 0,9,при Uст 0.

Задача № 2 Условие задачи

Случайная погрешность измерения сопротивления распределена по нормальному закону. Оценка СКП SR = ±20 Ом. Определить границы симметричного доверительного интервала, за которые с вероятностью Рдов = 0,98 не выйдет случайная погрешность отдельного результата измерений.

Решение

Границы симметричного доверительного интервала определяется формулой (22) [4].

RPд 0,98 tP SR tP 20 (Ом).

По табл. П.2.1 для Р Рдов 0,98 находим значение безразмерного коэффициента tP 2,33.

Следовательно,

RP 0,98 2,33 20 46,6 (Ом).

Ответ: с доверительной вероятностью Pдов 0,98 погрешность отдельного результата измерения не выйдет за границы 46,6Ом.

Задача № 3 Условие задачи

При измерении емкости конденсатора были получены следующие результаты (в пФ):

48

Анализ результатов показывает, что 11-й результат существенно отличается от остальных в совокупности полученных результатов. Требуется проверить, не содержит ли этот результат грубую погрешность. Закон распределения погрешности считать нормальным.

Решение

1. Определим параметры распределения с учетом всех результатов по формулам (16) и (17) [4].

C 1 n Ci 20,404 пФ; ni 1

3. Зададим уровень доверительной вероятности Pдов 0,95

и по табл. П.2.3 для числа наблюдений п = 15 найдем табличное значение βг 2,997 (допускаемая граница нормированного отклонения для выборки из 15 наблюдений при доверительной вероятности 0,95).

4. Так как β*г 3,15 βг 2,997 , то 11-й результат содер-

жит грубую погрешность и должен быть отброшен.

Ответ: с вероятностью Pдов 0,95 11-й результат содержит гру-

бую погрешность.

49

5. Определим, насколько точнее будут параметры распределения без 11-го результата. Воспользовавшись формулами (16) и (17) [4] для выборки из 14 результатов, получаем:

C 20,411 пФ; SC 0,016 пФ.

Таким образом, без влияния результата, содержащего грубую погрешность, доверительные границы результата измерения будут определены в два раза точнее, т. к.

SC 0,033 2,063. SC 0,016

Задачи для самостоятельного решения

1.Как отразится на результате измерения следование русской поговорке: «Семь раз отмерь один отрежь»? Во сколько раз точнее будет получен результат, если каждое измерение осуществляется с погрешностью ±5%?

2.Каков должен быть объем выборки п, чтобы с вероятностью 0,99 точность оценки математического ожидания результата

измерений X была ±0,2, если SX 1,5?

3. При изготовлении деталей допускаемое отклонение параметров от номинального значения чаще всего выбирают равным3 , что соответствует доверительной вероятности Pдов 0,9973

(закон распределения погрешностей нормальный). На сколько изготовленных деталей будет приходиться в среднем одна забракованная? Как изменится эта ситуация, если повысить требования к точности (т. е. сузить границы доверительного интервала до Pдов

±2σ)?Что произойдет, если расширить границы до Pдов ±4σ?

4.В результате большого числа измерений был определен доверительный интервал для ТЭДС термопары. С доверительной вероятностью 0, 997 этот интервал оказался следующим: 17,73 мВ

Е 17,27 мВ. Определить СКП измерения ТЭДС в предположении нормального закона распределения.

50